Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 3: Tam giác đồng dạng.định lí Ta-lét trong tam giác (Có đáp án)

 HH8-C3-CD1.TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG.ĐỊNH LÍ TA-LẫT 
 TRONG TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chỳng theo cựng đơn vị đo (tỉ số này 
khụng phụ thuộc vào cỏch chọn đơn vị đo).
2. Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AÂB Â và C ÂD Â nếu cú tỉ lệ thức 
 AB AÂB Â AB CD
 = hay = .
 CD C ÂD Â AÂB Â C ÂD Â A
3. Định lớ Ta-lột trong tam giỏc
 D E
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và 
cắt hai cạnh cũn lại thỡ nú định ra trờn hai cạnh đú những đoạn 
 B C
thẳng tương tứng tỉ lệ. Hỡnh 259
 ỡ
 ù DABC AD AE DB EC AD AE
 ớù ị = , = , = .
 ù DE PBC AB AC BA CA DB EC
 ợù
4. Nhớ lại tỉ lệ thức và tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau
 a c
a) Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số = .
 b d
b) Tớnh chất
 a c
Tớnh chất 1 (Tớnh chất cơ bản của tỉ lệ thức): Nếu = thỡ ad = bc .
 b d
Tớnh chất 2: Nếu ad = bc và abcd ạ 0 thỡ ta cú bốn tỉ lệ thức sau:
 a c a b d c d b
 = ; = ; = ; = .
 b d c d b a c a
c) Tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau
 a c e a c e a + c + e a - c + e
Từ dóy tỉ số bằng nhau = = , suy ra = = = = .
 b d f b d f b + d + f b - d + f
5. Từ định lớ Ta-lột ta thu được kinh nghiệm thứ năm Cứ núi đến tỉ số của hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lớ Ta-lột, ta cứ núi đến định lớ Ta-lột phải 
nghĩ đến đường thẳng song song.
í nghĩa của kinh nghiệm này là: Với cỏc bài toỏn đề cập đến tỉ số của hai đoạn thẳng mà 
phải vẽ thờm đường phụ, ta vẽ thờm đường thẳng song song để sử dụng định lớ Ta-lột.
II.BÀI TẬP MINH HỌA
A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tớnh tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.
2. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB ), được gọi là chia đoạn 
 m CA m
thẳng AB theo tỉ số ạ 1 (m,n là cỏc số dương), nếu ta cú: = .
 n CB n
3. Sử dụng kĩ thuật đại số húa hỡnh học:
 ỡ
 CA m ù CA = mt
Nếu ta cú: = thỡ ớù (với t > 0)
 ù CB = nt
 CB n ợù
4. Lập tỉ lệ thức giữa cỏc đoạn thẳng tỉ lệ rồi ỏp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng 
nhau.
II. VÍ DỤ
 3
Vớ dụ 1. Điểm C thuộc đoạn thẳng AB và chia AB theo tỉ số . Hóy tớnh cỏc tỉ số: 
 5
 AB AB
 ; .
 AC CB
Lời giải (hỡnh 260)
 3
Vỡ C chia đoạn AB theo tỉ số nờn:
 5
 ỡ 8
 CA 3 ù CA = 3t
 = ị ớù với t > 0.
 CB 5 ù CB = 5t A C B
 ợù 3 5
 Hỡnh 260
 AB 8t 8 AB 8t 8
Do đú AB = AC + CB = 8t . Vậy = = , = = .
 AC 3t 3 CB 5t 5 Vớ dụ 2. Cho đoạn thẳng AB = 10cm .
 CA 3
a) Trờn đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho = . Tớnh độ dài CB .
 CB 2
 DA 3
b) Trờn tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho = . Tớnh độ dài CD .
 DB 2
Lời giải (hỡnh 261) A C B
 Hỡnh 261
a) Cỏch 1: Từ giả thiết:
 ỡ
 CA 3 ù CA = 3t
 = ị ớù với t > 0;
 CB 2 ù CB = 2t
 ợù
Nờn AB = 10cm = CA + CB = 5t Û t = 2cm . Vậy CB = 4cm .
 CA 3 CA CB CA + CB AB 10
Cỏch 2: Từ giả thiết = ị = = = = = 2.
 CB 2 3 2 3 + 2 5 5
Vậy CB = 4(cm) .
Cỏch 3: Đặt CB = x thỡ CA = 10- x .
Từ giả thiết và tớnh chất cơ bản của tỉ lệ thức ta cú 3CB = 2CA hay
 3x - 2(10- x) Û 5x = 20 Û x = 4(cm) .
 ỡ
 DA 3 ù DA = 3t
b) Từ giả thiết = ị ớù .
 DB 2 ù DB = 2t
 ợù
Mặt khỏc D thuộc tia đối của tia BA nờn DA > DB .
Do đú AB = 10cm = DA - DB = 3t - 2t Û t = 10cm , suy ra DB = 20cm .
Vậy CD = 20 + 4 = 24(cm) .
Vớ dụ 3. Đoạn thẳng AB = 44dm được chia thành cỏc đoạn thẳng liờn tiếp AM ,MN,NP và 
 PB lần lượt tỉ lệ với 10,2, 3 và 5.
a) Tớnh độ dài mỗi đoạn thẳng đú.
b) Chứng minh rằng hai điểm M và P chia đoạn AN theo cựng một tỉ số k và tớnh k .
c) Cũn hai điểm nào chia đoạn thẳng nào theo cựng một tỉ số nữa khụng?
Lời giải a) Từ giả thiết và tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú:
 AM MN NP PB AM + MN + NP + PB 44
 = = = = = = 2,2.
 10 2 3 5 10 + 2 + 3 + 5 20
Vậy AM = 22dm,MN = 4, 4dm,NP = 6, 6dm,PB = 11dm .
 MA 22 PA 33
b) Từ cõu a) ta cú = = 5; = = 5 .
 MN 4, 4 PN 6, 6
Điều này chứng tỏ M và P chia đoạn AN theo cựng một tỉ số k = 5.
 AM 22 2 NM 4, 4 2
c) Vỡ = = , = = ;
 AP 33 3 NP 6, 6 3
 2
Nờn cũn hai điểm A và N chia đoạn MP theo cựng một tỉ số .
 3
DẠNG 2.Tớnh độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Tớnh độ dài đoạn thẳng:
 Áp dụng định lớ Ta-lột để lập hệ thức của cỏc đoạn thẳng tỉ lệ.
 Xỏc định đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc.
 Thay số vào hệ thức rồi giải phương trỡnh.
2. Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự khi biết độ dài của ba đoạn kia:
 Đặt ba đoạn thẳng trờn hai cạnh của một gúc.
 Dựng đường thẳng song song để xỏc định đoạn thẳng thứ tư.
II. VÍ DỤ
Vớ dụ 1. Tớnh x trong cỏc trường hợp sau (h. 262), biết rằng cỏc số trờn hỡnh cú cựng đơn vị 
đo là cm .
Lời giải (hỡnh 262)
 A D
 8,5 x
 4 5 P Q 24
 M N 10,5 9
 x
 B C E F
 a) MN BC b) PQ EF
 Hỡnh 262
a) Áp dụng định lớ Ta-lột vào DABC cú MN PBC , ta được: BM CN x 8, 5- 5 4.3, 5
 = hay = Û x = = 2, 8 .
 MA NA 4 5 5
b) Áp dụng định lớ Ta-lột vào DDFE cú PQ PEF , ta được:
 DP DQ x 24 - 9 10, 5.15
 = hay = Û x = = 17, 5 .
 PE QF 10, 5 9 9 O
 16 20
Vớ dụ 2. Tớnh x trờn hỡnh 263. x
 P Q
 15
Lời giải (hỡnh 263).
 M N
Áp dụng định lớ Ta-lột vào DOMN cú PQ PMN , ta được: Hỡnh 263
 MP NQ x - 16 15 3
 = hay = = Û x - 16 = 12 Û x = 28 .
 PO QO 16 20 4
Vớ dụ 3. Cho ba đoạn thẳng cú độ dài là m,n, p (cựng đơn vị đo). Hóy dựng đoạn thẳng cú 
 m n
độ dài x sao cho = . z
 x p
 B
 p
Lời giải (hỡnh 264) A
 n
 m
 Vẽ gúc zOt bất kỡ. O C D t
 x
 Oz OA = n,OB = p
 Trờn tia đặt cỏc đoạn . Hỡnh 264
 Trờn tia Ot đặt OC = m .
 Vẽ BD PAC thỡ OD = x là đoạn thẳng cần dựng.
Thật vậy, ỏp dụng định lớ Ta-lột vào DOBD cú AC PBD , ta được:
 OA OC m n
 = hay = .
 OB OD x p
DẠNG 3. Chứng minh cỏc hệ thức hỡnh học
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xỏc định đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc.
2. Áp dụng định lớ Ta-lột để lập hệ thức của cỏc đoạn thẳng tỉ lệ.
3. Sử dụng cỏc tớnh chất của tỉ lệ thức hoặc cộng theo vế cỏc đẳng thức hỡnh học.
II. VÍ DỤ
Vớ dụ 1. Cho hỡnh thang ABCD (AB PCD) . Một đường thẳng song song với hai đỏy, cắt 
cỏc cạnh bờn AD và BC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh rằng: AM BN AM CN
a) = b) + = 1.
 MD NC AD CB
Lời giải (hỡnh 265) A B
 I AC MN
a) Gọi là giao điểm của đường chộo với . M I N
Áp dụng định lớ Ta-lột vào hai tam giỏc ACD và ACB 
cú MI PCD,IN PAB , ta được:
 D C
 AM AI BN AI Hỡnh 265
 = (1); = (2).
 MD IC NC IC
 AM BN
Từ (1) và (2) suy ra: = .
 MD NC
b) Áp dụng định lớ Ta-lột vào hai tam giỏc ACD và ACB ta cú MI PCD,IN PAB ta 
được
 AM AI CN CI
 = (3); = (4).
 AD AC CB CA
Cộng theo vế cỏc đẳng thức (3) và (4), thu được:
 AM CN CI + AI CA
 + = = = 1.
 AD CB CA CA
Vớ dụ 2. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú M ,N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi 
 P,Q thứ tự là giao điểm của AN và CM với đường chộo BD . Chứng minh rằng: 
 A M B
 DP = PQ = QB .
Lời giải (hỡnh 266) P Q
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hỡnh bỡnh hành ABCDD, N C
ta được: Hỡnh 266
 AM = NC,AM PNC .
Tứ giỏc AMCN cú hai cạnh đối song song và bằng nhau nờn 
nú là hỡnh bỡnh hành, do đú MC PAN , suy ra
 MQ PAP,PN PQC .
Áp dụng định lớ Ta-lột vào hai tam giỏc APB và DQC cú MQ PAP,PN PQC , ta được: BQ BM
 = = 1 ị BQ = QP (1).
 QP MA
 DP DN
 = = 1 ị DP = PQ (2)
 PQ NC
Từ (1) và (2) ta cú: DP = PQ = QB .
DẠNG 4*. Vẽ thờm đường thẳng song song để tớnh tỉ số hai đoạn thẳng
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ thờm đường thẳng song song.
2. Sử dụng kĩ thuật đại số húa hỡnh học.
3. Áp dụng định lớ Ta-lột.
II. VÍ DỤ
 BC 4
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC . Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho = . Điểm I thuộc 
 BD 1
 AI 1 AK
đoạn AD sao cho = . Gọi K là giao điểm của BI và AC . Tớnh tỉ số .
 ID 2 KC
Lời giải (hỡnh 267) A
 K
Kẻ thờm DE PBK thỡ DE PIK .
 E
 I
Áp dụng định lớ Ta-lột vào tam giỏc ADE cú IK PDE , ta được:
 ỡ
 AK AI 1 ù AK = 1t
 = = ị ớù (với t > 0).
 KE ID 2 ù KE = 2t B D C
 ợù
 Hỡnh 267
Áp dụng định lớ Ta-lột vào tam giỏc BCK cú DE PBK , ta được:
 KC BC 4
 = = ị KC = 4KE = 8t
 KE BD 1
 AK 1t 1
Vậy = = .
 KC 8t 8
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC . Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD . Trờn đoạn AD 
 AO 3 AI
lấy điểm O sao cho = . Gọi I là giao điểm của CO và AB . Tớnh tỉ số .
 OD 2 IB
Lời giải (hỡnh 268)
 A
 I
 O
 H
 B D C
 Hỡnh 268 Kẻ thờm DH PCI thỡ DH PIO .
Áp dụng định lớ Ta-lột vào tam giỏc ADH cú DH PIO , ta được:
 ỡ
 AI AO 3 ù AI = 3t
 = = ị ớù (với t > 0);
 IH OD 2 ù IH = 2t
 ợù
Áp dụng định lớ Ta-lột vào tam giỏc BIC cú DH PIC , ta được:
 BI BC 2 AI 3t 3
 = = ị BI = 2IH = 2.2t = 4t . Vậy = = .
 IH CD 1 IB 4t 4
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG BÀI CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giỏc ABC , cỏc trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G .
 AE AG
a) Tớnh b) Tớnh 
 AC GD
b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
 AM MB
Bài 2: Cho đoạn thẳng AM , M là một điểm trờn đoạn AB . Tớnh cỏc tỉ số và 
 AB AB
nếu:
 MA 1 MA 7 MA m
a) = b) = c) =
 MB 2 MB 4 MB n
Bài 3: Cho gúc xOy . Trờn tia Ox , lấy theo thứ tự 2 điểm A,B sao cho OA 2cm,AB 3cm. 
Trờn tia Oy , lấy điểm C với OC 3cm . Từ B , kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy 
tại D . Tớnh độ dài CD .
Bài 4: Cho tam giỏc ACE cú AC 11cm. Lấy điểm B trờn cạnh AC sao cho BC 6cm . Lấy 
điểm D trờn cạnh AE sao cho DB PEC . Giả sử AE ED 25,5cm . Hóy tớnh:
 DE
a) Tỉ số ;
 AE
b) Độ dài cỏc đoạn thẳng AE,DE và AD.
 BD 3
Bài 5: Cho tam giỏc ABC và điểm D trờn cạnh BC sao cho = , điểm E trờn đoạn AD 
 BC 4
 AE 1 AK
sao cho . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tớnh tỉ số .
 AD 3 KC Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ 
đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song 
song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK.
Bài 7: Cho ABC . Từ D trờn cạnh AB , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E . 
Trờn tia đối của tia CA , lấy điểm F sao cho CF DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC . 
 DM AC
Chứng minh 
 MF AB
Bài 8: Cho tam giỏc ABC cú đường cao AH. Trờn AH, lấy cỏc điểm K, I sao cho 
 AK = KI = IH . Qua I, K lần lượt vẽ cỏc đường thẳng EF / / BC , MN / / BC ( E, M AB, 
F, N AC).
 MN EF
a) Tớnh và .
 BC BC
b) Cho biết diện tớch của tam giỏc ABC là 90 cm2. Tớnh diện tớch tứ giỏc MNFE .
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN
Bài 1:
a) Cú E là trung điểm của AC (vỡ BE là trung tuyến)
 AE 1
 (tớnh chất trung điểm của đoạn thẳng) A
 AC 2
b) ABC cú cỏc trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G
 F E
 G là trọng tõm ABC G
 AG 2
 2 ( G là trọng tõm ABC)
 GD 1 B D C
 AG BG CG
c) G là trọng tõm ABC 
 GD GE GF
 BG và GE là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
 CG và GF là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD .
Bài 2:
 A M B MA 1 MA MB MA + MB AB MA 1 MB 2
a) = ị = = = ị = ; =
 MB 2 1 2 1+ 2 3 AB 3 AB 3
 MA 7 MA MB MA + MB AB MA 7 MB 4
b) Cú = ị = = = ị = ; =
 MB 4 7 4 7 + 4 11 AB 11 AB 11
 MA m MA MB MA + MB AB MA m MB n
c) = ị = = = ị = ; =
 MB n m n m + n m + n AB m + n AB m + n
 y
Bài 3: D
Xột OBD cú: AC / /BD (gt)
 AO OC
 ị = (định lớ Ta-let trong tam giỏc)
 AB CD C
 AB.OC 3.3
 ị CD = = = 4,5(cm)
 OA 2 O x
 A B
Bài 4:
 DE BC DE 6
a) Theo định lý Ta-lột trong ACE , ta cú: .
 AE AC AE 11
 DE AE 17
b) Cỏch 1. Theo tớnh chất của tỉ lệ thức ta cú: 
 AE 11
Từ đú tớnh được AE 16,5cm; DE 9cm và AD 7,5cm .
Cỏch 2. Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau
 DE 6
Cỏch 3. Thay DE 25,5 AE vào 
 AE 11
Bài 5: Kẻ DM / /BK(M AC) A
Áp dụng định lý Ta-lột trong CBK , ta cú: K
 E
 KM BD KM 3
 (1)
 KC BC KC 4
 M
 AK 1
Tương tự với ADM ADM , ta cú: (2)
 C
 KM 2 B D
 AK 3
Từ (1) và (2), tỡm được: 
 KC 8
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ 
đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song 
song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK.
Hướng dẫn giải