Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 4: Khái niệm hai tam giác đồng dạng (Có đáp án)

 HH8-C3-CD04. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Định nghĩa
- Hai tam giỏc gọi là đồng dạng với nhau nếu chỳng cú ba cặp gúc bằng nhau đụi một và ba 
cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
 ỡ à ả à ả à ả
 ù A = A ';B = B ';C = C '
 ù
- Ta cú DABC ” DA 'B 'C ' Û ớ AB BC CA 
 ù = =
 ợù A 'B ' B 'C ' C 'A '
 Tớnh chất
a) Mỗi tam giỏc đồng dạng với chớnh tam giỏc đú (hoặc núi: Hai tam giỏc bằng nhau thỡ đồng 
dạng với nhau).
 1
b) Nếu DABC ” DA 'B 'C ' theo tỉ số k thỡ DA 'B 'C '” DABC theo tỉ số . 
 k
c) Nếu DABC ” DA 'B 'C ' và DA 'B 'C '” DA "B "C " thỡ ABC ∽ A"B"C".
 Định lý
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giỏc và song song với cạnh cũn lại thỡ nú tạo 
thành một tam giỏc mới đồng dạng với tam giỏc đó cho.
 DABC A
 GT DE/ / BC (D ẻ AB,E ẻ AC )
 D E
 KL DADE ” DABC 
 B C
II.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Vẽ tam giỏc đồng dạng với tam giỏc cho trước.Chứng minh hai tam giỏc đồng dạng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ tam giỏc đồng dạng với tam giỏc cho trước.
 Xỏc định tỉ số đồng dạng.
 Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc.
2. Chứng minh hai tam giỏc đồng dạng.
 Sử dụng định nghĩa hoặc định lớ nhận biết hai tam giỏc đồng dạng.
VÍ DỤ
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC . Hóy vẽ tam giỏc đồng dạng với tam giỏc ABC theo tỉ số đồng 
dạng: 
 2 4
a) k = ; b) k = .
 3 3
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Trờn tia 
đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 2AC. Chứng minh ADE ABC.
Vớ dụ 3. Từ điểm D trờn cạnh AB của tam giỏc ABC, kẻ một đường thằng song song với 
AB tại F; BF cắt AC ở I. Tỡm cặp tam giỏc đồng dạng.
Vớ dụ 4. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú CD = 2AB. Gọi E là trung điểm của DC. 
Chứng minh ba tam giỏc EDA, ABE, CEB đồng dạng với nhau.
Dạng 2: Tớnh độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thụng qua cỏc tam giỏc đồng dạng.
Vớ dụ 5. Cho 2 tam giỏc ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Chứng minh tỉ số 
chu vi hai tam giỏc ABC và A’B’C’ bằng k.
Vớ dụ 6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB = 6cm, BC = 10cm. Kẻ một đường thẳng 
song song với BC, cắt cỏc cạnh AB và AC tại E và F. Biết AE = 2cm, tớnh tỉ số đồng dạng 
của AEF, ABC và độ dài cỏc đoạn cạnh AF, EF.
Vớ dụ 7. Cho tam giỏc ABC cú AB = 5cm, BC = 8cm, AC = 7cm. Điểm D nằm trờn cạnh BC 
sao cho BD = 2cm. Qua D kẻ cỏc đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB lần 
lượt tại F và E.
a) Chứng minh BDE DCF
b) Tớnh chu vi tứ giỏc AEDF
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức cạnh thụng qua cỏc tam giỏc đồng dạng.
Vớ dụ 8. . Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB = 6cm, AD = 5cm. Lấy F trờn cạnh BC sao cho 
CF = 3cm. Tia DF cắt tia AB tại G.
a) Chứng minh GBF DCF và GAD DCF
b) Tớnh độ dài đoạn thẳng AG
c) Chứng minh AG.CF = AD.AB
Vớ dụ 9. Cho tam giỏc ABC, kẻ Ax song song với BC. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ 
 PN QN
một đường thẳng bất kỡ cắt Ax ở N, cắt AB ở P và cắt AC ở Q. Chứng minh: .
 PM QM
 HƯỚNG DẪN GIẢI
 2 AM 2
1.a) Giả sử đó vẽ được DAMN ∽ DABC theo tỉ số k = , thế thỡ = = k .
 3 AB 3
Từ đú suy ra cỏch vẽ gồm hai bước sau:
 AM 2
Bước 1: Trờn cạnh AB lấy điểm M sao cho = .
 AB 3
Bước 2: Kẻ Mx PBC cắt AC ở N .
 A A
 N x
 M B C
 y
 B C P Q
 a) b)
 Hỡnh 296
 2
Ta cú DAMN ∽ DABC theo tỉ số k = .
 3
 4 AP 4
b) Giả sử đó vẽ được DAPQ ∽ DABC theo tỉ số k = thế thỡ = = k .
 3 AB 3
Từ đú suy ra cỏch vẽ gồm hai bước sau:
 AP 4
Bước 1: Trờn tia AB lấy điểm P sao cho = .
 AB 3
Bước 2: Kẻ Py PBC cắt tia AC ở Q . Ta cú DAPQ ∽ DABC .
2.
Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE.
Từ đú chứng minh được 
∆AMN ∆ADE (định lớ)
∆ABC ∆AMN (do hai tam giỏc bằng nhau)
⇒ ∆ABC ∆ADE
3.
Dựng định nghĩa để chứng minh:
∆ADE ∆CFE; ∆EFI ∆CBI; ∆FIC ∆BIA
 ⇒∆ABC ∆CFE (theo tớnh chất bắc cầu)
4.
Sử dụng tớnh chất cỏc tam giỏc bằng nhau thỡ đồng dạng với nhau để chứng minh.
5.
Sủ dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để chứng minh.
 AB BC AC AB BC AC
∆ABC ∆A’B’C’ ⇒ k 
 A'B' B'C ' A'C ' A'B' B'C' A'C'
6.
CM được: ∆AEF ∆ABC
 AF EF AE 2 1
⇒ 
 AC BC AB 6 3
 AF EF 1 AC 8 BC 10
Cú AF cm; EF cm 
 AC BC 3 3 3 3 3
7.
a) HS tự chứng minh: ∆BED ∆BAC; ∆DFC ∆BAC
Từ đú suy ra ∆BED ∆DFC
 5 7
b) Tương tự bài 5, ta tớnh được BE = cm; ED = cm
 4 4
Chu vi hỡnh bỡnh hành AEDF = 2AE + 2ED = 11 cm.
8.
a) HS tự chứng minh ∆GBF ∆GAD; ∆GBF ∆DCF
⇒ ∆GAD ∆DCF
 BG BF
b) Do ∆GBF ∆DCF 
 CD CF
Thay số tớnh được BG = 4cm ⇒ AG = 10cm
 GA AD
c) ∆GAD ∆DCF GA.CF = CD.AD
 DC CF
mà AB = CD ⇒ đpcm
 9.
 PM BM
∆PBM ∆PAN ⇒ 
 PN AN
Theo định lớ Ta-lột ta cú:
 QM MC BM
 đpcm.
 QN AN AN
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN
Bài 1: Cho hai tam giỏc ABC và A'B'C ' đồng dạng với nhau theo tỉ số k, chứng minh rằng 
tỉ số chu vi của hai tam giỏc ABC và A'B'C ' cũng bằng k.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú cạnh BC = 10cm,CA = 14cm,AB = 6cm. Tam giỏc ABC đồng 
dạng với tam giỏc DEF cú cạnh nhỏ nhất là 9cm. Tớnh cỏc cạnh cũn lại của tam giỏc DEF.
 DB 1
Bài 3: Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: . Kẻ DE/ / AC ; DF / / AB 
 DC 2
(E ẻ AB;F ẻ AC) . 
a) Nờu tất cả cỏc cặp tam giỏc đồng dạng. Đối với mỗi cặp, hóy viết cỏc gúc bằng nhau và 
cỏc tỉ số tương ứng. 
b) Hóy tớnh chu vi DBED , biết hiệu chu vi của D DFC và DBED là 30cm
Bài 4: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Trờn đường chộo AC lấy điểm E sao cho AC = 3AE . 
Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N.
a)Tỡm cỏc tam giỏc đồng dạng với ADC và tỡm tỉ số đồng dạng.
b) Điểm E nằm ở vị trớ nào trờn AC thỡ E là trung điểm của MN?
 2
Bài 5: Cho ABC. Vẽ tam giỏc đồng dạng với tam giỏc đú, biết tỉ số đồng dạng k . Cú 
 3
thể dựng được bao nhiờu tam giỏc như thế?
 HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN
 AB AC BC
Bài 1: DABC ” DA 'B 'C ' ị = = = k 
 A 'B ' A 'C ' B 'C '
Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú :
 AB AC BC AB + AC + BC CDABC
 = = = = k = 
 A 'B ' A 'C ' B 'C ' A 'B '+ A 'C '+ B 'C ' CDA 'B 'C '
 Với CDABC là chu vi tam giỏc ABC và CDA 'B 'C ' là chu vi tam giỏc A 'B 'C ' 
 AB AC BC
Bài 2: DABC ” DDEF ị = = .
 DE DF EF
 DABC cạnh nhỏ nhất là cạnh AB = 6cm . Nờn cạnh nhỏ nhất của DDEF là DE = 9cm
 AB AC BC 6 14 10
Ta cú: = = = = = 
 DE DF EF 9 DF EF
Từ đú tớnh được DF = 21cm;EF = 15cm 
Bài 3: 
a) Cỏc cặp tam giỏc đồng dạng:
 DABC” VEBD ; DABC ” DFDC; DFDC ” DEBD ( vỡ cựng đồng dạng với DABC )
*DABC” VEBD
 ã ã ã ã ã ã A
 ị BAC = BED;ABC = EBD;ACB = EDB ; 
 AB BC AC 3
 = = = F
 EB BD ED 1
 AC BC AB 3 E
*DABC ” DFDC cú : = = =
 FC CD FD 2
 B
 FC CD FD 2 D C
* DFDC ” DEBD cú: 
 ED DB EB 1
c) Ta cú tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng
 CD 2
* DDFC ” D BED theo tỉ số đồng dạng k = =
 DB 1
 PDDFC 2
Do đú: = ị PDDFC = 2PDBED
 PDBED 1
Mà theo giả thiết: PDDFC - PDBED = 30 ị 2PDBED - PDBED = 30 ị PDBED = 30(cm)
Bài 4: 
a) Tam giỏc đồng dạng với DADC 
* DADC ” DADC . Tỉ số đồng dạng: k1 = 1 
 * DADC ” DCBA . Tỉ số đồng dạng: k1 = 1 (hai tam giỏc bằng nhau thỡ đồng dạng)
 AE 1
 DADC ” DAME theo tỉ số đồng dạng k 
 2 AC 3 A B
 AC 3 M E
 DADC ” DCNE theo tỉ số đồng dạng k N
 3 CE 2
 D
 EM C
b) E là trung điểm của MN thỡ EM = EN suy ra: 1
 EN
Ta cú: DAME ” DCNE (cựng đồng dạng với DADC )
 AE EM
suy ra: = = 1 ị AE = CE = 1
 CE EN
Suy ra E là trung điểm của AE
Bài 5: Cỏch 1: - Tại đỉnh A dựng tam giỏc AB 'C ' 
 ''
 2 C'' B
đồng dạng với tam giỏc ABC theo tỉ số k bằng 
 3
 A
cỏch
 '
 AB ' AC ' 2 B' C
Kẻ B 'C '/ / BC sao cho = =
 AB AC 3 B C
- Tam giỏc cú 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trờn, sẽ được ba tam giỏc đồng 
dạng với tam giỏc ABC .
 AB '' AC '' 2
Cỏch 2: - Ta cú cỏch dựng thứ 2 bằng cỏch vẽ B ''C ''/ / BC sao cho: = =
 AB AC 3
- -Tam giỏc cú 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trờn, sẽ được ba tam giỏc đồng 
dạng với tam giỏc ABC
Kết luận: Ta cú thể dựng được sỏu tam giỏc đồng dạng với tam giỏc ABC ( trong đú tại 
mỗi đỉnh cú một cặp tam giỏc bằng nhau)