Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai (Có đáp án)

 HH8-C3-CD6- TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
 • Định lý: Nếu hai cạnh của tam giỏc này tỉ lệ với hai cạnh của tam giỏc kia và hai gúc 
tạo bởi cỏc cặp cạnh đú bằng nhau, thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
 A
 ABC, A'B'C '
 GT AB BC  à 
 ,B B' A'
 A'B' B'C '
 ABC ∽ A'B'C ' 
 KL
 B C B' C'
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giỏc đồng dạng
Phương phỏp giải:
Bước 1: Xột hai tam giỏc, chọn ra hai gúc bằng nhau và chứng minh (nếu cần);
Bước 2: Lập tỉ số cỏc cạnh tạo nờn mỗi gúc đú, rồi chứng minh chỳng bằng nhau;
Bước 3: Từ đú, chứng minh hai tam giỏc đồng dạng.
 ã
1. Cho xOy , trờn Ox lấy cỏc điểm A và C, trờn Oy lấy cỏc điểm B và D. Chứng minh rằng 
 AOB ∽ COD nếu biết một trong cỏc trường hợp sau:
 OA OB
a) ; b) OA.OD OB.OC. 
 OC OD
2. Cho xã oy , trờn Ox lấy cỏc điểm A và C, trờn Oy lấy cỏc điểm B và D. Chứng minh rằng 
 AOD ∽ BOC nếu OA 4cm,OC 15cm,OB 6cm và OD 10cm. 
3. Cho hỡnh thang ABCD AB PCD , biết AB 9cm,BD 12cm,DC 16cm. Chứng minh 
 ABD ∽ BDC. 
4. Cho xã oy , trờn Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm, trờn Oy lấy cỏc điểm B và C sao cho 
 OB 2cm,OC 8cm. Chứng minh rằng AOB ∽ COA. 
Dạng 2. Sử dụng cỏc trường hợp đồng dạng thứ hai để tớnh độ dài cỏc cạnh hoặc chứng 
minh cỏc gúc bằng nhau
Phương phỏp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam 
giỏc đồng dạng, từ đú suy ra cỏc cặp gúc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng cũn 
lại bằng nhau.
5. Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BD. Lấy điểm E 
 DE CK
trờn DH và điểm K trờn BC sao cho . Chứng minh:
 DH CB a) ADE ∽ ACK; b) AEK ∽ ADC; 
 0
c) Ã EK 90 .
 0
6. Cho hỡnh thang ABCD biết À Dà 90 . Trờn cạnh AD lấy điểm I sao cho AB.DC AI.DI. 
Chứng minh:
 0
a) ABI ∽ DIC; b) Bã IC 90 .
 0
7. Cho hỡnh thoi ABCD, À 60 . Qua C kẻ đường thẳng d bất kỡ cắt cỏc tia đối của cỏc tia 
BA, DA theo thứ tự tại E và F. Gọi I là giao điểm của BF và ED. Chứng minh:
 EB AD
a) ; b) EBD ∽ BDF; 
 BA DF
 0
c) Bã ID 120 .
 0
8. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, À 90 . Kẻ AH  CD tại H, AK  BC tại K. Chứng minh:
 AH DA
a) ; b) Ã KH Ã CH. 
 AK DC
 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC DẠNG BÀI
 OA OB
 1A. a) Cú nờn ta chứng minh được
 OC OD
 AOB : COD (c.g.c) 
 b) Cú OA.OD = OB.OC
 OA OB
 ĐPCM.
 OC CO
 2. Chứng minh được AOD : BOC (c.g.c)
 AB BD 3
 3. Ta chứng minh được ãABD Bã DC và . 
 BD DC 4
 Từ đú suy ra ABD : BDC (c.g.c)
 OA OB 1
 4. Chứng minh được 
 OC OA 2
 và ãAOB Cã OA nờn ta cú AOB : COA (c.g.c)
 DE DH
 5. a) Ta chứng minh được (1)
 CK CB DA HD DA HD
 HDA : ADB (2) Từ (1) và (2) 
 DB AD AC BC
 DE DA
suy ra mà ãADE ãACK nờn ta cú 
 CK AC
 ADE : ACK (c g c) .
 AE AD
b) Từ phần a) ta suy ra được .
 AK AC
Chứng minh được Eã AK Cã AD nờn ta cú 
 AEK : ADC (c.g.c) 
c) Cú AEK : ADC ãAEK ãADC 900 
6.
 AB DI
a) Theo đề bài ta chỉ ta được từ đú suy ra 
 AI DC
 ABI : DIC (c g c) 
b) Chứng minh được ãAIB Dã CI mà 
 Dã IC Dã CI 900 Bã IC 900 
7.
 BE CE
a) Cú BC / / AD ;
 BA CF
 EC AD
Lại cú DC / / AB 
 FC DF
Suy ra ĐPCM.
b) Do ABCD là hỡnh thoi cú àA 600 nờn:
AB = BD = DC = CA = AD
 EB AD
Ta cú Eã BD Bã DF 1200 và theo cõu a) 
 BA DF
 EB BD
hay EBD : BDF (c.g.c) 
 BD DF
c) Từ phần b) ta cú: Bã ED Dã BF từ đú chứng minh được 
 BDI : EDB mờm suy ra Bã ID Eã BD 1200 
8. a) Chứng minh AHD : AKB và AB = CD suy ra ĐPCM.
 AH AK
 b) Từ phần a ta cú và chứng minh được 
 BC BA
 Hã AK ãABC . Từ đú ta cú KAH : ABC;
 Mà ABC : CDA nờn suy ra KAH : CDA từ đú 
 chứng minh được ãAKH ãACH 
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
Bài 1: Cho hỡnh thang ABCD AB//CD , biết AB = 9cm,BD = 12cm,DC = 16cm. Chứng 
minh ABD” BDC. 
 ã
Bài 2: Cho xOy , phõn giỏc Ot. Trờn Ox lấy cỏc điểm A và C ' sao cho 
OA = 4cm,OC ' = 9cm , trờn Oy lấy cỏc điểm A' và C sao cho OA ' = 12cm,OC = 3cm, trờn 
tia Ot lấy cỏc điểm B và B' sao cho OB = 6cm,OB ' = 18cm. Chứng minh:
 AB AC BC
a) DOAB ” DOA 'B '; b) = = .
 A 'B ' A'C ' B 'C '
Bài 3: Cho ABC cú AB = 8cm , AC = 16cm ,. Gọi D và E là hai điểm lần lượt trờn cỏc 
cạnh AB, AC sao cho BD = 2cm , CE = 13cm . Chứng minh :
a) AEB ” ADC b) ãAED ãABC c) AE.AC AB.AD
Bài 4: Chứng minh rằng nếu A’B’C’ đồng dạng với ABC theo tỉ số k thỡ tỉ số hai 
đường trung tuyến tương ứng cũng bằng k.
 à à
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú AB = 9cm,AC = 12cm,BC = 7cm. Chứng minh B = 2C. 
 à 0
Bài 6: Cho hỡnh thoi ABCD cú A = 60 . Gọi M là một cạnh thuộc cạnh AD. Đường thẳng 
CM cắt đường thẳng AB tại N.
a) Chứng minh AB 2 = DM .BN ;
 ã
b) BM cắt DN tại P. Tớnh gúc BPD .
Bài 7*: Cho tam giỏc ABC cú AB = 2cm ; AC = 3cm ; BC = 4cm . Chứng minh rằng: 
 ã ã ã
 BAC ABC 2.ACB .
Bài 8*: Cho DABC cõn tại A. Lấy M tựy ý thuộc BC, kẻ MN song song với AB (với N ∈ 
AC), kẻ MP song song với AC ( với P ∈ AB). Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh 
rằng Oã MP Ã MN. Bài 9: Cho D ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 4cm. Trờn AB lấy điểm E sao cho AE = 
2cm, trờn AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm.
 AD AE
a) Chứng minh: = .
 AB AC
b) Chứng minh: VADE” VABC 
c) Tớnh độ dài đoạn DE.
Bài 10: Cho D ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 6cm. Trờn AB lấy điểm E sao cho AE = 
2cm, trờn AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm.
 AD AE
a) Chứng minh: = .
 AB AC
b) Chứng minh: VADE” VABC 
c) Tớnh độ dài đoạn DE.
Bài 11: Cho D ABC, biết AB = 7,5cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Trờn AB, AC theo thứ tự lấy 
điểm M và N sao cho AN = 3cm, AM = 2,5cm.
a) Chứng minh: VAMN” DABC 
b) Tớnh độ dài đoạn MN.
 HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI SỐ 1
 ã ã AB BD 3
Bài 1: Ta chứng minh được ABD = BDC và = = . A B
 BD DC 4
Từ đú suy ra DABD ” DBDC(c.gc) 
Bài 2: 
 C
 a) Chứng minh được DOAB ” DOAÂB Â(c.g.c) D
 AB AC BC 1
b) Chứng minh được = = = 
 A 'B ' A 'C ' B 'C ' 3
Bài 3: 
a) Xột tam giỏc AEB và tam giỏc ADC cú 
 AB 8 1 AE 3 1 AB AE
 ; 
 AC 16 2 AD 6 2 AC AD
 Mặt khỏc lai cú gúc A chung 
 AEB ” ADC (c-g-c)
b) Chứng minh tương tự cõu a) ta cú AED” ABC 
 ãAED ãABC (hai gúc tương ứng)
 AE AD
c) Theo cõu b) ta cú AED” ABC AE.AC AB.AD 
 AB AC
Bài 4: A
 A'
 B
 D C B'
 D' C'
HD: a) DABC ” DA 'B'C' cú AD và A 'D ' lần lượt là trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh A và A’ 
xuống cạnh BC và B’C’ của hai tam giỏc đú.
 BC
 AB BC BD AB BD
Ta cú k 2 . Cú Bà Bà' . 
 A' B ' B 'C ' B 'C ' B ' D ' A' B ' B ' D '
 2
 AB AD
Vậy DABD ” DA 'B 'D ' (c-g-c) Từ đú suy ra k 
 A' B ' A' D '
Bài 5: Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC = 7cm . Chứng minh được 
 DABC ” DACE(c.g.c) 
 ã à
suy ra BCA = E 
 ã ã à à ã
Từ đú ta cú ABC = BCE + E = 2E = 2BCA 
 NA NB
Bài 6: a) Ta cú AM / / BC ( do AD // BC) suy ra DNAM ” DNBC ị = hay 
 AM BC
 NA NB
 = (1) (vỡ BC = AB).
 AM AB 
 NA CD NA AB
Ta cú NA // DC ( do AB // DC) suy ra DNAM ” DCDM ị = hay = (2) 
 AM DM AM DM 
(vỡ CD = AB ).
 B C
 NA AB
Từ (1) và (2) suy ra = hay AB 2 = DM .BN
 AB DM .
 NB AB NB BD
b) Từ = ị =
 AB DM BD DM A
 M D
 NB BD
Xột BND và DBM cú và P
 BD DM
 ã ã 0 N
 NBD = BDM = 60 . Suy ra DBND” DDBM (c.g.c)
 ị MãBD = BãND ị MãBD + MãBN = BãND + MãBN = 600
 ã ã ã ã 0
Mà BPD = BND + MBN nờn BPD 60 .
Bài 7*: 
Trờn đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho BD = 1cm 
 A
 CD = BC - BD = 3 cm CD = AC nờn DACD 
cõn tại C, do vậy Dã AC Ã DC (1)
 BD AB 1
 DABD và DCBA cú Ã BD chung và .
 BA CB 2 B D C
Suy ra DABD ” DCBA (c.g.c) Bã AD Bã CA (2)
Từ (1) và (2) ta cú :
 Bã A C Bã A D Dã A C Ã CB Ã DC Ã CB Ã BC Bã A D
Do đú Bã AC Ã BC 2.Ã CB .
Bài 8*: 
 A
Giả sử MB Ê MC . Gọi Q là giao điểm MO và AB ; K là 
giao điểm CP và MN.
 ã ã
Vỡ MNAP là hỡnh bỡnh hành nờn QPM = ANM (1) N
 Q
Vỡ ∆ABC cõn tại A nờn suy ra DPBM cõn tại P và 
 DNCM cõn tại N. P O
Do đú PB = PM = AN và NC = NM = AP kết hợp với K
 PQ PQ KM PB NA
 MN / / AP , suy ra = = = = (2)
 PM PB KN PA NM
 B M C
Từ (1) và (2) suy ra DQPM ” DANM (c.g.c) 
 ã ã
 QMP AMN hay Oã MP Ã MN . Điều phải chứng minh.
Bài 9: 
 AD 1 AE 2 1 AD AE
a) = ; = = ị =
 AB 3 AC 6 3 AB AC
 ùỡ AB AC
 ù =
b) DABC,ADE : ớù AD AE ị DABC ~ DADE
 ù
 ù BãAC = DãAE
 ợù AB BC 1 4
c) DABC ” DADE ị = = 3 ị DE = BC = (cm)
 AD DE 3 3
 AD 1 AE 2 1 AD AE
Bài 10: a) ; 
 AB 3 AC 6 3 AB AC
 ùỡ AB AC
 ù =
b) ớù AD AE ị DABC ” DADE (c.g.c)
 ù
 ù BãAC = DãAE
 ợù
 AB BC 1
c) DABC ” DADE ị = = 3 ị DE = BC = 2(cm)
 AD DE 3
 AM 2,5 1 AN 3 1 AM AN
Bài 11: a) ; 
 AB 7,5 3 AC 9 3 AB AC
 AB AC
 AM AN ABC ” AMN (c.g.c)
 ã ã
 BAC MAN
 AB BC 1
b) DABC ” DAMN ị = = 3 ị MN = BC = 4(cm)
 AM MN 3
PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1: Cho ABC cú AB 18cm, AC 27cm, BC 30cm . Gọi D là trung điểm của AB, E 
thuộc cạnh AC sao cho AE 6cm.
a) Chứng minh rằng: AED S ABC
b) Tớnh độ dài DE .
Bài 2: Hỡnh thang ABCD AB / / CD cú AB 2cm, BD 4cm, CD 8cm . Chứng minh rằng 
 àA Dã BC .
 à 0
Bài 3: Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc A 60 . Qua C kẻ đường thẳng d cắt tia đối của cỏc tia BA, DA 
theo thứ tự ở E, F . Chứng minh rằng:
 EB AD
a) 
 BA DF
b) EBD S BDF
Bài 4: Cho ABC cú Bà 2Cà , AB 8 cm, BC 10 cm.
a) Tớnh AC
b) Nếu ba cạnh của tam giỏc trờn là ba số tự nhiờn liờn tiếp thỡ mỗi cạnh là bao nhiờu?
Bài 5: Cho hỡnh thang ABCD(AB / /CD) , àA Dà 900 ; AB 2;CD 4,5; BD 3. Chứng minh rằng 
 BC  BD Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Kẻ AH  CD, AK  BC . Chứng minh rằng KAH S
 ABC
Bài 7: Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh BC lấy điểm E . Tia AE cắt đường thẳng CD tại M , tia 
 DE cắt đường thẳng AB tại N . Chứng minh rằng
a) NBC S BCM
b) BM  CN
Bài 8: Cho ABC vuụng tại A cú BE là đường phõn giỏc của ABC ( E AC ). Kẻ 
 FD EA
 AD  BC(D BC), AD cắt BE tại F. Chứng minh 
 FA EC
Bài 9: Cho ABC nhọn, lấy cỏc cạnh AB, AC và BC dựng cỏc tam giỏc vuụng cõn 
 ABD, ACE, BCF, hai tam giỏc đầu dựng ra phớa ngoài ABC , cũn tam giỏc thứ 3 dựng trong 
cựng một nửa mặt phẳng bờ BC với ABC . Chứng minh rằng tứ giỏc AEFD là hỡnh bỡnh hành.
Bài 10: Cho hỡnh thoi ABCD cạnh a cú àA = 600 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của cỏc 
tia BA, DA tại M , N
a) Chứng minh rằng tớch BM. DN cú giỏ trị khụng đổi
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM . Tớnh số đo của gúc BKD
 LỜI GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1: 
 a) Xột AED và ABC ta cú: A
 E
 àA chung
 D
 AE 6 1 AD 9 1 AD AD
 ; 
 AB 18 3 AC 27 3 AB AC
 B C
 Hay AED S ABC (c - g - c)
 b) Vỡ AED S ABC nờn ta cú:
 DE AE DE 1
 DE 10cm
 CB AB 30 3
Bài 2: Xột ABD và BDC ta cú: A B
 ãABD Bã DC ( 2 gúc so le trong)
 AB 2 1 BD 4 1 AB BD
 ; 
 BD 4 2 DC 8 2 BD DC
 D C
 Vậy ABD S BDC (c - g - c)
 àA Dã BC
Bài 3: 
 EB EC A
 a) Do BC / / AF nờn ta cú: 
 BA CF
 AD EC
 Mà CD / / AE nờn ta cú: D B
 DF CF
 EB AD
 Do đú: F
 BA DF C
 E
 EB BD
 b) Vỡ AB BD AD theo a ta cú: 
 BD DF
 Mà Eã BD Bã DF = 1200
 Do đú EBD S BDF (c - g - c)
Bài 4: 
 Vẽ tia phõn giỏc BE của ãABC A
 ABE ACB (c – g - c)
 E
 AB AE BE AE + BE AC
 = 
 AC AB CB AB + CB AB + CB
 AC 2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 B C
 AC = 12 cm
 b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c 
Thỡ từ cõu a ta cú b2 = a(a + c) (1). Vỡ b > a nờn cú thể b = a + 1 hoặc b = a + 2
+ Nếu b = a + 1 thỡ (a + 1)2= a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1