Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (Có đáp án)

 HH8-C3-CD8-CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUễNG
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Áp dụng cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc vào tam giỏc vuụng
Hai tam giỏc vuụng đồng dạng với nhau nếu:
- Tam giỏc vuụng này cú một gúc nhọn bằng gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia.
- Tam giỏc vuụng này cú hai cạnh gúc vuụng tỉ lệ với hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng 
kia.
2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giỏc vuụng đồng dạng
Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh 
gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú đồng dạng.
3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phõn giỏc của hai tam giỏc đồng dạng
- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường phõn giỏc tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
4. Tỉ số diện tớch của hai tam giỏc đồng dạng
Tỉ số diện tớch của hai tam giỏc đồng dạng bằng bỡnh phương tỉ số đồng dạng.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giỏc vuụng đồng dạng
Phương phỏp giải: Cú thể sử dụng một trong cỏc cỏch sau:
Cỏch 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giỏc thường vào tam giỏc vuụng
Cỏch 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giỏc vuụng đồng dạng.
1. Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) BEH ∽ CDH; b) EHD ∽ BHC. 
2. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC). Qua điểm M bất kỡ trờn BC, vẽ đường thẳng 
vuụng gúc với BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Chứng minh:
a) ABC ∽ MDC; b) EAD ∽ EMB. 
3. Cho hỡnh thang vuụng ABCD tại A và D, AB 6cm,CD 12cm và AD 17cm. Trờn cạnh 
AD, lấy E sao cho AE 8cm . Chứng minh Bã EC 900. 
4. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A với AC 4cm và BC 6cm. Kẻ tia Cx vuụng gúc với BC 
(tia Cx và điểm A nằm khỏc phớa so với đường thẳng BC). Trờn tia Cx lấy điểm D sao cho 
 BD 9cm. Chứng minh BD song song với AC.
Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giỏc vuụng để giải toỏn
Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc trường hợp đồng dạng của hai tam giỏc vuụng (nếu cần) để 
chứng minh hai tam giỏc đồng dạng, từ đú suy ra cỏc cặp gúc tương ứng bằng nhau hoặc cặp 
cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh.
5. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH.
 2 2
a) Chứng minh AB BH.BC; b) Chứng minh AH BH.CH; c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh BAP ∽ ACQ; 
d) Chứng minh AP  CQ. 
6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chõn đường vuụng 
gúc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh:
 2
a) AH AM.AB; b) AM.AB AN.AC. 
c) AMN ∽ ACB. 
7. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AC > BD. Kẻ CE  AB tại E, CF  AD tại F, BH  AC tại 
H và DK  AC tại K. Chứng minh;
 AB AH
a) ; b) AD.AF AK.AC; 
 AC AE
 2
c) AD.AF AB.AE AC . 
8. Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh 
 2
 BC BH.BD CH.CE. 
Dạng 3. Tỉ số diện tớch của hai tam giỏc
Phương phỏp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tớch của hai tam giỏc đồng dạng bằng bỡnh 
phương tỉ số đồng dạng.
9. Cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm 
của DF và CE. Tớnh tỉ số diện tớch của hai tam giỏc CIE và CBE.
10. Cho tam giỏc ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt 
AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tớch cỏc tam 
 2 2
giỏc EBD và FDC lần lượt bằng a và b , hóy tớnh diện tớch tam giỏc ABC.
 HƯỚNG DẪN CÁC DẠNG BÀI
 1A.a) BEH : CDH (g g) 
 HE HB
 b) Cú BEH : CDH ta suy ra 
 HD HC
 Từ đú chứng minh được EHD : BHC(c.g.c) 
 1B. HS tự chứng minh
 2A. Ta chứng minh được 
 ABE : DEC(c.g.c) ãAEB Eã CD
 Từ đú ta cú Dã EC ãAEB 900 suy ra Bã EC 900 (ĐPCM)
 2B. Ta chứng minh được 
 ABC : CBD ãACB Cã BD
 Từ đú suy ra BD//AC (ĐPCM)
 3A. a) Ta chứng minh ABH : CBA từ đú suy ra AB 2 = 
 BH.BC (ĐPCM)
 b) Tương tự cõu a, HS tự chứng minh c) Từ AHC : BHA 
 AH AC AH AQ
 mà 
 BH AB BH BP
 AC AQ
 Từ đú suy ra . Do đú cú BAP : ACQ(c g c) 
 AB BP
 d) Gọi M là giao điểm của CQ và AP (M AP)
 Sử dụng kết quả cõu b) Bã AP Mã CA . Trong AMC ta 
 chứng minh được Cã MA 900 CP  AQ (ĐPCM)
 3B. HS tự chứng minh.
 AB AH
 4A. a) Ta chứng minh AHB : AEC(g.g) (1) 
 AC AE
 AD AK
 b) Tương tự cõu a ta chứng minh được 
 AC AF
 AD.AF =AK.AC (2)
 b) Từ (1) ta cú AB.AE = AC.AH (3)
 Lấy (3) + (2) ta được AD.AF + AB.AE = AC2 (ĐPCM)
 4B. Gợi ý: Gọi AH  BC K , chứng minh được AK  
 BC.
 Áp dụng cỏch làm tương tự 4A suy ra ĐPCM.
 5A. Ta chứng minh được CIF vuụng tại I. Vẽ BK  CE.
 2
 SCBK BC 
 CBK : CFI 4 
 SCFI CF 
 S
 Lại cú CFI : BEK nờn CBE 5
 SCIF
 2
 5B. Đặt SABC = S . EBD : ABC 
 2 2 2
 SEBD BD a BD 
 Chứng minh 2 
 SABC BC S BC 
 BD a
 (1) 
 BC s
 Chứng minh:
 2
 SCDF DC DC b
 CDF : CBA (2)
 SCBA BC BC s
 BD DC a b 2
 Từ (1) và (2) S a b 
 BC BC s s
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) BEH” CDH; 
b) EHD” BHC. 
Bài 2: 
Cho ABC cú đường cao AH, biết AB = 30cm, BH = 18cm ; AC = 40cm
a) Tớnh độ dài AH và chứng minh: ABH ” CAH 
b) Chứng minh ABH ” CBA 
Bài 3: Cho tam giỏc ABC, cú À= 90° + Bà, đường cao CH. Chứng minh:
a) ãCBA ãACH b) CH 2 = BH .AH
Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại 
I. Trờn EB lấy điểm M sao cho DM = DA. 
a) Chứng minh DEMC ~ DECB 
b) Chứng minh EB .M C = 2a2 .
c) Tớnh diện tớch tam giỏc EMC theo a.
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.
a) Tớnh BC.
b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC, cắt đường thẳng AC tại H 
và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ CAB.
c) Tớnh EB và EM.
d) Chứng minh BH vuụng gúc với EC.
e) Chứng minh HA.HC = HM .HE. 
Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD, cú ãDBC 900 , AD 20cm , AB 4cm , DB 6cm , DC 9cm .
a) Tớnh gúc ãBAD
b) Chứng minh VBAD ” DDBC 
c) Chứng minh DC/ / AB .
Bài 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuụng gúc với AB tại E, vẽ CF vuụng 
gúc với AD tại F.Chứng minh rằng AB.AE + AD. AF = AC 2 LỜI GIẢI BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1
 A
Bài 1: 
a) BEH ” CDH (g g) D
 E
 HE HB
b) Cú BEH ~ CDH ta suy ra H
 HD HC
Từ đú chứng minh được EHD” BHC(c.g c) 
 B C
Bài 2: 
a) Vỡ AH  BC AHB vuụng tại H, theo định lý Pitago ta cú:
 AB2 AH 2 BH 2 AH 2 AB2 BH 2 
 AH 2 302 182 900 324 576 AH 24cm
Vỡ AH  BC AHC vuụng tại H, theo định lý Pitago ta cú:
 AC 2 AH 2 HC 2
 HC 2 AC 2 AH 2 A
 HC 2 402 242 1600 576 1024 HC 32cm
 AH 24 4ùỹ
 = = ù
 ù AH HC
Ta lại cú: BH 18 3ýù ị = 
 HC 32 4ù BH AH
 = = ù C
 AH 24 3ỵù B H
 ã ã ỹ
 AHB = CHA = 90°ù
 ù ã ã
Xột AHB và CHA cú: AH HC ý ị DAHB ” DCHA (c.g.c) ị ABH = CAH 
 = (cmt) ù
 BH AH ỵù
 ã ã ã ã
b) Ta cú: HBA + BAH = 90° ị CAH + HAB = 90° 
 ãAHB Cã AB 90 
Xột ABH và CBA cú:  ABH ” CAB (g g) (đpcm) 
 à
 B (chung)  
Bài 3: 
a) ãCBA ãACH
 ãACH 900 Cã AH 900 (1800 Bã AC) 900 Bã AC Cã BA
b) CH 2 BH.AH
 ãACH Cã BH
 HCA” HBC
 ã ã 0
 CHA BHC 90
 HC HA
 HC 2 HA.HB
 HB HC
Bài 4: a) Chứng minh DEMC ~ DECB 
 1
Tam giỏc EMC cú trung tuyến MD DA EC nờn là tam giỏc vuụng tại M.
 2
 Mã EC Cã EB
 ECB ~ EMC
 ã ã 0
 EMC ECB 90
b) Chứng minh EB .M C = 2a2 .
 EB BC
 DECB ” DEMC ị = ị EB.MC = EC.BC = 2a2
 EC MC
c) Tớnh diện tớch tam giỏc EMC theo a.
 2
 S ổEC ử EC 2 4a2 4
 DECB ” DEMC ị EMC = ỗ ữ = = =
 ỗ ữ 2 2 2 2
 SECB ốEB ứ EC + CB 4a + a 5
 1 4
S = EC.BC = a2 ị S = a2
 EBC 2 EMC 5
Bài 5: 
a) BC AB2 AC 2 9cm (Pitago)
b) Eã MB Cã AB ( 900 ), Eã BM Cã BA (gúc chung) EMB ~ CAB (g.g)
 5
 ME AC 6cm
 ME BE MB 9 : 2 5 6
c) EMB” CAB 
 AC BC AB 5,4 6 5
 BE BC 7,5cm
 6 d) ΔBEC cú 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nờn H là trực tõm ΔBEC, BH  EC
e) Chứng minh DAHE ” DMHC từ đú suy ra HA.HC = HM .HE. 
Bài 6: 
a) Ta cú BD2 AB2 AD2 , suy ra tam giỏc ABD vuụng tại A (Pitago đảo)
b) Ta cú BC CD2 BD2 3 5 (Pitago)
 ổ ử
 ã ã AB AD ỗ4 20ữ
 BAD = CBD = 90°, = ỗ = ữị DABD ” DBDC (c.g.c)
 BD BC ốỗ6 3 5ứữ
c) ABD ” BDC ãABD Bã DC AB / /CD
Bài 7: Vẽ BH  AC H AC 
 ã ã 0 ã
Xột ABH và ACE cú AHB AEC 90 ;BAC E
chung . 
Suy ra DABH ” VACE(gìg) 
 B C
 AB AH
 AB.AE AC.AH (1)
 AC AE
 H
 DCBH DACF Bã CH Cã AF
Xột và cú (so le trong) A D F
 Cã HB Cã FA 900 
 BC CH
Suy ra DCBH ” DACF(g.g) ị = ị BC.AF = AC.CH (2)
 AC AF
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:
 AB.AE + BC.AF = AC.AH + AC.CH ị AB.AE + AD.AF = AC (AH + CH ) = AC 2.
PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Dạng 1: Cỏc Trường Hợp Đũng Dạng Của Tam Giỏc Vuụng Suy Ra Từ Cỏc Trường Hợp 
Đũng Dạng Của Tam Giỏc Bài tập 1 : Hóy chỉ ra cỏc cặp tam giỏc đồng dạng. Viết cỏc cặp tam giỏc đồng dạng theo 
thứ tự cỏc đỉnh tương ứng và giải thớch vỡ sao chỳng đồng dạng.
 A
 N
 C
 B H M
Bài tập 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú đường cao AH.Chứng minh rằng: 
 2
 AH BH.CH .
Bài tập 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc của gúc B cắt AC tại D. Đường 
cao AH cắt BD tại I. Chứng minh rằng:
 1. AB.BI BH.DB 
 2. Tam giỏc AID cõn.
Bài tập 4: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, biết AB 15cm,AC 13cm và đường cao 
 AH 12cm . Gọi M,N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của H xuống AB và AC.
 1. CMR: AHN ∽ ACH 
 2. Tớnh độ dài BC
 3. Chứng minh: AM.AB AN.AC , từ đú suy ra AMN ∽ ACB .
Bài tập 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB 8cm, AD 6cm . Trờn cạnh BC lấy điểm M 
sao cho BM 4cm. Đường thẳng AM cắt đường chộo BD tại I, cắt đường DC tại N
 IB
 1. Tớnh tỉ số 
 ID
 2. Chứng minh: MAB ∽ AND 
 3. Tớnh độ dài DN và CN.
Bài tập 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Hỡnh vuụng MNPQ cú M thuộc cạnh AB, N 
thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Biết BQ 4cm,CP 9cm. Tớnh cạnh của hỡnh vuụng.
Dạng 2: Trường Hợp Đồng Dạng Cạnh Huyền – Cạnh Gúc Vuụng
Bài tập 1: Cho điểm M nằm trờn đoạn thẳng AB, MA 6cm,MB 24cm. Vẽ về một phớa của 
AB cỏc tia Ax, By vuụng gúc với AB. Lấy điểm C thuộc tia Ax, điểm D thuộc tia By sao cho 
 MC 10cm,MD 30cm. Chứng minh rằng: CMD 900 . y
 D
 x
 C 30
 10
 A 6 M 24 B
Bài tập 2: Tam giỏc ABH vuụng tại H cú AB 20cm, BH 12cm. Trờn tia đối của tia HB lấy 
 5
điểm C sao cho AC AH. 
 3
 1. Chứng minh rằng cỏc tam giỏc ABH và CAH đồng dạng.
 2. Tớnh Bã AC. 
Bài tập 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AC 4cm, BC 6cm. Ở phớa ngoài tam giỏc ABC, 
vẽ tam giỏc BCD vuụng tại C cú BD = 9cm. Chứng minh rằng BD / / AC . 
Bài tập 4: Cho hỡnh thang ABCD cú àA Dà 900 , điểm E thuộc cạnh bờn AD. Tớnh Bã EC 
biết rằng AB 4cm, BE 5cm, DE 12cm,CE 15cm. 
 Bài tập 5: Cho hai tam giỏc cõn ABC và A’B’C’ (AB=AC, A’B’=A’C’), cỏc đường cao BH và 
 BH BC
B’H’. Cho biết . Chứng minh rằng ABC ∽ A'B'C '.
 B'H ' B'C '
 HƯỚNG DẪN GIẢI PHIẾU SỐ 2
Dạng 1: cỏc trường hợp đũng dạng của tam giỏc vuụng suy ra từ cỏc trường hợp đũng dạng 
của tam giỏc
Bài tập 1: 
 A
 N
 C
 B H M
Trờn hỡnh cú 4 tam giỏc vuụng đồng dạng với nhau từng đụi một, vỡ chỳng cú cỏc cặp gúc 
nhọn tương ứng bằng nhau. Đú là: ABC, NMC, HBA, HAC (Bốn tam giỏc trờn đó được viết theo cỏc đỉnh tương ứng)
Bài tập 2: 
 A
 C
 B H
Xột tam giỏc vuụng HBA và HAC cú: 
 Bã AH Hã AC 900 
  Bã AH Hã CA 
 ã ã 0
 HCA HAC 90  
Suy ra HBA∽ HAC 
 BH AH
Từ đú: AH 2 BH.CH 
 AH CH
Bài tập 3:
 A
 D
 I
 C
 B H
 1. BD là đừng phõn giỏc nờn ãABD Hã BI mà Dã AB IãHB 900 
 AB DB
 Suy ra ABD ∽ HBI g g AB.BI BH.DB 
 HB IB
 2. Do ABD ∽ HBI g g nờn Bã DA Bã IH mà Bã IH Dã IA (đối đỉnh)
 Suy ra : Bã DA Dã IA Do đú: Tam giỏc AID cõn tại A.
Bài tập 4: