Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba (Có đáp án)

 HH8-C3-CD8 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
• Định lý: Nếu hai gúc của tam giỏc này lần lượt bằng hai gúc của tam giỏc kia thỡ 
hai tam giỏc đú đồng dạng.
 A
 G ABC, A'B'C '
 T À À',B Bà'
 A'
 K
 ABC ∽ A'B'C ' 
 L B C B' C'
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giỏc đồng dạng
Phương phỏp giải: Chỉ ra hai cặp gúc tương ứng bằng nhau trong hai tam giỏc để suy ra 
hai tam giỏc đồng dạng.
1. Cho tam giỏc ABC cú đường phõn giỏc trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song 
với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:
a) ABD ∽ ECD; b) ACE cõn tại C.
2. Hỡnh thang ABCD AB PCD , cú Dã AB Cã BD .Chứng minh ABD ∽ BDC. 
3. Cho ABC cú AM là phõn giỏc của Bã AC M BC . Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng 
 1
bờ BC khụng chứa A sao cho Bã Cx Bã AC. Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng 
 2
minh:
a) BM.MC MN.MA; b) ABM ∽ ANC; 
c) Tam giỏc BCN cõn.
4. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Một cỏt tuyến d qua A bất kỡ cắt đường chộo BD tại E và 
cỏc đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh:
a) GCF ∽ GDA; b) GCF ∽ ABF;
c) GDA ∽ ABF và tớch số BF.DG luụn khụng đổi khi d quay quanh A.
Dạng 2. Sử dụng cỏc trường hợp đồng dạng thứ ba để tớnh độ dài cỏc cạnh, chứng 
minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh cỏc gúc bằng nhau
Phương phỏp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai 
tam giỏc đồng dạng, từ đú suy ra cỏc cặp gúc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương 
ứng tỉ lệ.
5. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Chứng minh:
 2 2
a) AB BH.BC; b) AH BH.HC. 6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Q là điểm trờn AC. Gọi D là hỡnh chiếu của Q trờn BC 
và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh:
a) QA.QC QD.QE; b) AB.AE AQ.AC. 
7. Cho tam giỏc ABC AB AC , đường phõn giỏc trong AD. Gọi M và N theo thứ tự 
là hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng AD. Chứng minh:
 BM AB
a) ; b) AM.DN AN.DM. 
 CN AC
8. Cho tam giỏc ABC AB AC , đường phõn giỏc trong AD. Trờn tia đối của tia DA 
lấy điểm I sao cho à CI Bã DA. Chứng minh:
a) ABD ∽ AIC; b) ABD ∽ CID; 
 2
c) AD AB.AC DB.DC. 
 HƯỚNG DẪN
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú đường phõn giỏc trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song 
song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:
a) DABD ” DECD; b) ACE cõn tại C.
 à ã
Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD cú AB//CD, AB = 4cm , DB = 6cm và A = CBD . Tớnh 
độ dài CD.
Bài 3: Cho D ABC vuụng tại A cú AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.
a) Chứng minh: D ABK ∽ D CBA. Tớnh độ dài đoạn thẳng BC, AK.
b) Chứng minh: DABK ” DCAK
c) Chứng minh: DCAK ” DCBA
Bài 4: Cho tam giỏc ABC. Trờn cỏc cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt cỏc điểm M, N, P sao 
cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ cỏc đường thẳng song song với BO cắt 
CO, OA lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh: DFCM” DOBM và DPAE ” DPBO 
 MB NC PA
b) Chứng minh: . . = 1.
 MC NA PB
Bài 5: Cho ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H . Chứng 
minh:
a) AD.BC BE.AC CF.AB 
b) AD.HD DB.DC và suy ra cỏc hệ thức tương tự
c) ABH ” EDH và suy ra cỏc kết quả tương tự d) AEF : ABC và BDF : EDC
e) AHB : AFD và suy ra cỏc kết quả tương tự.
f) Điểm H cỏch đều 3 cạnh của DEF 
Bài 6: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC và 
BD.
a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
b) Đường thẳng qua O, vuụng gúc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh 
 OH AB
 OK CD
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cú Bà 2.Cà , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tớnh độ dài cạnh BC ?
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN A
Bài 1: 
a) Do AB/ / CE nờn Bã AD Dã EC . Chứng minh được 
 C
 ABD ~ ECD(g  g) B D
b) Chứng minh được Cã AD Cã ED( Bã AD) nờn ACE cõn tại C.
Bài 2: Xột ABD và BDC: E
 A B
 À Cã BD; Ã BD Bã DC (so le trong)
 ị VABD ” DBDC (g – g)
 AB BD BD2 62 D C
 = ị CD = = = 9cm
 BD CD AB 4
Bài 3: a) Chứng minh: D ABK ∽ D CBA. Tớnh độ dài đoạn thẳng BC, AK.
 ỡ ã ã 0 ã
 ù ABK = CBA(= 90 - BAK )
 DABK ,CBA : ớù ị DABK ” DCBA
 ã ã 0
 ù AKB = CAB(= 90 )
 ợù A
ΔABC vuụng tại A: BC = AB 2 + AC 2 = 20cm
 1 1 BA.AC C
S = AK .BC = AB.AC ị AK = = 8,6cm B
 ABC 2 2 BC K ỡ ã ã 0 ã
 ù ABK = KAC(= 90 - BAK )
b) DABK ,CAK : ớù ị DABK ” DCAK
 ù ÃKB = CãKA(= 900)
 ợù
 ỡ
 ù DABK ” DCAK
c) ớ ị DCAK ” DCBA (cỏch khỏc g-g)
 ù DABK ” DCBA
 ợù
Bài 4: 
 Fã CM Oã BM (OB / /CF)
 a) FCM ,OBM : FCM ~ OBM
 ã ã
 FMC OMB
 ỡ ã ã
 ù PAE = PBO (OB/ / AE)
DPAE,PBO : ớù ị DPAE” DPBO
 ù EãPA = OãPB
 ợù
 MB OB
 FCM ” OBM 
 MC FC MB PA AE
b) . 
 PA AE MC PB FC
 PAE” PBO 
 PB BO
 N AC AE AC
 AEC : ON / / AE, 
 O EC ON NC AE AN
 O FA ON AN FC NC
 AFC : ON / /CF, 
 O AC FC AC
 MB NC PA AE FC
Từ cỏc kết quả trờn suy ra đpcm: . . = . = 1
 MC NA PB FC AE
Bài 5: a) Vỡ AD, BE, CF là đường cao của ABC AD  BC; CF  AB; BE  AC
 Cã FA Bã EA 90 
Xột CFA và BEA cú:  CFA : BEA(g g) 
 à
 A chung  
 CF AC
 AC.BE CF.AB (1)
 BE AB Xột CFB và ADB cú: 
 Cã FB ãADB 90 
  CFB : ADB(g g) 
 à A
 B chung  
 CF CB E
 Fã CB Dã AB và AD.BC CF.AB (2)
 AD AB F
Từ (1) và (2) suy ra: AD.BC BE.AC CF.AB H
 B
 CDH ADB
b) Xột và cú: D
 Cã DH ãADB 90  C
  CDH : ADB(g g) 
 ã ã
 HCD BAD(cmt)  
 HD CD CH
 AD.HD CD.BD; AB.HD CH.BD;CD.AB CH.AD
 BD AD AB
 ãAEH Bã DH 90  AH EH
c) Xột AEH và BDH cú:  AHE” BDH (g g) 
 ã ã
 AHE BHD(dd)  BH DH
 AH EH 
 (cmt) 
Xột AHB và EHD cú: BH DH  AHB” EDH (c g c)
 ã ã 
 AHB EHD(dd)
Tương tự ta cú: AHC : FHD; BHC : FHE 
 FA AC
d) Vỡ CFA” BEA 
 EA AB
 FA AC 
 (cmt) 
Xột AEF và ABC cú: AE AB  AEF” ABC(c g c) 
 à 
 A(chung) 
 BDF” BAC
Chứng minh tương tự ta cú  BDF” EDC (t/c..)
 BAC” EDC
 ã ã
e) Vỡ DBDF ” DBAC ị BDF = BAC ãADF ãABH (cựng phụ với Bã DF Bã AC )
 ãABH ãADF 
Xột AHB và AFD cú:  AHB” AFD(g g) 
 à
 A(chung)  
Tương tự ta cú: AED : AHC 
f) 
 ã ã ùỹ
 DAHB” DAFD đ ABH = FDA ù ã ã
 ýù ị FDA = EDH DH là tia phõn giỏc Fã DE (3)
 DAHB” DEHD đ ÃBH = EãDH ù
 ỵù Lại cú: Fã EB Fã AD (cựng phụ với ãAEF Fã DB )
Mà: Hã AB Hã ED(cmt) 
 Fã EB Hã ED EH là tia phõn giỏc Fã ED (4)
Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phõn giỏc trong tam giỏc FED hay H 
cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc FED
Bài 6: 
 ãAOB Cã OD OA OB
a) OAB” OCD 
 ã ã
 OAB OCD (AB//CD) OC OD
đpcm
 ã ã 0
 AHO CKO( 90 ) OA OH
b) OAH ” OCK 
 ã ã OC OK
 OAH OCK AB//CD 
 OA AB OH AB
Mà OAB” OCD nờn 
 OC CD OK CD
Bài 7: 
 A
Kẻ đường phõn giỏc BD của tam giỏc ABC. 
 à D
Xột ∆ABC và ∆ADB cú A chung, 
 ổ ã ử
 ã ã ỗ ABC ữ
 ACB = ABDỗ= ữ suy ra ∆ABC ∽ ∆ADB (g.g)
 ỗ 2 ữ
 ố ứ B C
 AB AC AB2 42
 AD 2 (cm) 
 AD AB AC 8
 CD = 6 (cm).
 BC CD AB.CD 4.6
∆ABC cú BD là đường phõn giỏc nờn BC 12 (cm). 
 AB AD AD 2
PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1: Cho hỡnh chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của 
 CD . Chứng minh hai tam giỏc ADF và CBE đồng dạng với nhau.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , AB 15cm; AC 20cm . Kẻ đường cao AH .
a. Chứng minh : ABC : HBA từ đú suy ra: AB2 BC.BH 
b. Tớnh BH và CH .
Bài 3: Cho hỡnh thang ABCD ( AB //CD ). Biết AB 3cm; AD 2,5cm; BD 6cm và Dã BC Dã AB .
a. Chứng minh hai tam giỏc ADB và BCD đồng dạng.
b. Tớnh độ dài cỏc cạnh BC và CD .
Bài 4: Cho tam giỏc vuụng ABC àA 900 cú AB 9cm, AC 12cm . Dựng AD vuụng gúc 
với BC D BC . Tia phõn giỏc gúc B cắt AC tại E . 
a. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AD, DB và DC .
b. Tớnh diện tớch cỏc tam giỏc ABD và ACD .
Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với đường chộo AC BD . Gọi E, F lần lượt là chõn 
đường vuụng gúc kẻ từ C đến cỏc đường thẳng AB và AD . Gọi G là chõn đường vuụng 
gúc kẻ từ B đến AC . Chứng minh rằng:
a. BCG đồng dạng với CAF 
b. BG.AF CG.CF 
Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , trờn tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM AB, 
trờn tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN AD . Chứng minh:
a. CNB và MDC cõn.
b. CNB : MDC 
c. Chứng minh M ,C, N thẳng hàng.
Bài 7: Cho tam giỏc ABC AB BC cú cỏc gúc đều nhọn, đường phõn giỏc AD . Cỏc 
đường cao BE, CF cắt nhau ở H , đường phõn giỏc AD . Vẽ tia Dx sao cho Cã Dx Bã AC 
(tia Dx và A cựng phớa đối với BC), tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh:
a. ABE : ACF . Từ đú suy ra: AE.AC AF.AB 
b. ABC : DKC.
c. DK DB. 
Bài 8: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , cú AB 6cm, AC 8cm, BC 10cm . Đường cao 
 AH (H BC).
a. Chỉ ra cỏc cặp tam giỏc đồng dạng.
b. Chứng minh rằng AH 2 BH.HC c. Cho AD là đường phõn giỏc của tam giỏc ABC(D BC) . Vẽ đường thẳng vuụng gúc 
với AC tại C cắt đường phõn giỏc AD tại E . Chứng minh tam giỏc ABD đồng dạng 
tam giỏc ECD .
Bài 9: Cho tam giỏc ABC , đường trung tuyến AM . Qua điểm D thuộc cạnh BC , vẽ 
đường thẳng song song với AM , cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F .
a. Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trờn cạnh BC thỡ tổng DE DF cú giỏ 
trị khụng đổi.
b. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K . Chứng minh rằng K là trung 
điểm của EF .
Bài 10: Cho cỏc tam giỏc ABC và A' B 'C ' cú àA àA' 1800 , Bà Bà' . Gọi BC a, AC b, 
 AB c, B 'C ' a ', A'C ' b', A' B ' c '. Chứng minh rằng aa ' bb' cc '. LỜI GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1: 
 A E B
 D F C
 AECF là hỡnh bỡnh hành (Vỡ cú AE, FC song song và bằng nhau), suy ra: AF // EC . 
Khi đú, ta cú: ãAFD Eã CF (hai gúc đồng vị)
 Cã EB Eã CF (hai gúc so le trong)
Từ đú: ãAFD Cã EB
Xột ADF và CBE , ta cú:
 Bà Dà 900 
 ãAFD Cã EB
Do vậy: ADF : CBE (g.g)
Bài 2: 
 B
 H
 A C
a. Xột ABC và HBA , ta cú:
 àA Hà 900 
 Bà chung
Do đú: ABC : HBA (g.g)
 AB BC
 HB BA
 AB.BA HB.BC hay AB2 BC.BH b. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giỏc vuụng ABC :
 AB2 AC 2 BC 2 
 152 202 BC 2 
 BC 25cm .
 AB BC 15 25
Theo a, ta cú: hay 
 HB BA HB 15
 15.15
 HB 9cm. 
 25
 CH BC HB 25 9 16cm. 
Vậy HB 9cm,CH 16cm.
Bài 3: 
 A B
 D C
a. Xột ADB và BCD cú:
 ãABD Bã DC (hai gúc so le trong)
 Dã BC Dã AB
Do đú: ADB : BCD (g.g)
 AD AB DB
b. Vỡ ADB : BCD nờn 
 BC BD CD
 2,5 3 6
Hay 
 BC 6 CD
 BC 5cm,CD 12cm. 
Bài 4: