Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 6: Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đều (Có đáp án)

 HH8-C4-CD6 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HèNH CHểP ĐỀU
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
I. Cụng thức tớnh diện tớch, thể tớch hỡnh chúp đều 
Diện tớch xung quanhcủa hỡnh chúp đều bằng tớch của nửa chu vi với trung đoạn. 
Như vậy, ta cú: Sxq p.d
Trong đú: 
 ▪ p là nửa chu vi đỏy.
 ▪ d trung đoạn.
Diện tớch toàn phần của hỡnh chúp đều bằng tổng diện tớch xung quanh và diện tớch đỏy.
Như vậy, ta cú: Stp = Sxq + Sđáy
Thể tớch của hỡnh chúp đều bằng một phần ba tớch của diện tớch đỏy nhõn với chiều cao.
 1
Như vậy, ta cú: V = S.h
 3
Trong đú: 
 ▪ S là diện tớch đỏy.
 ▪ h là chiều cao.
II. Cụng thức tớnh diện tớch, thể tớch hỡnh chúp cụt đều 
Với hỡnh chúp cụt đều, ta cú:
a. Diện tớch xung quanh: 
 1
 S = (p + p')d
 xq 2
Trong đú:
 ▪ p và p’ lần lượt là chu vi hai đỏy.
 ▪ d là đường cao của mặt bờn.
b. Thể tớch:
 1
 V = h.(B + B'+ BB')
 chóp cụt 3
Trong đú: 
 ▪ B, B’ là diện tớch cỏc đỏy
 ▪ h là độ dài đường cao
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Vớ dụ 1: Một hỡnh chúp tứ giỏc đều cú độ dài cạnh bờn bằng 25cm, đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh 
30cm. Tớnh diện tớch toàn phần của hỡnh chúp.
❖ Hướng dẫn: Trước tiờn, đi tớnh độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cựng sử 
dụng cỏc cụng thức cú sẵn.
 Giải – Học sinh tự vẽ hỡnh. Kẻ SM ^ BC thỡ SM là trung đoạn của hỡnh chúp đều S.ABCD (S là đỉnh).
Do tam giỏc ABC cõn tại S nờn AM cũng là trung tuyến.
 1 1
ị MB = MC = BC = .30 = 15(cm)
 2 2
Xột DSBM cú:
Mà= 90o ị SM = SB2 - MB2 = 252 - 152 = 20 (cm)
 1
Ta cú: p = .4.30 = 60 (cm); S = 302 = 900 (cm2 )
 ( ABCD) 2 ( ABCD)
 2 2
Sxq = p.SM = 60.20 = 1200 (cm ); Stp = 900+ 1200 = 2100 (cm )
Vớ dụ 2:Tớnh diện tớch xung quanh, diện tớch toàn phần của cỏc hỡnh chúp tứ giỏc đều trong hỡnh 126.
❖ Hướng dẫn:Ta lần lượt:
 ▪ Với cỏc cõu a), cõu b) sử dụng ngay cỏc cụng thức cú sẵn.
 ▪ Với cỏc cõu c), trước tiờn, đi tớnh độ dai trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cựng 
 sử dụng cỏc cụng thức cú sẵn.
 Giải: 
a) Hỡnh a) là hỡnh chúp tứ giỏc đều với cạnh đỏy là 20m,trung đoạn 20m. Ta cú:
 ▪ Diện tớch xung quanh: S = (2.20).20 = 800(m2 )
 ▪ Diện tớch toàn phần: S = 800+ 202 = 1200(m2 )
b) Hỡnh b) là hỡnh chúp tứ giỏc đều với cạnh đỏy là 7cm, trung đoạn 12cm.
 ▪ Diện tớch xung quanh: S = (2.7).12 = 168(cm2 )
 ▪ Diện tớch toàn phần: S = 168+ 72 = 217(cm2 )
c) Hỡnh c) là hỡnh chúp tứ giỏc đều với cạnh đỏy là 16cm, trung đoạn 17cm. Ta cú:
 ▪ Trung đoạn d = 172 - 82 = 15(cm)
 ▪ Diện tớch xung quanh: S = (2.16).15 = 480(m2 )
 ▪ Diện tớch toàn phần: S = 480+ 162 = 736(m2 )
Vớ dụ 3:(Bài 45/trang 12-SGK) Tớnh thể tớch của mỗi hỡnh chúp đều trong hỡnh 130, 131. ❖ Hướng dẫn:Trước tiờn, đi tớnh độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago hoặc tớnh chất 
trung tuyến trong tam giỏc đều. Cuối cựng sử dụng cỏc cụng thức cú sẵn,
 Giải: 
a. Hỡnh 130 là hỡnh chúp tam giỏc đều A.BDC. Ta cú:
 1
BC = 10cm ị MB = MC = BC = 5cm
 2
Trong DBMD, ỏp dụng định lý Pytago ta cú:
BD2 = MB2 + DM2 ị DM2 = 102 - 52 = 75 ị DM ằ 8,66(cm)
 1
Do đú: S = DM.BC ằ 43,3(cm2 )
 BCD 2
Vậy thể tớch khối chúp đều A.BDC là: 
 1 1
V = .S .OA = .43,3.12 = 173,2 (cm3 )
 3 BCD 3
b. Hỡnh 131 là hỡnh chúp tam giỏc đều A.BDC. Ta cú:
 1
BC = 8cm ị MB = MC = BC = 4 (cm)
 2
Tương tự, ta cú DM ằ 6,93(cm)
 2 3
Từ đú, suy ra: SBDC = 27,72 (cm ); V = 149,69 (cm ).
Vớ dụ 4: Tớnh diện tớch toàn phần của hỡnh chúp lục giỏc đều, biết cạnh đỏy a = 6cm, cạnh bờn 
b = 10cm, cho 3 ằ 1,73
❖ Hướng dẫn:Sử dụng cỏc cụng thức cú sẵn.
 Giải: 
Ta cú: 
 ▪ Trung đoạn của hỡnh chúp lục giỏc đều là: d = 4cm
 ▪ Diện tớch xung quanh: S = (3.6).4 = 72(cm2 )
 a2 3
 ▪ Diện tớch đỏy: S = ằ 15,57 (cm2 )
 4
 2
 ▪ Diện tớch toàn phần: Stp = 72 + 15,57 = 87,57 (cm ) Vớ dụ 5: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cỏc mặt bờn là những tam giỏc đều, AB = 4cm và O là 
trọng tõm. Gọi M là trung điểm BC.
a. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng SO, SM.
b. Tớnh diện tớch xung quanh, diện tớch toàn phần và thể tớch của hỡnh chúp.
❖ Hướng dẫn:Ta lần lượt:
 ▪ Với cõu a), độ dài của cỏc đoạn thẳng được tớnh dựa vào định lý Pytago.
 ▪ Với cõu b), sử dụng cỏc cụng thức cú sẵn.
 Giải: 
a. Nhận xột rằng:
SA = SB Û DSAB cõn tại Sị SM ^ AB
Trong DSMA vuụng tại M, ta cú:
SM2 = SA2 - AM2 = 42 - 22 = 12 Û SM = 2 3cm
Trong DSOA vuụng tại O, ta cú:
 2
 ổ2 4 3ử 32 4 6
 2 2 2 2 ỗ ữ
SO = SA - AO = 4 - ỗ . ữ = Û SO = cm
 ốỗ3 2 ứữ 3 3
b. Ta lần lượt cú: 
 1 1
 ▪ Diện tớch xung quanh: S = (AB + BC + CA).SM = (4 + 4 + 4).2 3 = 12 3 (cm2 )
 xq 2 2
 2
 ▪ Diện tớch toàn phần: Stp = Sxq + Sđáy = 12 3 + 4 3 = 16 3 cm
 1 1 1 4 6 16 2
 ▪ Thể tớch: V = S .h = S .SO = 4 3. = cm3
 3 đáy 3 DABC 3 3 3
Vớ dụ 6: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú chiều cao 15cm và thể tớch là 1280cm3
 a. Tớnh độ dài cạnh đỏy.
 b. Tớnh diện tớch xung quanh.
❖ Hướng dẫn:Ta lần lượt:
 ▪ Với cõu a) sử dụng cụng thức thể tớch của hỡnh chúp đều.
 ▪ Với cõu b) độ dài trung đoạn được tớnh dựa vào định lý Pytago.
 Giải: 
a. Gọi a là độ dài cạnh đỏy của hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD. Từ giả 
thiết, ta cú:
 1 1
V = S .h = a215 = 5a2 = 1280 Û a = 16cm
 3 đáy 4
Vậy độ dài cạnh đỏy là a=16cm.
b. Gọi M là trung điểm BC, ta cú:
 1
S = p.d = (AB + BC + CD+ DA).SM = 32SM
 xq 2 1
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta cú: OM = AB = 8cm.
 2
Trong tam giỏc vuụng SOM ta cú:
SM2 = SO2 + OM2 = 152 + 82 = 289 Û SM = 17cm.
 2
Khi đú, ta được: Sxq = 32.17 = 544cm
Vậy diện tớch xung quanh hỡnh chúp bằng 544 cm2
Vớ dụ 7: Hỡnh 129 là một cỏi lều ở trại hố của học sinh kốm theo cỏc 
kớch thước.
a. Tớnh thờ tớch khụng khớ bờn trong lều là bao nhiờu?
b. Xỏc định số vải bạt cần thiết để dựng lều (khụng tớnh đến đường 
viền, nếp gấp, biết 5 ằ 2,24).
 Giải: 
a. Lều trại cú dạng hỡnh chúp tứ giỏc đều với cạnh đỏy 2m, chiều cao 2m. Do đú, thể tớch của hỡnh chúp 
đều này là: 
 1
V = .22.2 ằ 2,67(m3 )
 3
Biết rằng, thể tớch khối khụng khớ trong lều chớnh là thể tớch của hỡnh chúp. Vậy, thể tớch của khối khụng 
khớ trong lều xấp xỉ 2,67m3
b. Biết rằng số vải bạt cần thiết để dựng lều bằng diện tớch xung quanh của hỡnh chúp tứ giỏc đều.
Ta cú: 
 1
 ▪ Nửa chu vi đỏy là: p = .4.2 = 4(m)
 2
 ▪ Cạnh bờn của tam giỏc cõn cú d là đường cao là: a = 22 + ( 2)2 = 6 (m)
 2 2 2
 ▪ Trung đoạn của hỡnh chúp là: d = ( 6) - 1 = 5 (m) ị Sxq = p.d = 4 5 ằ 8,96 (m )
Vậy số vải bạt cần thiết để dựng lều là 8,96(m2 )
Vớ dụ 8: Hỡnh S.MNOPQR (hỡnh 132) là một hỡnh chúp lục giỏc đều. Bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp 
đỏy (đường trũn tõm H, đi qua 6 đỉnh của đỏy) HM = 12cm (hỡnh 133), chiều cao SM = 35cm. Hóy 
tớnh: 
a. Diện tớch đỏy và thể tớch của hỡnh chúp (biết 108 ằ 10,39)
b. Độ dài cạnh bờn SM và diện tớch toàn phần của hỡnh chúp (biết 1333 ằ 36,51) Giải: 
a. Theo tớnh chất của lục giỏc đều, DMHN là một trong sỏu tam giỏc đều tạo bởi cỏc đường chộo của 
lục giỏc đều đú:
Ta cú: HK = HM 2 - MK 2 = 122 - 62 ằ 10,39(cm)
 1 1
ị S = HK.MN ằ 10,39.12 = 62,34(cm2 )
 MHN 2 2
 2
ị SMNOPQR = 6.SMHN ằ 6.62,34 ằ 374,04(cm )
 1 1
Vậy, thể tớch hỡnh chúp là: V = S .SH ằ .374,04.35 ằ 4363,8 (cm3 )
 3 đáy 3
b. Áp dụng định lý Pytago vào DSHM , ta cú:
SM = 352 + 122 = 37(cm)
Ta cú, K là trung điểm của MN nờn SK là trung đoạn của hỡnh chúp.
Xột DSKM, ta cú: SK = SM2 - KM2 ằ 36,51(cm)
Diện tớch xung quanh của hỡnh chúp đều S.MNOPQR là:
Sxq = p.d = 3.MN.SK ằ 3.12.36,51ằ 1314,36
Diện tớch toàn phần của hỡnh chúp đều S.MNOPQR là :
 2
Stp = Sđáy + Sxq ằ 374,04 + 1314,36 ằ 1688,40(cm ) PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
1. Dạng toỏn đại lượng hỡnh học
Bài 1: Cho hỡnh chúp đều cú diện tớch đỏy bằng 12 cm2 đường cao bằng 5 cm .Tớnh thể tớch hỡnh chúp 
đều.
Bài 2: Cho hỡnh chúp đều cú diện tớch đỏy bằng 10 cm2 , thể tớch hỡnh chúp đều bằng 60 cm3 . Tớnh 
đường cao của hỡnh chúp đều.
Bài 3: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều biết độ dài cạnh đỏy bằng 4cm và độ dài cạnh bờn bằng 
 24cm 
Bài 4: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết chiều cao bằng 12cm và cạnh bờn bằng 4cm .
Bài 5: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết độ dài cạnh bờn bằng 6 cm và cạnh đỏy 3cm. 
Bài 6: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú trung đoạn bằng 5cm và diện tớch xung quanh bằng 
80cm2 .
Bài 7: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú diện tớch xung quanh bằng 80cm2 và diện tớch toàn phần 
 2
bằng 144cm 
Bài 8: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = 2cm , SA = 4cm . Tớnh độ dài trung đoạn và 
chiều cao của hỡnh chúp đều này.
Bài 9: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú AB = 3cm , cạnh bờn SA = 4cm . Tớnh chiều cao của 
hỡnh chúp.
2. Dạng toỏn chứng minh
Bài 10: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều A.BCD . Gọi H là trung điểm CD. Chứng minh: 
a) CD vuụng gúc với mặt phẳng (AHB)
b) AC ^ BD
Bài 11: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng minh 
a) SO vuụng gúc với mp(ABCD)
b) mp(SAC )vuụng gúc với mp(ABCD) HƯỚNG DẪN GIẢI
1. Dạng toỏn đại lượng hỡnh học
Bài 1: Cho hỡnh chúp đều cú diện tớch đỏy bằng 12 cm2 đường cao bằng 5 cm .Tớnh thể tớch hỡnh chúp 
đều.
Lời giải 
 1 1
Ta cú thể tớch hỡnh chúp: V Sh 12.5 20 cm3
 3 3
Bài 2: Cho hỡnh chúp đều cú diện tớch đỏy bằng 10 cm2 , thể tớch hỡnh chúp đều bằng 60 cm3 . Tớnh 
đường cao của hỡnh chúp đều.
Lời giải 
 1 3V 3.60
Ta cú thể tớch hỡnh chúp: V Sh h 36 cm 
 3 S 10
Bài 3: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều biết độ dài cạnh đỏy bằng 4cm và độ dài cạnh bờn bằng 
 24cm 
Lời giải 
E.ABCD là hỡnh chúp tứ giỏc đều cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng, cú cạnh AB = 4cm
Ta cú AC 42 42 4 2cm
Suy ra FC = 2 2cm
Áp dụng định lớ pytago trong tam giỏc vuụng EFC ta cú 
 2
EF EC 2 FC 2 24 (2 2)2 24 8 16 4cm
Chiều cao hỡnh chúp là 4cm
Diện tớch tứ giỏc đỏy S 4.4 16cm
 1 1
Thể tớch hỡnh chúpV Sh 16.4 21,3cm3
 3 3
Bài 4: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết chiều cao bằng 12cm và cạnh bờn bằng 4cm .
Lời giải
S.ABC là hỡnh chúp đều nờn chõn đường cao H trựng với giao điểm ba đường trung tuyến của 
 2
tam giỏc, ta cú SH  CI và HC CI 
 3
Trong tam giỏc SHC vuụng tại H , theo định lớ pytago ta cú 
 2
HC SC2 sh2 42 12 2 
Suy ra CI 3cm 
Tam giỏc ABC là tam giỏc đều, giả sử cú cạnh là a nờn chiều cao tam giỏc a 3
đều là h mà CI là chiều cao tam giỏc 
 2
ABC nờn cạnh tam giỏc đều là 
2h 2.3
 2 3 hay AB 2 3cm 
 3 3
Diện tớch đỏy là 
 1 1
S .CI.AB .3.2 3 3 3 cm2 
 2 2 
Thể tớch hỡnh chúp là 
 1 1
V .S.h .3 3. 12 6 cm3 
 3 3 
Bài 5: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tam giỏc đều biết độ dài cạnh bờn bằng 6 cm và cạnh đỏy3cm .
Lời giải 
 3
Gọi H là trọng tõm tam giỏc ABC , HC cắt AB tại D , ta cú AD DB 
 2
Tam giỏc CDB vuụng tại D , theo định lớ Pytago, ta cú
 2
 2 2 2 3 3 3
DC BC BD 3 và 
 2 2
 2 2 3 3
HC CD  3
 3 3 2
Tam giỏc SHC vuụng tại H, ta cú 
SH SC 2 HC 2 ( 6)2 ( 3)2 3
Thể tớch của hỡnh chúp đều là 
 1 1 1 1 1 3 3 9
V S h DC.AB .SH .3 3 cm3
 d 
 3 3 2 3 2 2 4
Bài 6: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú trung đoạn bằng 5cm và diện tớch xung quanh bằng 
80cm2 .
 Lời giải 
Diện tớch xung quanh hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy là a cm, 
trung đoạn là 5cm :
 2
Sxq p d 2a.5 80cm Hay a = 8cm
Ta cú AC 82 82 8 2cm BF 4 2cm
Ta cú FI = 4cm (vỡ FI là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC, tam 
giỏc ABC cú cạnh AB = a = 8cm ) Áp dụng định lớ pytago trong tam giỏc vuụng EFI ta cú EF EI 2 FI 2 52 42 3cm
 1 1
Thể tớch hỡnh chúpV S h 82.3 64cm3
 3 3
 2
Bài 7: Tớnh thể tớch hỡnh chúp tứ giỏc đều cú diện tớch xung quanh bằng 80cm và diện tớch toàn phần 
 2
bằng 144cm 
Lời giải
Diện tớch xung quanh hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy là a , trung đoạn là d 
 2
Sxq p.d 2a.d 80cm 1 
Diện tớch toàn phần của hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy là a , trung đoạn là 
 2 2
d Sxq Sd 2ad a 144cm 2 
Từ 1 và 2 suy ra 
a2 144 80 64 a 64 8cm 
Thay a 8 vào 1 ta được d 5 cm 
Ta cú 
AC 82 82 8 2cm 
 BF 4 2cm 
Ta cú FI 4cm 
Áp dụng định lớ pytago trong tam giỏc vuụng 
EFI ta cú 
EF EI 2 FI 2 52 42 3cm 
Vậy thể tớch của hỡnh chúp tứ giỏc đều đó cho là 
 1 1
V .S.h .82.3 64cm3 
 3 3
Bài 8: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = 2cm , SA = 4cm . Tớnh độ dài trung đoạn và 
chiều cao của hỡnh chúp đều này.
Lời giải
 Hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = 2cm , SA = 4cm , nờn 
ABCD là hỡnh vuụng và cỏc cạnh bờn bằng nhau. 
 AC
Ta cú AC BD AD2 AB2 22 22 2 2 ; AO 2
 2
Trong tam giỏc vuụng SOA vuụng tại O , theo Pytago ta cú 
SO SA2 AO2 44 ( 2)2 3 2
Vậy chiều cao hỡnh chúp là 3 2cm