23 Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 8

CHUYÊN ĐỀ.PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chủ đề 1. PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC
A.Kiến thức cần nhớ
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính :
Giải
Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau:
 tại 
 tại 
Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối cùng mới thay số.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
Thay vào biểu thức, ta có: 
Vậy với thì giá trị biểu thức 
b) Ta có:
Thay vào biểu thức ta có: 
Vậy với thì giá trị biểu thức 
Ví dụ 3: Tìm x, biết:
Giải
Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức .Vì vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x.
Trình bày lời giải
Ví dụ 4: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
Giải
Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả thì biểu thức không chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải chứng minh.
Trình bày lời giải
a) Biến đổi biểu thức A, ta có :
Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x
b) Biến đổi biểu thức B, ta có :
Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 5: Tính nhanh
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số
Trình bày lời giải
a) Đặt khi đó biểu thức có dạng:
b) Đặt khi đó biểu thức có dạng:
C. Bài tập vận dụng
1. Rút gọn các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có:
b) Ta có:
2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:
Hướng dẫn giải – đáp số
3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x.
Vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
4. Tìm x, biết :
Hướng dẫn giải – đáp số
5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
 tại 
 tại 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
Với , thay vào biểu thức ta có :
b) Ta có :
Thay vào biểu thức ta có ;
6. Tính giá trị biểu thức:
 tại 
 với 
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Với nên ta thay vào biểu thức , ta có :
b) Với nên ta thay vào biểu thức, ta có :
7. Tìm các hệ số a, b, c biết:
 đúng với mọi x;
 đúng với mọi x.
Hướng dẫn giải – đáp số
đúng với mọi x
đúng với mọi x
8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
 chia hết cho 5
Hướng dẫn giải – đáp số
Biến đổi đa thức, ta có :
9. Đặt . Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét vế trái:
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.
10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn và 
Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có 
Chủ đề 2. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức khác.
2. Các phương pháp thường dùng:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm các hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặt biệt khác (xem chuyên đề 6)
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Giải
Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung
Bước 1. Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số.
Bước 2. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó.
Trình bày lời giải.
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Trình bày lời giải
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Tìm cách giải. Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng đẳng thức. Quan sát kỹ nhận thấy nếu nhóm các hạng tử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung.
Trình bày lời giải
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức.
Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức
Trình bày lời giải
Ví dụ 5: Cho các số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn
.Tính giá trị biểu thức 
Giải
Tìm cách giải. Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của a, b, c. Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c. Từ đó tìm được giá trị biểu thức M.
Trình bày lời giải
Ta có :
Vì nên:
Vậy 
C. Bài tập vận dụng
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Hướng dẫn giải – đáp số
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Hướng dẫn giải – đáp số
3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Hướng dẫn giải – đáp số
4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Hướng dẫn giải – đáp số
5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Hướng dẫn giải – đáp số
6. Phân tích đa thức thành nhân tử :
Hướng dẫn giải – đáp số
7. Phân tích đa thức thành nhân tử :
Hướng dẫn giải – đáp số
8. Phân tích đa thức thành nhân tử :
Hướng dẫn giải – đáp số
9. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Đặt .Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải – đáp số
Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích A thành nhân tử, ta được :
Do x, y, z là 3 cạnh của 1 tam giác, suy ra :
10. Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức : 
Tính 
Hướng dẫn giải – đáp số
Cộng vế theo vế của hai hẳng đẳng thức ta được :
Vì 
11. Cho a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét vế trái, ta có :
Chủ đề 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó. Tuy nhiên có những đa thức mặc dù rất đơn giản, nếu chỉ biết dùng ba phương pháp đó thôi thì không thể phân tích thành nhân tử được. Do đó trong chuyên đề này chúng ta sẽ xét thêm một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phương pháp đổi biến
Phương pháp đồng nhất hệ số
Phương pháp xét giá trị riêng của các biến.
B. Một số ví dụ
1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
Giải
Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: 
Ta có: 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai: .
Ta có:
Nhận xét. Để phân tích tam thức bậc hai ra nhân tử, ta tách hạng tử bx thành sao cho và .
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Tìm cách giải. Ta lần lượt kiểm tra với , ta thấy .
Đa thức có nghiệm , do đó khi phân tích thành nhân tử, chứa nhân tử .
Trình bày lời giải
Ta có: 
Nhận xét. Nếu đa thức có nghiệm nguyên là thì là một ước của hệ số tự do khi phân tích ra nhân tử thì có chứa nhân tử . Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên nhẩm lấy một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích thành nhân tử.
2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Nhận xét. Với kỹ thuật trên chúng ta phân tích thành nhân tử được: 
3. Phương pháp đổi biến
Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử, sau khi phân tích thành nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Ta có: 
Đặt , đa thức trở thành:
Suy ra: 
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Tìm cách giải. Bài toán có dạng với . Ta có thể đặt hoặc hoặc . Khi đó ta phân tích với đa thức biến y.
Trình bày lời giải
Ta có: 
Đặt .
Khi đó đa thức có dạng: 
Từ đó suy ra: 
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Tìm cách giải. Nếu khai triển ngoặc thì bài toán trở lên khá phức tạp và có thể dẫn đển sai lầm. Quan sát kĩ đề bài chúng ta nhận thấy hệ số của bốn ngoặc có đặc điểm: và , do vậy chúng ta nghĩ đển việc nhóm hai ngoặc lại và đặt biến phụ nhằm đưa về bài toán đơn giản hơn.
Trình bày lời giải 
Ta có:
Đặt . Đa thức có dạng:
Từ đó suy ra: 
Nhận xét. Cách giải trên có thể dùng cho các đa thức có dạng:
trong đó 
Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Tìm cách giải. Những bài toán có dạng: với hoặc .
Ta đặt , rồi biến đổi biểu thức về dạng 
Trình bày lời giải
Đặt . Biến đổi biểu thức, ta có:
Từ đó, biểu thức có dạng:
Từ đó suy ra: .
4. Phương pháp đồng nhất hệ số
Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Tìm cách giải. Các số không phải là nghiệm của đa thức nên không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nếu phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:
, với .
Khai triển dạng này ra, ta được đa thức: . Đồng nhất đa thức này với ta được hệ điều kiện: .
Xét , với .
Với thì , hệ điều kiện trở thành: 
Từ đó tìm được: . Vậy .
Trình bày lời giải
5. Phương pháp xét giá trị riêng của các biến
Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Giải
Nhận xét. Nếu thay bởi y thì , nên P chia hết cho .
Hon nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi (ta nói đa thức P có dạng hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho thì P cũng chia hết cho .
Từ đó: ; trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến.
Ta có: (*) đúng với mọi nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong. 
Chú ý. Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh là được.
Chẳng hạn, chọn thay vào đắng thức (*),ta tìm được 
Vậy: 
Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Nhận xét. Với thì , cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên .
Chọn được . Vậy .
C. Bài tập vận dụng
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) ;	b) ;	c) ;
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
b) 
c) 
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) ;	b) ;	c) ;
Hướng dẫn giải – đáp số
a) 
b) 
c) 
3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) ;
b) ;
c) ;
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: