Các chuyên đề hình học Lớp 8

CHUYEÂN ẹEÀ 1 - CAÙC BAỉI TOAÙN VEÀ ẹềNH LÍ TA-LEÙT
A.Kieỏn thửực:
1. ẹũnh lớ Ta-leựt:
* ẹũnh lớ Taleựt 
* Heọ quaỷ: MN // BC 
B. Baứi taọp aựp duùng:
1. Baứi 1:
Cho tửự giaực ABCD, ủửụứng thaỳng qua A song song vụựi BC caột BD ụỷ E, ủửụứng thaỳng qua B song song vụựi AD caột AC ụỷ G
a) chửựng minh: EG // CD
b) Giaỷ sửỷ AB // CD, chửựng minh raống AB2 = CD. EG
Giaỷi
Goùi O laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BD
a) Vỡ AE // BC (1)
 BG // AC (2)
Nhaõn (1) vụựi (2) veỏ theo veỏ ta coự: EG // CD
b) Khi AB // CD thỡ EG // AB // CD, BG // AD neõn
Baứi 2: 
Cho ABC vuoõng taùi A, Veừ ra phớa ngoaứi tam giaực ủoự caực tam giaực ABD vuoõng caõn ụỷ B, ACF vuoõng caõn ụỷ C. Goùi H laứ giao ủieồm cuỷa AB vaứ CD, K laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BF. Chửựng minh raống:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Giaỷi 
ẹaởt AB = c, AC = b. 
BD // AC (cuứng vuoõng goực vụựi AB) 
neõn 
Hay (1)
AB // CF (cuứng vuoõng goực vụựi AC) neõn 
Hay (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra: AH = AK
b) Tửứ vaứ suy ra (Vỡ AH = AK)
 AH2 = BH . KC
3. Baứi 3: Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD, ủửụứng thaỳng a ủi qua A laàn lửụùt caột BD, BC, DC theo thửự tửù taùi E, K, G. Chửựng minh raống:
a) AE2 = EK. EG 
b) 
c) Khi ủửụứng thaỳng a thay ủoồi vũ trớ nhửng vaón qua A thỡ tớch BK. DG coự giaự trũ khoõng ủoồi
Giaỷi
a) Vỡ ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh vaứ K BC neõn
AD // BK, theo heọ quaỷ cuỷa ủũnh lớ Ta-leựt ta coự:
b) Ta coự: ; neõn
 (ủpcm)
c) Ta coự: (1); (2)
Nhaõn (1) vụựi (2) veỏ theo veỏ ta coự: khoõng ủoồi (Vỡ a = AB; b = AD laứ ủoọ daứi hai caùnh cuỷa hỡnh bỡnh haứnh ABCD khoõng ủoồi)
4. Baứi 4: 
 Cho tửự giaực ABCD, caực ủieồm E, F, G, H theo thửự tửù chia trong caực caùnh AB, BC, CD, DA theo tổ soỏ 1:2. Chửựng minh raống:
a) EG = FH
b) EG vuoõng goực vụựi FH 
Giaỷi
Goùi M, N theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa CF, DG
Ta coự CM = CF = BC 
EM // AC (1)
Tương tự, ta có: NF // BD (2)
mà AC = BD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC BD EM MG (4)
Tương tự, ta có: (5)
Từ (4) và (5) suy ra (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì 
 mà (đối đỉnh), (EMG = FNH)
Suy ra EO OP EG FH
5. Bài 5: 
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng
a) MP // AB
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
Giải
a) EP // AC (1)
 AK // CD (2)
 các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên 
AF = DC, FB = AK (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) ta có MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)
b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có: = 
Mà (Do FB // DC) IP // DC // AB (5)
Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy
6. Bài 6:
Cho ABC có BC < BA. Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của ; đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh rằng đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau
Giải
Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của DF và BC
KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên KBC cân tại B BK = BC và FC = FK
Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của AKC DF // AK hay DM // AB
Suy ra M là trung điểm của BC 
DF = AK (DF là đường trung bình của AKC), ta có
( do DF // BK) (1)
Mổt khác (Vì AD = DC) 
Hay (vì = : Do DF // AB)
Suy ra (Do DF = AK) (2)
Từ (1) và (2) suy ra = EG // BC
Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có OG = OE 
Bài tập về nhà
Bài 1: 
 Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F
a) Chứng minh FE // BD
b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H. 
Chứng minh: CG. DH = BG. CH
Bài 2: 
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. 
Chứng minh: 
a) AE2 = EB. FE
b) EB =. EF
CHUYEÂN ẹEÀ 2 – CAÙC BAỉI TOAÙN SệÛ DUẽNG ẹềNH LÍ TALEÙT VAỉ TÍNH CHAÁT ẹệễỉNG PHAÂN GIAÙC
A. Kieỏn thửực:
1. ẹũnh lớ Ta-leựt:
* ẹũnh lớ Taleựt 
* Heọ quaỷ: MN // BC 
2. Tớnh chaỏt ủửụứng phaõn giaực: 
ABC ,AD laứ phaõn giaực goực A 
AD’laứ phaõn giaực goực ngoaứi taùi A: 
B. Baứi taọp vaọn duùng
1. Baứi 1:
Cho ABC coự BC = a, AB = b, AC = c, phaõn giaực AD
a) Tớnh ủoọ daứi BD, CD
b) Tia phaõn giaực BI cuỷa goực B caột AD ụỷ I; tớnh tổ soỏ: 
Giaỷi
a) AD laứ phaõn giaực cuỷa neõn 
Do ủoự CD = a - = 
b) BI laứ phaõn giaực cuỷa neõn 
2. Baứi 2:
Cho ABC, coự < 600 phaõn giaực AD
a) Chửựng minh AD < AB
b) Goùi AM laứ phaõn giaực cuỷa ADC. Chửựng minh raống BC > 4 DM
Giaỷi
a)Ta coự > = 
 > AD < AB
 b) Goùi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d
Trong ADC, AM laứ phaõn giaực ta coự
 DM = ; CD = ( Vaọn duùng baứi 1) DM = 
ẹeồ c/m BC > 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thaọt vaọy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baỏt ủaỳng thửực (1) ủửụùc c/m
3.Baứi 3:
Cho ABC, trung tuyeỏn AM, caực tia phaõn giaực cuỷa caực goực AMB , AMC caột AB, AC theo thửự tửù ụỷ D vaứ E
a) Chửựng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tớnh ủoọ daứi DE
c) Tỡm taọp hụùp caực giao dieồm I cuỷa AM vaứ DE neỏu ABC coự BC coỏ ủũnh, AM = m khoõng ủoồi
d) ABC coự ủieàu kieọn gỡ thỡ DE laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa noự
Giaỷi
a) MD laứ phaõn giaực cuỷa neõn (1)
 ME laứ phaõn giaực cuỷa neõn (2)
Tửứ (1), (2) vaứ giaỷ thieỏt MB = MC ta suy ra DE // BC
b) DE // BC . ẹaởt DE = x 
c) Ta coự: MI = DE = khoõng ủoồi I luoõn caựch M moọt ủoaùn khoõng ủoồi neõn taọp hụùp caực ủieồm I laứ ủửụứng troứn taõm M, baựn kớnh MI = (Trửứ giao ủieồm cuỷa noự vụựi BC
d) DE laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoõng ụỷ A
4. Baứi 4: 
Cho ABC ( AB < AC) caực phaõn giaực BD, CE
a) ẹửụứng thaỳng qua D vaứ song song vụựi BC caột AB ụỷ K, chửựng minh E naốm giửừa B vaứ K
b) Chửựng minh: CD > DE > BE
Giaỷi
a) BD laứ phaõn giaực neõn 
 (1)
Maởt khaực KD // BC neõn (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 
 E naốm giửừa K vaứ B
b) Goùi M laứ giao ủieồm cuỷa DE vaứ CB. Ta coự (so le trong)
 maứ E naốm giửừa K vaứ B neõn > > > EB < DE
Ta laùi coự > > (Vỡ = )
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE
5. Baứi 5: Cho ABC . Ba ủửụứng phaõn giaực AD, BE, CF. Chửựng minh
a. .
b. . 
Giaỷi
a)AD laứ ủửụứng phaõn giaực cuỷa neõn ta coự: (1)
Tửụng tửù: vụựi caực phaõn giaực BE, CF ta coự: (2) ; (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: = 1
b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA ở H. 
Theo ĐL Talét ta có: 
Do CH < AC + AH = 2b nên: 
Chứng minh tương tự ta có : Và Nên: 
 ( đpcm )
Bài tập về nhà
Cho ABC coự BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caực phaõn giaực BD, CE
a) Tớnh ủoọ daứi CD, BE roài suy ra CD > BE
b) Veừ hỡnh bỡnh haứnh BEKD. Chửựng minh: CE > EK
c) Chửựng minh CE > BD
CHUYEÂN ẹEÀ 3 – CAÙC BAỉI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ẹOÀNG DAẽNG
A. Kieỏn thửực:
* Tam giaực ủoàng daùng:
a) trửụứng hụùp thửự nhaỏt: (c.c.c)
ABC A’B’C’ 
b) trửụứng hụùp thửự nhaỏt: (c.g.c)
ABC A’B’C’ ; 
c. Trửụứng hụùp ủoàng daùng thửự ba (g.g)
ABC A’B’C’ ; 
AH; A’H’laứ hai ủửụứng cao tửụng ửựng thỡ: = k (Tổ soỏ ủoàng daùng); = K2
B. Baứi taọp aựp duùng
Baứi 1:
Cho ABC coự, AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tớnh AC
b)Neỏu ba caùnh cuỷa tam giaực treõn laứ ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ moói caùnh laứ bao nhieõu?
Giaỷi
Caựch 1:
Treõn tia ủoỏi cuỷa tia BA laỏy ủieồm E sao cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) 
 = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Caựch 2:
Veừ tia phaõn giaực BE cuỷa ABE ACB
= 8(8 + 10) = 144
 AC = 12 cm
b) Goùi AC = b, AB = a, BC = c thỡ tửứ caõu a ta coự b2 = a(a + c) (1)
Vỡ b > aneõn coự theồ b = a + 1 hoaởc b = a + 2
+ Neỏu b = a + 1 thỡ (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loaùi)
+ Neỏu b = a + 2 thỡ a(c – 4) = 4
- Vụựi a = 1 thỡ c = 8 (loaùi)
- Vụựi a = 2 thỡ c = 6 (loaùi)
- vụựi a = 4 thỡ c = 6 ; b = 5
Vaọy a = 4; b = 5; c = 6
Baứi 2:
Cho ABC caõn taùi A, ủửụứng phaõn giaực BD; tớnh BD 
bieỏt BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giaỷi
Ta coự CD = 4 cm vaứ BC = 5 cm
Baứi toaựn trụỷ veà baứi 1 
Baứi 3:
Cho ABC caõn taùi A vaứ O laứ trung ủieồm cuỷa BC. Moọt ủieồm O di ủoọng treõn AB, laỏy ủieồm E treõn AC sao cho . Chửựng minh raống
a) DBOOCE
b) DOE DBOOCE
c) DO, EO laàn lửụùt laứ phaõn giaực cuỷa caực goực BDE, CED
d) khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn ủoaùn ED khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn AB
Giaỷi
a) Tửứ vaứ (gt) DBOOCE
b) Tửứ caõu a suy ra (1)
 Vỡ B, O ,C thaỳng haứng neõn (2)
trong tam giaực EOC thỡ (3)
Tửứ (1), (2), (3) suy ra 
DOE vaứ DBO coự (Do DBOOCE) 
vaứ (Do OC = OB) vaứ 
neõn DOE DBOOCE
c) Tửứ caõu b suy ra DO laứ phaõn giaực cuỷa caực goực BDE
Cuỷng tửứ caõu b suy ra EO laứ phaõn giaực cuỷa caực goực CED
c) Goùi OH, OI laứ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn DE, CE thỡ OH = OI, maứ O coỏ ủũnh neõn OH khoõng ủoồi OI khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn AB
Baứi 4: (ẹeà HSG huyeọn Loọc haứ – naờm 2007 – 2008)
Cho ABC caõn taùi A, coự BC = 2a, M laứ trung ủieồm BC, laỏy D, E thuoọc AB, AC sao cho 
a) Chửựng minh tớch BD. CE khoõng ủoồi
b)Chửựng minh DM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
c) Tớnh chu vi cuỷa AED neỏu ABC laứ tam giaực ủeàu
Giaỷi
a) Ta coự , maứ (gt)
neõn , keỏt hụùp vụựi (ABC caõn taùi A)
suy ra BDM CME (g.g) 
 khoõng ủoồi
b) BDM CME 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) hay DM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
c) chửựng minh tửụng tửù ta coự EM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
keỷ MH CE ,MI DE, MK DB thỡ MH = MI = MK DKM = DIM 
DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED laứ PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vỡ AH = AK)
ABC laứ tam giaực ủeàu neõn suy ra CME cuỷng laứ tam giaực ủeàu CH = 
 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Baứi 5: 
Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM. Qua ủieồm D thuoọc caùnh BC, veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AM, caột AB, AC taùi E vaứ F
a) chửựng minh DE + DF khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn BC
b) Qua A veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC, caột FE taùi K. Chửựng minh raống K laứ trung ủieồm cuỷa FE
Giaỷi
a) DE // AM (1)
 DF // AM (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 
DE + DF = = khoõng ủoồi
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) (3)
 (2)
(Vỡ CM = BM)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra FK = EK hay K laứ trung ủieồm cuỷa FE
Baứi 6: (ẹeà HSG huyeọn Thaùch haứ naờm 2003 – 2004)
Cho hỡnh thoi ABCD caùnh a coự , moọt ủửụứng thaỳng baỏt kyứ qua C caột tia ủoỏi cuỷa caực tia BA, DA taùi M, N
a) Chửựng minh raống tớch BM. DN coự giaự trũ khoõng ủoồi
b) Goùi K laứ giao ủieồm cuỷa BN vaứ DM. Tớnh soỏ ủo cuỷa goực BKD
Giaỷi
a) BC // AN (1)
 CD// AM (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 
b) MBD vaứBDN coự= 1200
 (Do ABCD laứ hỡnh thoi coự neõn AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy ra . MBD vaứBKD coự vaứ neõn 
Baứi 7: 
Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD coự ủửụứng cheựo lụựn AC,tia Dx caột SC, AB, BC laàn lửụùt taùi I, M, N. Veừ CE vuoõng goực vụựi AB, CF vuoõng goực vụựi AD, BG vuoõng goực vụựi AC. Goùi K laứ ủieồm ủoỏi xửựng vụựi D qua I. Chửựng minh raống
a) IM. IN = ID2
b) 
c) AB. AE + AD. AF = AC2
Giaỷi
a) Tửứ AD // CM (1)
Tửứ CD // AN (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN
b) Ta coự (3)
Tửứ ID = IK vaứ ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 (4)
Tửứ (3) vaứ (4) suy ra 
c) Ta coự AGB AEC 
 AB. AE = AG(AG + CG) (5)
CGB AFC (vỡ CB = AD) 
AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Coọng (5) vaứ (6) veỏ theo veỏ ta coự: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
Vaọy: AB. AE + AD. AF = AC2
Baứi taọp veà nhaứ
Baứi 1
Cho Hỡnh bỡnh haứnh ABCD, moọt ủửụứng thaỳng caột AB, AD, AC laàn lửụùt taùi E, F, G
Chửựng minh: 
HD: Keỷ DM // FE, BN // FE (M, N thuoọc AC)
Baứi 2:
Qua ủổnh C cuỷa hỡnh bỡnh haứnh ABCD, keỷ ủửụứng thaỳng caột BD, AB, AD ụỷ E, G, F
 chửựng minh:
a) DE2 = . BE2
b) CE2 = FE. GE
(Gụùi yự: Xeựt caực tam giaực DFE vaứ BCE, DEC vaứ BEG)
Baứi 3
Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, ủửụứng cao AH, trung tuyeỏn BM, phaõn giaực CD caột nhau taùi moọt ủieồm. Chửựng minh raống
a) 
b) BH = AC
CHUYEÂN ẹEÀ 4 – CAÙC BAỉI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ẹOÀNG DAẽNG
A. Kieỏn thửực:
* Tam giaực ủoàng daùng:
a) trửụứng hụùp thửự nhaỏt: (c.c.c)
ABC A’B’C’ 
b) trửụứng hụùp thửự nhaỏt: (c.g.c)
ABC A’B’C’ ; 
c. Trửụứng hụùp ủoàng daùng thửự ba (g.g)
ABC A’B’C’ ; 
AH; A’H’laứ hai ủửụứng cao tửụng ửựng thỡ: = k (Tổ soỏ ủoàng daùng); = K2
B. Baứi taọp aựp duùng
Baứi 1:
Cho ABC coự, AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tớnh AC
b)Neỏu ba caùnh cuỷa tam giaực treõn laứ ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ moói caùnh laứ bao nhieõu?
Giaỷi
Caựch 1:
Treõn tia ủoỏi cuỷa tia BA laỏy ủieồm E sao cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) 
 = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Caựch 2:
Veừ tia phaõn giaực BE cuỷa ABE ACB
= 8(8 + 10) = 144
 AC = 12 cm
b) Goùi AC = b, AB = a, BC = c thỡ tửứ caõu a ta coự b2 = a(a + c) (1)
Vỡ b > aneõn coự theồ b = a + 1 hoaởc b = a + 2
+ Neỏu b = a + 1 thỡ (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loaùi)
+ Neỏu b = a + 2 thỡ a(c – 4) = 4
- Vụựi a = 1 thỡ c = 8 (loaùi)
- Vụựi a = 2 thỡ c = 6 (loaùi)
- vụựi a = 4 thỡ c = 6 ; b = 5
Vaọy a = 4; b = 5; c = 6
Baứi 2:
Cho ABC caõn taùi A, ủửụứng phaõn giaực BD; tớnh BD 
bieỏt BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giaỷi
Ta coự CD = 4 cm vaứ BC = 5 cm
Baứi toaựn trụỷ veà baứi 1 
Baứi 3:
Cho ABC caõn taùi A vaứ O laứ trung ủieồm cuỷa BC. Moọt ủieồm O di ủoọng treõn AB, laỏy ủieồm E treõn AC sao cho . Chửựng minh raống
a) DBOOCE
b) DOE DBOOCE
c) DO, EO laàn lửụùt laứ phaõn giaực cuỷa caực goực BDE, CED
d) khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn ủoaùn ED khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn AB
Giaỷi
a) Tửứ vaứ (gt) DBOOCE
b) Tửứ caõu a suy ra (1)
 Vỡ B, O ,C thaỳng haứng neõn (2)
trong tam giaực EOC thỡ (3)
Tửứ (1), (2), (3) suy ra 
DOE vaứ DBO coự (Do DBOOCE) 
vaứ (Do OC = OB) vaứ 
neõn DOE DBOOCE
c) Tửứ caõu b suy ra DO laứ phaõn giaực cuỷa caực goực BDE
Cuỷng tửứ caõu b suy ra EO laứ phaõn giaực cuỷa caực goực CED
c) Goùi OH, OI laứ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn DE, CE thỡ OH = OI, maứ O coỏ ủũnh neõn OH khoõng ủoồi OI khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn AB
Baứi 4: (ẹeà HSG huyeọn Loọc haứ – naờm 2007 – 2008)
Cho ABC caõn taùi A, coự BC = 2a, M laứ trung ủieồm BC, laỏy D, E thuoọc AB, AC sao cho 
a) Chửựng minh tớch BD. CE khoõng ủoồi
b)Chửựng minh DM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
c) Tớnh chu vi cuỷa AED neỏu ABC laứ tam giaực ủeàu
Giaỷi
a) Ta coự , maứ (gt)
neõn , keỏt hụùp vụựi (ABC caõn taùi A)
suy ra BDM CME (g.g) 
 khoõng ủoồi
b) BDM CME 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) hay DM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
c) chửựng minh tửụng tửù ta coự EM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
keỷ MH CE ,MI DE, MK DB thỡ MH = MI = MK DKM = DIM 
DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED laứ PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vỡ AH = AK)
ABC laứ tam giaực ủeàu neõn suy ra CME cuỷng laứ tam giaực ủeàu CH = 
 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Baứi 5: 
Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM. Qua ủieồm D thuoọc caùnh BC, veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AM, caột AB, AC taùi E vaứ F
a) chửựng minh DE + DF khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn BC
b) Qua A veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC, caột FE taùi K. Chửựng minh raống K laứ trung ủieồm cuỷa FE
Giaỷi
a) DE // AM (1)
 DF // AM (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 
DE + DF = = khoõng ủoồi
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) (3)
 (2)
(Vỡ CM = BM)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra FK = EK hay K laứ trung ủieồm cuỷa FE
Baứi 6: (ẹeà HSG huyeọn Thaùch haứ naờm 2003 – 2004)
Cho hỡnh thoi ABCD caùnh a coự , moọt ủửụứng thaỳng baỏt kyứ qua C caột tia ủoỏi cuỷa caực tia BA, DA taùi M, N
a) Chửựng minh raống tớch BM. DN coự giaự trũ khoõng ủoồi
b) Goùi K laứ giao ủieồm cuỷa BN vaứ DM. Tớnh soỏ ủo cuỷa goực BKD
Giaỷi
a) BC // AN (1)
 CD// AM (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 
b) MBD vaứBDN coự= 1200
 (Do ABCD laứ hỡnh thoi coự neõn AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy ra . MBD vaứBKD coự vaứ neõn 
Baứi 7: 
Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD coự ủửụứng cheựo lụựn AC,tia Dx caột SC, AB, BC laàn lửụùt taùi I, M, N. Veừ CE vuoõng goực vụựi AB, CF vuoõng goực vụựi AD, BG vuoõng goực vụựi AC. Goùi K laứ ủieồm ủoỏi xửựng vụựi D qua I. Chửựng minh raống
a) IM. IN = ID2
b) 
c) AB. AE + AD. AF = AC2
Giaỷi
a) Tửứ AD // CM (1)
Tửứ CD // AN (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN
b) Ta coự (3)
Tửứ ID = IK vaứ ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 (4)
Tửứ (3) vaứ (4) suy ra 
c) Ta coự AGB AEC 
 AB. AE = AG(AG + CG) (5)
CGB AFC (vỡ CB = AD) 
AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Coọng (5) vaứ (6) veỏ theo veỏ ta coự: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
Vaọy: AB. AE + AD. AF = AC2
Baứi taọp veà nhaứ
Baứi 1
Cho Hỡnh bỡnh haứnh ABCD, moọt ủửụứng thaỳng caột AB, AD, AC laàn lửụùt taùi E, F, G
Chửựng minh: 
HD: Keỷ DM // FE, BN // FE (M, N thuoọc AC)
Baứi 2:
Qua ủổnh C cuỷa hỡnh bỡnh haứnh ABCD, keỷ ủửụứng thaỳng caột BD, AB, AD ụỷ E, G, F
 chửựng minh:
a) DE2 = . BE2
b) CE2 = FE. GE
(Gụùi yự: Xeựt caực tam giaực DFE vaứ BCE, DEC vaứ BEG)
Baứi 3
Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, ủửụứng cao AH, trung tuyeỏn BM, phaõn giaực CD caột nhau taùi moọt ủieồm. Chửựng minh raống
a) 
b) BH = AC
CHUYEÂN ẹEÀ 5 – BOÅ ẹEÀ HèNH THANG VAỉ CHUỉM ẹệễỉNG THAÚNG ẹOÀNG QUY
A. Kieỏn thửực:
1) Boồ ủeà hỡnh thang:
“Trong hỡnh thang coự hai ủaựy khoõng baống nhau, ủửụứng thaỳng ủi qua giao ủieồm cuỷa caực ủửụứng cheựo vaứ ủi qua giao ủieồm cuỷa caực ủửụứng thaỳng chửựa hai caùnh beõn thỡ ủi qua trung ủieồm cuỷa hai ủaựy”
Chửựng minh:
Goùi giao ủieồm cuỷa AB, CD laứ H, cuỷa AC, BD laứ G, trung ủieồm cuỷa AD, BC laứ E vaứ F 
Noỏi EG, FG, ta coự: ADG CBG (g.g) , neõn :
 (1)
Ta laùi coự : (SL trong ) (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra : AEG CFG (c.g.c)
Do ủoự: E , G , H thaỳng haứng (3)
Tửụng tửù, ta coự: AEH BFH
 H , E , F thaỳng haứng (4)
Từửứ (3) vaứ (4) suy ra : H , E , G , F thaỳng haứng
2) Chuứm ủửụứng thaỳng ủoàng quy:
Neỏu caực ủửụứng thaỳng ủoàng quy caột hai ủửụứng thaỳng song song thỡ chuựng ủũnh ra treõn hai ủửụứng thaỳng song song aỏy caực ủoaùn thaỳng tửụng ửựng tổ leọ
 Neỏu m // n, ba ủửụứng thaỳng a, b, c ủoàng quy ụỷ O chuựng caột m taùi A, B, C vaứ caột n taùi A’, B’, C’ thỡ 
 hoaởc 
* ẹaỷo laùi:
+ Neỏu ba ủửụứng thaỳng trong ủoự coự hai ủửụứng thaỳng caột nhau, ủũnh ra treõn hai ủửụứng thaỳng song song caực caởp ủoaùn thaỳng tửụng ửựng tổ leọ thỡ ba ủửụứng thaỳng ủoự ủoàng quy
+ Neỏu hai ủửụứng thaỳng bũ caột bụỷi ba ủửụứng thaỳng ủoàng quy taùo thaứnh caực caởp ủoaùn thaỳng tửụng ửựng tổ leọ thỡ chuựng song song vụựi nhau
B. Aựp duùng:
1) Baứi 1:
Cho tửự giaực ABCD coự M laứ trung ủieồm CD, N laứ trung ủieồm CB. Bieỏt AM, AN caột BD thaứnh ba ủoaùn baống nhau. Chửựng minh raống ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh
Giaỷi
Goùi E, F laứ giao ủieồm cuỷa AM, AN vụựi BD; G, H laứ giao ủieồm cuỷa MN vụựi AD, BD
MN // BC (MN laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa BCD)
 Tửự giaực HBFM laứ hỡnh thang coự hai caùnh beõn ủoứng quy taùi A, N laứ trung ủieồm cuỷa ủaựy BF neõn theo boồ ủeà hỡnh thang thỡ N laứ trung ủieồm cuỷa ủaựy MH 
MN = NH (1)
Tửụng tửù : trong hỡnh thang CDEN thỡ M laứ trung ủieồm cuỷa GN GM = MN (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra GM = MN = NH
Ta coự BNH = CNM (c.g.c) BH // CM hay AB // CD (a)
Tửụng tửù: GDM = NCM (c.g.c) GD // CN hay AD // CB (b)
Tửứ (a) vaứ (b) suy ra tửự giaực ABCD coự caực caởp caùnh ủoỏi song song neõn laứ hỡnh bỡnh haứnh
2) Baứi 2:
Cho ABC coự ba goực nhoùn, trửùc taõm H, moọt ủửụứng thaỳng qua H caột AB, AC thửự tửù taù P, Q sao cho HP = HQ. Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa BC. Chửựng minh: HM PQ
Giaỷi
Goùi giao ủieồm cuỷa AH vaứ BC laứ I
Tửứ C keỷ CN // PQ (N AB), 
ta chửựng minh MH CN HM PQ
Tửự giaực CNPQ laứ hỡnh thang, coự H laứ trung ủieồm PQ, hai caùnh beõn NP vaứ CQ ủoàng quy taùi A neõn K laứ trung ủieồm CN MK laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa BCN MK // CN MK // AB (1)
H laứ trửùc taõm cuỷa ABC neõn CHA B (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra MK CH MK laứ ủửụứng cao cuỷaCHK (3)
Tửứ AH BC MCHK MI laứ ủửụứng cao cuỷa CHK (4)
Tửứ (3) vaứ (4) suy ra M laứ trửùc taõm cuỷa CHK MHCN MHPQ 
3) baứi 3:
Cho hỡnh chửừ nhaọt ABCD coự M, N thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa AD, BC. Goùi E laứ moọt ủieồm baỏt kyứ thuoọc tia ủoỏi cuỷa tia DC, K laứ giao ủieồm cuỷa EM vaứ AC.
Chửựng minh raống: NM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
Giaỷi 
Goùi H laứ giao ủieồm cuỷa KN vaứ DC, giao ủieồm cuỷa AC vaứ MN laứ I thỡ IM = IN
Ta coự: MN // CD (MN laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa hỡnh chửừ nhaọt ABCD) 
 Tửự giaực EMNH laứ hỡnh thang coự hai caùnh beõn EM vaứ HN ủoàng quy taùi K vaứ I laứ trung ủieồm cuỷa MN neõn C laứ trung ủieồm cuỷa EH
Trong ENH thỡ NC vửứa laứ ủửụứng cao, vửứa laứ ủửụứng trung tuyeỏn neõn ENH caõn taùi N NC laứ tia phaõn giaực cuỷa maứ NC MN (Do NM BC – MN // AB) NM laứ tia phaõn giaực goực ngoaứi taùi N cuỷa ENH
Vaọy NM laứ tia phaõn giaực cuỷa 
Baứi 4:
Treõn caùnh BC = 6 cm cuỷa hỡnh vuoõng ABCD laỏy ủieồm E sao cho BE = 2 cm. Treõn tia ủoỏi cuỷa tia CD laỏy ủieồm F sao cho CF = 3 cm. Goùi M laứ giao ủieồm cuỷa AE vaứ BF. 
Tớnh 
Giaỷi
Goùi giao ủieồm cuỷa CM vaứ AB laứ H, cuỷa AM vaứ DF laứ G
Ta coự: 
Ta laùi coự 
 FG = 9 cm BH = BE
BAE = BCH (c.g.c) maứ = 900 
Maởt khaực = 900 = 900
Baứi 5:
Cho tửự giaực ABCD. Qua ủieồm E thuoọc AB, H thuoọc AC veừ caực ủửụứng thaỳng song song vụựi BD, caột caực caùnh coứn laùi cuỷa tửự giaực taùi F, G
a) Coự theồ keỏt luaọn gỡ veà caực ủửụứng thaỳng EH, AC, FG
b) Goùi O laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BD, cho bieỏt OB = OD. Chửựng minh raống ba ủửụứng thaỳng EG, FH, AC ủoàng quy
Giaỷi
a) Neỏu EH // AC thỡ EH // AC // FG
Neỏu EH vaứ AC khoõng song song thỡ EH, AC, FG ủoàng quy
b) Goùi giao ủieồm cuỷa EH, HG vụựi AC
Trong hỡnh thang DFEB coự hai caùnh beõn DF, BE ủoàng quy taùi A vaứ OB = OD neõn theo boồ ủeà hỡnh thang thỡ M laứ trung ủieồm cuỷa EF
Tửụng tửù: N laứ trung ủieồm cuỷa GH
Ta coự neõn ba ủửụứng thaỳng EG, FH, AC ủoàng quy taùi O
CHUYEÂN ẹEÀ 6 – SệÛ DUẽNG COÂNG THệÙC DIEÄN TÍCH ẹEÅ THIEÁT LAÄP QUAN HEÄ ẹOÄ DAỉI CUÛA CAÙC ẹOAẽN THAÚNG
A. Moọt soỏ kieỏn thửực:
1. Coõng thửực tớnh dieọn tớch tam giaực: 
 S = a.h (a – ủoọ daứi moọt caùnh, h – ủoọ daứi ủửụứng cao tửụng ửựng)
2. Moọt soỏ tớnh chaỏt:
Hai tam giaực coự chung moọt caùnh, coự cuứng ủoọ daứi ủửụứng cao thỡ coự cuứng dieọn tớch
Hai tam giaực baống nhau thỡ coự cuứng dieọn tớch
B. Moọt soỏ baứi toaựn:
1. Baứi 1:
Cho ABC coự AC = 6cm; AB = 4 cm; caực ủửụứng cao AH; BK; CI. Bieỏt AH = 
Tớnh BC
Giaỷi
Ta coự: BK = ; CI = 
 BK + CI = 2. SABC 
 2AH = 2.. BC. AH . BC. = 2 
 BC = 2 : = 2 : = 4,8 cm
Baứi 2:
Cho ABC coự ủoọ daứi caực caùnh laứ a, b, c; ủoọ daứi caực ủửụứng cao tửụng ửựng laứ ha, hb, hc. Bieỏt raống a + ha = b + hb = c + hc . Chửựng minh raống ABC laứ tam giaực ủeàu
Giaỷi
Goùi SABC = S
Ta xeựt a + ha = b + hb a – b = ha – hb = 
 a – b = (a – b) = 0 ABC caõn ụỷ C hoaởc vuoõng ụỷ C (1)
Tửụng tửù ta coự: ABC caõn ụỷ A hoaởc vuoõng ụỷ A (2); ABC caõn ụỷ B hoaởc vuoõng ụỷ B (3)
Tửứ (1), (2) vaứ (3) suy ra ABC caõn hoaởc vuoõng ụỷ ba ủổnh (Khoõng xaồy ra vuoõng taùi ba ủổnh) ABC laứ tam giaực ủeàu
Baứi 3:
Cho ủieồm O naốm trong tam giaực ABC, caực tia AO, BO, Co caột caực caùnh cuỷa tam giaực ABC theo thửự tửù taùi A’, B’, C’. Chửựng minh raống:
a) b) 
c) M = . Tỡm vũ trớ cuỷa O ủeồ toồng M coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt
d) N = . Tỡm vũ trớ cuỷa O ủeồ tớch N coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt
Giaỷi
Goùi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB . Ta coự:
 (1)
 (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 
Tửụng tửù ta coự ; ; ; 
a) 
b) 
c) M = 
Aựp duùng Bủt Coõ si ta coự 
ẹaỳng thửực xaồy ra khi S1 = S2 = S3 O laứ troùng taõm cuỷa tam giaực ABC
d) N = 
 N2 = N 8
ẹaỳng thửực xaồy ra khi S1 = S2 = S3 O laứ troùng taõm cuỷa tam giaực ABC
Baứi 4:
Cho tam giaực ủeàu ABC, caực ủửụứng caoAD, BE, CF; goùi A’, B’, C’ laứ hỡnh chieỏu cuỷa M
(naốm beõn trong tam giaực ABC) treõn AD, BE, CF. Chửựng minh raống: Khi M thay ủoồi vũ trớ trong tam giaực ABC thỡ:
a) A’D + B’E + C’F khoõng ủoồi
b) AA’ + BB’ + CC’ khoõng ủoồi
Giaỷi
Goùi h = AH laứ chieàu cao cuỷa tam giaực ABC thỡ h khoõng ủoồi
Goùi khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn caực caùnh AB; BC; CA laứ MP; MQ; MR thỡ A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP
Vỡ M naốm trong tam giaực ABC neõn SBMC + SCMA + SBMA = SABC 
 BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH MQ + MR + MP = AH 
 A’D + B’E + C’F = AH = h
Vaọy: A’D + B’E + C’F = AH = h khoõng ủoồi
b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F)
 = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khoõng ủoồi
Baứi 5: 
Cho tam giaực ABC coự BC baống trung bỡnh coọng cuỷa AC vaứ AB; Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa caực phaõn giaực, G laứ troùng taõm cuỷa tam giaực. Chửựng minh: IG // BC
Giaỷi
Goùi khoaỷng caựch tửứ a, I, G ủeỏn BC laàn lửụùt laứ AH, IK, GD
Vỡ I laứ giap ủieồm cuỷa ba ủửụứng phaõn giaực neõn khoaỷng caựch tửứ I ủeỏn ba caùnh AB, BC, CA baống nhau vaứ baống IK
Vỡ I naốm trong tam giaực ABC neõn:
SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)
Maứ BC = AB + CA = 2 BC (2)
Thay (2) vaứo (1) ta coự: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a)
Vỡ G laứ troùng taõm cuỷa tam giaực ABC neõn:
SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b)
Tửứ (a) vaứ (b) suy ra IK = GD hay khoaỷng caựch tửứ I, G ủeỏn BC baống nhau neõn IG // BC
Baứi taọp veà nhaứ:
1) Cho C laứ ủieồm thuoọc tia phaõn giaực cuỷa , M laứ ủieồm baỏt kyứ naốm treõn ủửụứng vuoõng goực vụựi OC taùi C vaứ thuoọc mieàn trong cuỷa , goùi MA, MB thửự tửù laứ khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn Ox, Oy. Tớnh ủoọ daứi OC theo MA, MB
2) Cho M laứ ủieồm naốm trong tam giaực ủeàu ABC. A’, B’, C’ laứ hỡnh chieỏu cuỷa M treõn caực caùnh BC, AC, AB. Caực ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi BC taùi C, vuoõng goực vụựi CA taùi A , vuoõng goực vụựi AB taùi B caột nhau ụỷ D, E, F. Chửựng minh raống:
a) Tam giaực DEF laứ tam giaực ủeàu
b) AB’ + BC’ + CA’ khoõng phuù thuoọc vũ trớ cuỷa M trong tam giaực ABC
CHUYấN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC
A. Kiến thức
1. Tam giỏc 
- ( Tổng 3 gúc trong 1 tam giỏc ) 
- ( Bất đẳng thức tam giỏc)
- ( Bất đẳng thức tam giỏc)
2. Tứ giỏc
a. Định nghĩa: Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đú bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng khụng cựng nằm trờn 1 đường thẳng
b. Tứ giỏc lồi: Là tứ giỏc luụn nằm trong 1 nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc
c. Chỳ ý: Khi núi đến tứ giỏc mà khụng chỳ thớch gỡ them, ta hiểu đú là tứ giỏc lồi
3. Tổng cỏc gúc của 1 tứ giỏc
- Định lý: Tổng cỏc gúc cảu một tứ giỏc bằng 3600 
- Chỳ ý: Để bốn gúc cho trước thỏa món là bốn gúc của một tứ giỏc khi bốn gúc đú cú tổng bằng 
- Bất đẳng thức đường gấp khỳc: 
- Mở rộng: Tổng bốn gúc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giỏc bằng 3600.
4. Gúc ngoài của tứ giỏc: Gúc kề bự với 1 gúc trong của tứ giỏc gọi là gúc ngoài của tứ giỏc
- Ta cú là gúc ngoài tại đỉnh B.
B. Bài tập
Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD cú: , phõn giỏc trong của gúc ABC cắt AD tại E. phõn giỏc trong của gúc ADC cắt BC tại F. Chứng minh BE // DF
Lời giải
+) 
+) Xột tam giỏc ABE, cú: 
+) Từ (1), (2)suy ra và hai gúc này ở vị trớ đồng vị nờn 
Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD cú: . Phõn giỏc trong của cỏc gúc BCD và CDA cắt nhau tại E, biết rằng CD = 2 DE . Chứng minh rằng : 
Lời giải
+) Ta cú: 
+) Gọi M là trung điểm của CD 
 đều 
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD , cú: . chứng minh rằng BD là phõn giỏc 
Lời giải:
+) Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = BC
+) cõn tại D 
Từ (1)(2) 
Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD cú BD là phõn giỏc của gúc ABC , AD = CD , AB < BC . Chứng minh rằng : 
Lời giải
 +) Trờn cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA
+) cõn tại D
. Từ (1)(2) 
Bài 5: Cho tứ giỏc ABCD cú: 
a. Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc ABCD
b. AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Phõn giỏc gúc AED và gúc AFB cắt nhau tại O, phõn giỏc gúc AFB cắt CD và AB tại M và N. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN
Lời giải
a. 
b. cõn là trung điểm của MN
Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú , AC là phõn giỏc của gúc A. 
Chứng minh rằng: CB = CD
Lời giải
Dựng tam giỏc ACE cõn tại C 
Theo gt: 
Cú: 
 và cú: 
HèNH THANG, HèNH THANG CÂN
A. HèNH THANG
1. Định nghĩa: Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song.
Là hỡnh thang ( đỏy AB, CD ) 
+) AB: đỏy nhỏ 	+) CD: đỏy lớn	+) AD, BC: cạnh bờn
Nhận xột
- Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn bằng nhau
- Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau
Dựa vào nhận xột ta cú
Hỡnh thang ABCD ( AB // CD ), cú:
+) 
+) 
2. Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú 1 gúc vuụng
B. HèNH THANG CÂN
1. Định nghĩa
Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề 1 đỏy bằng nhau
ABCD là hỡnh thang cõn ( đỏy AB, CD ) 
2. Tớnh chất: Trong hỡnh thang cõn
- Hai cạnh bờn bằng nhau
- Hai đường chộo bằng nhau
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hỡnh thang cú 2 gúc kề 1 đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn
- Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn
4. Chỳ ý: Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau chưa chắc đó là hỡnh thang cõn ( Hỡnh bỡnh hành )
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giỏc ABC và đường thẳng d đi qua trọng tõm G của tam giỏc ABC và cắt cỏc đoạn AB, AC. Chứng minh rằng tổng khoảng cỏch từ B và C tới d bằng khoảng cỏch từ A tới d
Lời giải
Ta cú tứ giỏc BEFC là hỡnh thang ( BE // CF )
Gọi N là trung điểm của EF, M là trung điểm của BC
+) Lấy P thuộc tia đối của MG sao cho MP = MG 
+) Lấy K thuộc d sao cho NG = NK 
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G và đường thẳng d nằm ngoài tam giỏc. Gọi D, E, F, H lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, D lờn đường thẳng d. Chứng minh rằng: AD + BE + CF = 3GH
Lời giải
+) Gọi M là trung điểm của BC
+) P là trung điểm của AG
+) K là hỡnh chiếu của M lờn d
Ta cú : BE + CF = 2MK
AD + GH = 2PQ; MK + PQ = 2GH
2( MK + PQ ) = 4GH; BE + AD + CF = 3GH (dpcm)
Bài 3: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD ), trong đú CD = BC + AD. Hai đường phõn giỏc của hai gúc A và B cắt n