Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 10: Các bài toán về tam giác đồng dạng

CHUYÊN ĐỀ 10 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. Kiến thức:
* Tam giác đồng dạng:
a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)
ABC A’B’C’ 
b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)
ABC A’B’C’ ; 
c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)
ABC A’B’C’ ; 
AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: = k (Tỉ số đồng dạng); = K2
B. Bài tập áp dụng
Bài 1:
Cho ABC có, AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC
b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?
Giải
Cách 1:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) 
 = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm
Cách 2:
Vẽ tia phân giác BE của ABE ACB
= 8(8 + 10) = 144
 AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)
Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2
+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1
a = 1; b = 2; c = 3(loại)
+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4
- Với a = 1 thì c = 8 (loại)
- Với a = 2 thì c = 6 (loại)
- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5
Vậy a = 4; b = 5; c = 6
Bài 2:
Cho ABC cân tại A, đường phân giác BD; tính BD 
biết BC = 5 cm; AC = 20 cm
Giải
Ta có CD = 4 cm và BC = 5 cm
Bài toán trở về bài 1 
Bài 3:
Cho ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng
a) DBOOCE
b) DOE DBOOCE
c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED
d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB
Giải
a) Từ và (gt) DBOOCE
b) Từ câu a suy ra (1)
 Vì B, O ,C thẳng hàng nên (2)
trong tam giác EOC thì (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 
DOE và DBO có (Do DBOOCE) 
và (Do OC = OB) và 
nên DOE DBOOCE
c) Từ câu b suy ra DO là phân giác của các góc BDE
Củng từ câu b suy ra EO là phân giác của các góc CED
c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi khi D di động trên AB
Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)
Cho ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho 
a) Chứng minh tích BD. CE không đổi
b)Chứng minh DM là tia phân giác của 
c) Tính chu vi của AED nếu ABC là tam giác đều
Giải
a) Ta có , mà (gt)
nên , kết hợp với (ABC cân tại A)
suy ra BDM CME (g.g) 
 không đổi
b) BDM CME 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) hay DM là tia phân giác của 
c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của 
kẻ MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK DKM = DIM 
DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
ABC là tam giác đều nên suy ra CME củng là tam giác đều CH = 
 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a
Bài 5: 
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
Giải
a) DE // AM (1)
 DF // AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
DE + DF = = không đổi
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) (3)
 (2)
(Vì CM = BM)
Từ (1) và (2) suy ra FK = EK hay K là trung điểm của FE
Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)
Cho hình thoi ABCD cạnh a có , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tại M, N
a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo của góc BKD
Giải
a) BC // AN (1)
 CD// AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
b) MBD vàBDN có= 1200
 (Do ABCD là hình thoi có nên AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy ra . MBD vàBKD có và nên 
Bài 7: 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng
a) IM. IN = ID2
b) 
c) AB. AE + AD. AF = AC2
Giải
a) Từ AD // CM (1)
Từ CD // AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN
b) Ta có (3)
Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 (4)
Từ (3) và (4) suy ra 
c) Ta có AGB AEC 
 AB. AE = AG(AG + CG) (5)
CGB AFC (vì CB = AD) 
AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6)
Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2
Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2
Bài tập về nhà
Bài 1
Cho Hình bình hành ABCD, một đường thẳng cắt AB, AD, AC lần lượt tại E, F, G
Chứng minh: 
HD: Kẻ DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC)
Bài 2:
Qua đỉnh C của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD ở E, G, F
 chứng minh:
a) DE2 = . BE2
b) CE2 = FE. GE
(Gợi ý: Xét các tam giác DFE và BCE, DEC và BEG)
Bài 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng
a) 
b) BH = AC