Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chủ đề 6: Phân thức đại số

 CHỦ ĐỀ 6: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phân thức đại số:
* Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A , trong đó A, B là 
 B
những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0
 A là tử thức (tử).
 B là mẫu thức
* Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1.
2. Hai phân tức bẳng nhau: 
Với hai phân thức A và C , ta nói A = C nếu A.D = B.C
 B D B D
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau. 
I/ Phương pháp
* Để chứng minh đẳng thức A = C ta cần chứng minh A.D = B.C thì kết luận A = C
 B D B D
 * Để kiểm tra phân thức A có bằng phân thức C không thì ta xét các tích A.D và B.C
 B D
+ Nếu A.D = B.C thì kết luận A = C
 B D
 + Nếu A.D ≠ B.C thì kết luận A không bằng C
 B D
 * Để tìm mẫu thức (tử thức) chưa biết trong phân thức bằng nhau A = C
 B D
  A.D = B.C
 Từ đó dùng phép chia đa thức (rút gọn nhân tử chung) có được mẫu thức (tử thức) 
cần tìm.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: x2 y3 7x3 y4 x2 x 2 x 3 x x2 6x 9
 a) b) c) 
 5 35xy x x 2 2 x 2 3 x 9 x2
 x3 4x x2 2x 5y 20xy 3x x 5 3x
 d) e) f) ;
 10 5x 5 7 8x 2 x 5 2
 x 2 x 2 x 1 x2 x 2 x2 3x 2 x3 8
 g) h) i) x 2.
 x 1 x2 1 x 1 x 1 x2 2x 4
Bài 2. Ba phân thức sau có bằng nhau không?
 x2 x 2 x 2 x2 4
 ; ; .
 x2 1 x 1 x2 x 2
Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
 A 6x2 3x 4x2 3x 7 4x 7
 a) ; b) ;
 2x 1 4x2 1 A 2x 3
 4x2 7x 3 A x2 2x x2 2x
 c) ; d) .
 x2 1 x2 2x 1 2x2 3x 2 A
Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy 
sửa sai cho đúng.
 5x 3 5x2 13x 6 x 1 x2 3
 a) ; b) ;
 x 2 x2 4 x 3 x2 6x 9
 x2 2 x 2 2x2 5x 3 2x2 x 3
 c) ; d) .
 x2 1 x 1 x2 3x 4 x2 5x 4
DẠNG 2: Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa, bằng 0, khác 0. 
I/ Phương pháp.
 * Điều kiện phân thức A có nghĩa (Tìm tập xác định) là mẫu thức B ≠ 0.
 B
 Chú ý: Trước khi tìm điều kiện để A có nghĩa ta cần phân tích mẫu thức B thành 
 B
nhân tử.
 A A 0
 * Để phân thức = 0 thì 
 B B 0
 A A 0
 * Để phân thức ≠ 0 thì 
 B B 0
II/ Bài tập vận dụng. Bài 6. Tìm điều kiện của các phân thức sau:
 2
 a) 3 b) x 3 c) x d) 2x 1 .
 5x 2 x2 6x 9 x2 3x x2 3x 2
Bài 7. Tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.
 2 2
 a) 3x 1 b) x x c) x 3x 2
 x2 5 2x 1 x2 1
 2 4 3 4 2
 d) x 2x e) x x x 1 f) x 5x 4 .
 x2 4x 4 x4 x3 2x2 x 1 x4 10x2 9
DẠNG 3: Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa.
I/ Phương pháp.
 Để chứng minh phân thức A luôn có nghĩa ta cần chứng minh mẫu thức B ≠ 0 với mọi giá 
 B
trị của biến tức là phải biến đổi B về một trong các dạng sau:
 B = a + [f(x)]2 hoặc B = - a - [f(x)]2 với số a > 0
 B = a + |f(x)| hoặc B = - a - |f(x)| với số a > 0
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
 3 3x 5 7x -1
 a) b) c) 
 2x2 7 (3x 1)2 2 x2 2x 4
 x2 x
 d) e) 
 x2 4x+5 x2 x 7
Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
 x y 2x y
 a) b) 
 x2 y2 2xy 3 x2 y2 2x 2
DẠNG 4: Tìm GTNN, GTLN của phân thức.
I/ Phương pháp.
 * T = a + [f(x)]2 ≥ a Hoặc T = a + |f(x)| ≥ a 
=> GTNN của T bằng a khi f(x) = 0
 * T = b - [f(x)]2 ≤ b Hoặc T = a - |f(x)| ≤ a 
=> GTLN của T bằng b khi f(x) = 0
 * Nếu a > 0 và T > 0 thì a nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
 T II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm GTNN của phân thức 3 | 2x 1| .
 14
 Hướng dẫn
 Vì mẫu thức là 14 > 0 => phân thức có GTNN khi 3 + |2x – 1| có GTNN
 Vì |2x – 1| ≥ 0 nên 3 + |2x – 1| ≥ 3 
=> 3 + |2x – 1| có GTNN bằng 3 khi 2x – 1 = 0  x = 1
 2
=> GTNN của phân thức 3 | 2x 1| bằng 3
 14 14
 2
Bài 2: Tìm GTLN của phân thức 4x 4x
 15
 Hướng dẫn
 Vì mẫu thức là 15 > 0 => phân thức có GTLN khi – 4x2 + 4x có GTLN
 Ta có: – 4x2 + 4x = 1 – (2x – 1)2 
Vì – (2x – 1)2 ≤ 0 nên 1 – (2x – 1)2 ≤ 1 
=> 1 – (2x – 1)2 có GTLN bằng 1 khi 2x – 1 = 0  x = 1
 2
 2
=> GTLN của phân thức 4x 4x bằng 1
 15 15
Bài 3: Tìm GTLN của phân thức: 5
 x2 2x 2
 Hướng dẫn
 Vì Tử thức là 5 > 0 và mẫu thức x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0 
=> phân thức có GTLN khi (x + 1)2 + 1 có GTNN 
Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 1 ≥ 1 
=> (x + 1)2 + 1 có GTNN bằng 1 khi x + 1 = 0  x = - 1
=> GTLN của phân thức 5 bằng 5 khi x = - 1
 x2 2x 2
Bài 4: Tìm GTLN của phân thức: 3
 2 | 2x 5 |
 Hướng dẫn Vì Tử thức là 3 > 0 và mẫu thức 2 + |2x – 5| > 0 
=> phân thức có GTLN khi 2 + |2x – 5| có GTNN 
Vì |2x – 5| ≥ 0 nên 2 + |2x – 5| ≥ 2 
=> 2 + |2x – 5| có GTNN bằng 2 khi 2x - 5 = 0  x = 5
 2
=> GTLN của phân thức 3 bằng 3 khi x = 5
 2 | 2x 5 | 2 2
Bài 5: Tìm GTNN của các phân thức
 2
 a) x 4x 6 b) 4 2 |1 2x |
 3 15
Bài 6: Tìm GTLN của các phân thức
 a) 12 b) 5
 3 | 5x 1| | 2y 1| 4x2 4x 2y y2 3
DẠNG 5: Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nhận giá trị nguyên.
I/ Phương pháp.
 Với phân thức a (tử thức a là số nguyên)
 f (x)
 Bước 1: Tìm điều kiện để f(x) ≠ 0 
 Bước 2: Phân thức a nhận giá trị nguyên thì f(x) phải là Ước của số a
 f (x)
 Bước 3: Giải f(x) = Ư(a) để tìm x. 
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1. Tìm các giá trị nguyên của biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: 3
 x2 x 1
Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: 6 ;
 x 3
Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: 2
 1 | 2x 1| BÀI TẬP TỔNG HỢP
PHÂN THỨC BẰNG NHAU.
Bài 1.Chứng minh các đẳng thức sau:
 3y 6xy 3x2 3x2 2(x y) 2
 a) (x 0) b) (y 0) c) (x y)
 4 8x 2y 2y 3(y x) 3
 2xy 8xy2 1 x x 1 2a 2a
 d) (a 0,y 0) e) (y 2) f) (b 0)
 3a 12ay 2 y y 2 5b 5b
Bài 2.Chứng minh các đẳng thức sau:
 x 2 23 x3 3x 3x(x y)
 a) (x 0) b) (x y)
 x x(x2 2x 4) x y y2 x2
 x y 3a(x y)2
 c) (a 0, x y)
 3a 9a2(x y)
Bài 3.Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x 2 và 1 
 x2 5x 6 x 3
 (2x 1)(x 2) x 2
Bài 4.Cho hai phân thức A , B . Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các 
 3(2x 1) 3
trường hợp sau:
 a) x N b) x Z c) x Q
 x 1 (x 1)(x 2) (x 1)(3x 2)
Bài 5.Cho ba phân thức A , B , C . Hãy xét sự bằng nhau của 
 5 5(x 2) 5(3x 2)
chúng trong các trường hợp sau:
 a) x N b) x Z c) x Q
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ NGHĨA.
Bài 1.Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 2 2
 a) x 4 b) 2x 1 c) x 4
 9x 2 16 x 2 4x 4 x 2 1 5x 3 x2 5x 6 2
 d) 2 e) f) 
 2x x x2 1 (x 1)(x 3)
 g) 2x 1
 x2 5x 6
Bài 2.Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 2
 a) 1 b) x y 2x c) 5x y
 x2 y2 x2 2x 1 x2 6x 10
 d) x y
 (x 3)2 (y 2)2
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ THÂN THỨC BẰNG 0, KHÁC 0 
Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
 x x2 x x 
 a) 2 1 b) c) 2 3
 5x 10 2x 4x 5
 2
 d) (x 1)(x 2) e) (x 1)(x 2) f) x 1
 x2 4x 3 x2 4x 3 x2 2x 1
Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
 2 3 3 2
 a) x 4 b) x 16x c) x x x 1
 x2 3x 10 x3 3x2 4x x3 2x 3
Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau khác không:
 2
 a) x 1 b) x 2x c) x 3
 2x 10 2x -1 4x 7
CHỨNG MINH MỘT PHÂN THỨC LUÔN CÓ NGHĨA.
Bài 1.Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
 a) 3 b) 3x 5 c) 5x 1
 x2 1 (x 1)2 2 x2 2x 4
 2
 d) x 4 e) x 5
 x2 4x 5 x2 x 7
Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) x y b) 4
 x2 2y2 1 x2 y2 2x 2