Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chuyên đề 11: Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Phương pháp:
 + So sánh P với m: Xét hiệu P – m, rồi so sánh với số 0
 A 0 A 0
 A B 0 A B 0
 Chú ý: 0 Hoặc: 0 
 B A 0 B A 0
 B 0 B 0
 A
 + Tìm x nguyên để P nguyên: P Z B U A 
 B
 + Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k (k Z) 
 A
 + Tìm Min Max của P : Nếu bậc của tử bậc của mẫu: chia xuống chú ý dấu bằng xảy ra.
 B
 Chú ý SD BĐT: a b 2 ab 
 (x 1)2 1 2x2 4x 1 x2 x
Bài 1: Cho biểu thức: A 2 3 : 3
 3x (x 1) x 1 x 1 x x
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm giá trị của x để A > -1
HD:
 x2 1
 a, Rút gọn được: A 
 x 1
 x2 1 x2 x 2
 b, Để A 1 thì 1 0 
 x 1 x 1
 Do đó x2 x 2 và x 1 phải cùng dấu
 2
 2 1 7
 mà x x 2 x 0 
 2 4
 nên x 1 0 x 1 
 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 1, x 0, x 1 thì A > -1
 1 3 x2 1 
Bài 2: Cho biểu thức: A 2 : 2 
 3 x 3x 27 3x x 3 
 a) Rút gọn biểu thức A;
 b) Tìm giá trị của x để A < -1.
HD:
 ĐKXĐ: x 0,x 3,x 3 
 x 3
 a, Rút gọn được: A 
 x
 x 3 x 3 x 3 3
 b, Để A 1 thì 1 1 1 0 0 x 0
 x x x x
 (vì 3 > 0 )
 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 0, x 3 thì A <-1
 1 1 2 5 x 1 2x
Bài 3: Cho biểu thức: A 2 : 2 
 1 x x 1 1 x x 1
 a) Rút gọn biểu thức A
 b) Tìm x để A>0
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1 .
 1 x 2 2x 5 x 1 2x 2 x2 1 2
 Ta có: A : . 
 1 x2 x2 1 x2 1 1 2x 1 2x
 1 1
 b, Để A 0 1 2x 0 x , Đối chiếu với điều kiện ta được: 1 x 
 2 2
 a3 4a2 a 4
Bài 4: Cho P 
 a3 7a2 14a 8
 a) Rút gọn P
 b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận gí trị nguyên
HD:
 a, Ta có: a3 4a2 a 4 a a2 1 4 a2 1 a 1 a 1 a 4 
 Và a3 7a2 14a 8 a3 8 7a a 2 a 2 a2 5a 4 a 2 a 1 a 4 
 a 1
 ĐKXĐ: a 1,a 2,a 4 . Rút gọn ta được: P 
 a 2
 a 2 3 3
 b, P 1 
 a 2 a 2
 Để P nguyên khi a-2 là ước của 3 => a 1;3;5 
 x2 6 1 10 x2 
Bài 5: Cho biểu thức: M 3 : x 2 
 x 4x 6 3x x 2 x 2 
 a) Rút gọn M
 1
 b) Tính giá trị cảu M khi x 
 2
HD:
 ĐKXĐ: x 0, x 2 
 x2 6 1 10 x2 
 a, M 3 : x 2 
 x 4x 6 3x x 2 x 2 
 x2 6 1 6
 : 
 x x 2 x 2 3 x 2 x 2 x 2
 6 x 2 1
 M . 
 x 2 x 2 6 2 x
 1 1 1
 b, Khi x x hoặc x 
 2 2 2
 y2 y 2 x3 10x2 25x
Bài 6: Cho biểu thức: D : 
 y 2 x2 25
 a) Rút gọn D
 b) Tính giá trị của D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức: x2 x 2 4y2 4xy 0 
HD:
 a, ĐKXĐ: y 2, x 0, x 5 
 2 2 2
 y2 y 2y 2 x x 10x 25 y y 1 2 y 1 x x 5 
 Khi đó: D : : 
 y 2 x 5 x 5 y 2 x 5 x 5 
 y 1 y 2 x 5 x 5 y 1 x 5 
 . 2 
 y 2 x x 5 x x 5 
 b, Vì x2 x 2 4y2 4xy 0 
 2
 x2 4xy 4y2 x 2 0 x 2y x 2 0 
 2 7
 x 2y 0 và x 2 0 x 2, y 1 D 
 3
 x y x2 y2 y 2 4x4 4x2 y2 4
Bài 7: Cho A , Với x y x y y x2 
 2 2 : 2 0, 0, 2 , 2 2 
 2y x 2y xy x x y xy x
 a) Rút gọn biểu thức A
 2
 b) Cho y 1 .Hãy tìm x để A 
 5
HD:
 x y x2 y2 y 2 4x2 4y2 y2 4 
 a, A 2 2 : 2 
 2y x 2y xy x x y xy x 
 x y x2 y2 y 2 x y x 1 
 A . 
 2 2
 2y x x y 2y x 2x y 2 2x y 2 
 2x2 y 2 x y x 1 x 1
 A . 
 x y 2y x 2x2 y 2 2x2 y 2 2y x 2x2 y 2 
 x 1 2
 b, Với y 1 A 4x3 8x2 11x 7 0 
 2 x 2x2 3 5
 x 1 4x2 4x 7 0 x 1 
 x 1 1 2 x3 2x2
Bài 8: Cho biểu thức: Q 1 3 2 : 3 2 
 x 1 x x 1 x 1 x x x
 a) Rút gọn Q
 3 5
 b) Tính giá trị cảu Q biết : x 
 4 4
 c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
HD:
 x 1 1 2 x3 2x2
 a, Q 1 3 2 : 3 2 
 x 1 x x 1 x 1 x x x
 2
 x 1 x 1 2 x x 1 x2 x 1 2x2 4x x2 x 1
 1 . 1 . 
 x 1 x2 x 1 x x 2 x 1 x2 x 1 x x 2 
 2x x 2 x2 x 1
 1 . , ĐK: x 0; 1;2 
 x 1 x2 x 1 x x 2 
 2 x 1
 Q 1 
 x 1 x 1
 3 3 5 1
 b, Với x x hoặc x 2 (Loại)
 4 4 2
 1
 Với x Q 3 
 2
 c, Để Q Z x 3; 2;1 
 2 x 4x2 2 x x2 3x 
Bài 9: Cho biểu thức: A 2 : 2 3 
 2 x x 4 2 x 2x x 
 a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
 b) Tìm giá trị của x để A>0
 c) Tính giá trị của A trong TH x 7 4 
HD:
 ĐKXĐ: x 0, 2,3 
 2
 2 2 2
 2 x 4x2 2 x x2 3x 2 x 4x 2 x x 2 x 
 Ta có: A 2 : 2 3 . 
 2 x x 4 2 x 2x x 2 x 2 x x x 3 
 4x2 8x x 2 x 4x x 2 x 2 x 4x2
 . 
 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 x 3
 4x2
 b, Để A 0 0 x 3 0 x 3 
 x 3
 c, Khi x 7 4 x 11 hoặc x 3 (loại), Thay vào A
 4x 8x2 x 1 2 
Bài 10: Cho biểu thức: A 2 : 2 
 2 x 4 x x 2x x 
 a) Rút gọn A
 b) Tìm x để A=-1
 c) Tìm các giá trị của x để A<0
HD:
 a, ĐKXĐ: x 0, x 2 
 2
 4x 8x2 x 1 2 4x 2 x 8x x 1 2 x 2 
 A 2 : 2 :
 2 x 4 x x 2x x 2 x 2 x x x 2 
 8x 4x2 8x2 x 1 2x 4 8x 4x2 3 x 4x 2 x x x 2 4x2
 : : . 
 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x 3 x x 3
 4x2
 b, Để A 1 1 4x2 x 3 0 x 1 4x 3 0 
 x 3
 4x2
 c, Để 0 x 3 0 
 x 3
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên:
 x2 2x 2x2 1 2 
M 2 2 3 1 2 
 2x 8 8 4x 2x x x x 
HD:
 ĐKXĐ: x 0,x 2 
 2
 x2 2x 2x2 x 2 x 1 
 M . 
 2 x2 4 x2 4 x 2 x2
 4 2
 x2 x 2 4x2 x 2 x 1 x x2 4x 4 4x x 2 x 1 
 M . . 
 2 x 2 x2 4 x2 2 x2 4 x 2 x2
 2
 x x 4 x 2 x 1 x 1
 M . 
 2 x 2 x2 4 x2 2x
 x 1 x 1 1
 Đẻ M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên, Mà 1 Z x 1;1 
 x x x
 3 x 2 2x2 x 10 5 3 3 2
Bài 12: Cho biểu thức: P : . 
 3 2 2 2 x x 1 x 1
 x x x 1 x 1 x 1 2x x 1 2 1 
 a) Rút gọn P
 b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4
HD:
 3 x 2 2x2 x 10 5 3 3 2
 a, P : . 
 3 2 2 2 x x x 1
 x x x 1 x 1 x 1 2x x 1 2 1 2 1 
 3x 6 2x2 x 10 10x2 10 6x2 6 2
 P : . 
 x 1 x2 1 x 1 x2 1 2 x 1 x 1 x2 1 x 1
 8 x2 x 2 2 x 1 
 P 
 4 x2 4 x 2
 b, Tìm x nguyên để P có giá trị là bội của 4
 2 x 1 2
 ĐK x 1, x 2 , Để P nguyên thì Z Z x 2 U 2 1; 2 
 x 2 x 2
 Với x=3 thỏa mãn
 6x 1 6x 1 x2 36
Bài 13: Cho biểu thức: A 2 2 . 2 Rút gọn A
 x 6x x 6x 12x 12
HD:
 ĐKXĐ: x 0, x 6 
 6x 1 6x 1 x2 36 6x 1 x 6 6x 1 x 6 x2 36
 Ta có: A 2 2 . 2 . 
 x 6x x 6x 12x 12 x x2 36 12 x2 1 
 2
 6x2 37x 6 6x2 37x 6 x2 36 12 x 1 x2 36 1
 . . 
 x x2 36 12 x2 1 x x2 36 12 x2 1 x
 x 2 1 10 x2 
Bài 14: Cho biếu thức: A 2 : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 
 a) Rút gọn A
 1
 b) Tính giá trị của A biết x 
 2
 c) Tìm giá trị của x để A<0
 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
HD:
 1
 A, Rút gọn A ta được: A 
 x 2
 5 c, Để A 0 x 2 
 1
 d, Để A Z Z x 1;3 
 x 2
 1 1 x 1
Bài 15: Rút gọn biểu thức: A 2 : 2 
 x x x 1 x 2x 1
HD:
 2
 1 1 x 1 1 x x 1 x 1
 A : . 
 2
 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x
 x2 y2 z2 2yz x y z 2 8 1
Bài 16: Tính giá trị của biểu thức: A : , Với x 1 ,y ,z 3 
 x2 xz y2 yz x y z 3 3 3
HD:
 x y z x y z x y z x y z
 A : , Vì x y, x y z 0, x y z 0 
 x y x y z x y z x y
 1
 Thay x, y, z vào ta được: A 2 
 3
 11n3 12n2 12n 20
Bài 17: Tìm số tự nhiên n để A , có giá trị nguyên
 n2 1
HD:
 n 8
 Ta có: A 11n 12 , n N , Khi A nguyên thì n 8n2 1 và n 8 n2 1 
 n2 1
 n n 1 7 n 0;1;2;3 , thử lại chọn n=0 ; 2
 3x 3
Bài 18: Cho biểu thức: A 
 x3 x2 x 1
 a) Rút gọn A
 b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên
 c) Tìm GTLN của A
HD:
 3x 3 3 x 1 3
 a, A 
 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 1
 b, Để A nhận giá trị nguyên thì: x2 1 U 3 3; 1;1;3 
 Nếu x2 1 1 x 0, A 3 
 Nếu x2 1 3 x 2 A 1 
 3
 c, A lớn nhất khi x2 1 nhỏ nhất, mà x2 1 1,x R 
 x2 1
 2 3 x 7 1 2x
Bài 19: Cho biểu thức: P 2 : 2 
 x 1 x 1 1 x x 1
 a) Rút gọn P
 b) Tìm x để P<0 
HD:
 2
 a, Rút gọn P 
 1 2x
 2 1
 b, Để P 0 0 x 
 1 2x 2
 6 x2 x2 x 1 x 3 
Bài 20: Cho biểu thức: K 2 2 . 4 2 
 x 5x 6 x 3x 2 x x 1
 a) Rút gọn K
 b) Tìm giá trị lớn nhất của K
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1;2;3 
 x2 x2 x 1 x 3 
 K . 
 4 2
 x 3 x 2 x 2 x 1 x x 1
 2x2 x 1 x 3 2x2
 K . K 
 4 2 4 2
 x 1 x 3 x x 1 x x 1
 b, Nếu x 0 K 0 
 2 2 2 2
 Nếu x 0 K , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1
 1 2 3 3
 x2 1 1 
 x2 x 3
 x 
 3x2 6x 3
Bài 21: Cho phân thức : A 
 2x 2 x 3 
 a) Rút gọn phân thức :
 b) Tìm giá trị của phân thức khi x=4
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1, x 3 
 2
 3x2 6x 3 3 x 1 3 x 1 
 b, A 
 2x 2 x 3 2 x 1 x 3 2 x 3 
 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5
Bài 22: Cho biểu thức : A 3 2 : 
 x 1 x x 1 x 1 x 1
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của A
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1 
 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1
 Ta có: A . . 
 x3 1 2x2 5x 5 x3 1 2x2 5x 5
 1
 A 
 2x2 5x 5
 1 1 1 8
 b, Ta có: A 
 2x2 5x 5 5 25 15 2 15
 2 x2 2. x 5 15
 2 x 
 4 16 8 4 8
 x2 x 2
Bài 23: Cho biểu thức: A 
 x2 5x 6
 a) Rút gọn A
 b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
HD:
 a, ĐKXĐ: x 2; x 3 
 x 1 x 2 x 1
 A 
 x 2 x 3 x 3
 7 x 1 4 4
 b, A 1 , đề A nguyên thì Z x 3 U 4 
 x 3 x 3 x 3
 3 x 3 x 4x2 2x 1 
Bài 24: Cho biểu thức : P 2 : 1 
 3 x 3 x x 9 x 3 
 a) Rút gọn P
 b) Tính giá trị của P biết: 2x2 5x 2 0 
 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
 3x2 3 3 x 3
Bài 25: Cho biểu thức: A 2 : 
 x 4 x 2 2 x x 2
 a) Rút gọn biểu thức A
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2 4 
 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 
 x 2 3x2 3 3 
Bài 26: Cho biểu thức: A 2 . 2 
 x 3x x 4 x 2 2 x 
 a) Rút gọn biểu thức A
 2
 b) Tính giá trị A khi x 7x 0 
 c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên 
 x 2 16 x 2 x 4
Bài 27: Cho biểu thức: A 2 : 
 x 2 4 x x 2 x 2
 a) Rút gọn A
 b) Tính giá trị của A biết: x2 6x 8 0 
 3x3 x2 x 3 x 2 1
Bài 28: Cho M 
 x4 1 x2 1 x2 1
 a) Rút gọn M 
 3
 b) Tìm x để M 
 5
 c) Tìm x Z để M Z 
 x 1 2 x x2 1 x2 
Bài 29: cho biểu thức: P 2 : 3 
 x x x x 1 x 1 
 a) Rút gọn P
 b) Tìm giá trị của x để P 3x 
 c) Với x > 1, Hãy so sánh P với 3
 21 x 4 x 1 x 3
Bài 30: Cho biểu thức: A 2 . 
 x 9 3 x 3 x x 2
 a) Rút gọn A
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 2 
 c) Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên âm
 1 x x 1 2x 1
Bài 31: Cho biểu thức: B 2 . : 
 x 1 x 1 x 1 3x 3
 a) Rút gọn B
 b) Tính giá trị cảu B khi x= -3
 c) Tìm x nguyên để biểu thức B có giá trị là 1 số nguyên 
 8 2 x 4x2 2 x x2 3x
Bài 32: Cho biểu thức: P 2 : 2 3 
 2 x x 4 2 x 2x x
 a) Rút gọn P
 b) Tính giá trị của biểu thức P biết x 5 3 
 c) Tìm giá trị nguyên của x để P chia hết cho 4
 1
 d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 
 P
 x2 2x x 5 50 5x
Bài 33: Cho biểu thức: P 
 2x 10 x 2x x 5 
 a) Rút gọn P
 1
 b) Tìm giá trị của x để P=0, P= 
 4
 c) Tìm giá trị của x để P>0, P<0 
 x2 x x 1 1 2 x2 
Bài 34: Cho biểu thức: P 2 : 2 ,(x 0, x 1) 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 a) Rút gọn biểu thức P
 1
 b) Tìm x để P 
 2
 c) Tìm GTNN của P khi x > 1. 
 16x x2 3 2x 2 3x x 1
Bài 35: Cho A x 2 : 2 2 
 x 4 2 x x 2 x 4x 4x
 a) Rút gọn A
 20173 1
 b) Tính giá trị của A khi x 
 20172 2016
 2 3x 36x2 2 3x x2 x
Bài 36: Cho biểu thức: A 2 : 2 3 
 2 3x 9x 4 2 3x 2x 3x
 a) Rút gọn A
 b) Tìm giá trị cảu x để A nguyên dương
 1 x3 x 1 1 
Bài 37: Cho biểu thức: P 2 . 2 2 
 x 1 x 1 x 2x 1 x 1 
 a) Tìm điều kiện của P có nghĩa và rút gọn P
 1
 b) Tìm các số nguyên x để nhận giá trị nguyên
 P
 9