Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chuyên đề 13: Tứ giác

 CHUYấN ĐỀ TỨ GIÁC
 Bài 1: HèNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA HèNH THANG
 A. Lí THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đỏy, 
 hai cạnh cũn lại là hai cạnh bờn. (H1)
 - Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú một gúc vuụng. (H2)
 - Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau. (H3)
 - Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc. (H4)
 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh thang. (H5)
 A B B C A B
 D C A D D C
 H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN
 A A B
 N N
 M M
 B C D C
 H4.ĐƯỜNG TRUNG BèNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH HèNH THANG
2. Tớnh chất:
 - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn ấy bằng nhau.
 - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau.
 - Trong hỡnh thang cõn, hai cạnh bờn bằng nhau.
 - Trong hỡnh thang cõn, hai đường chộo bằng nhau. 
 - Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy.
 1
 Với H4. Ta cú: MN / /BC,MN BC 
 2
 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy. 
 AB CD 
 Với H5. Ta cú: MN / / AB / /CD và MN 
 2
3. Định lý:
 - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chớnh là đường trung bỡnh của tam giỏc. 
 - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai đỏy thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh bờn cũn lại và đường ấy cũng là đường trung bỡnh của hỡnh thang.
4. Dấu hiệu nhận biết :
 - Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn.
 - Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn.
 1 5. Mở rộng: 
 - Trong hỡnh thang cú hai cạnh bờn khụng song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường 
 chộo thỡ song song với hai đỏy và bằng một nửa hiệu hai đỏy. (H6)
 A B
 M N
 D C (H6)
 CD AB
 - Ở H6 ta cú: MN / / AB / /CD và MN 
 2
 B. LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9 cm, Trờn tia AB lấy điểm D sao cho:
BD = BA. Trờn tớa AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kộo dài trung tuyến AM của tam giỏc ABC, lấy 
MI = MA.
 a. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ADE. A
 b. Chứng minh DI // BC.
 c. Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng.
 5 7
HD: 
 C
 B
 M 9
 D I E
Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là 
trung điểm của AE, BE, AC, BD, 
CMR: MNPQ là hỡnh thang E
HD: 
Dễ dạng chứng minh được MN // AB M N
Gọi R là trung điểm của AD khi đú ta cú: RQ // AB
 B
RP // DC // AB A
Nờn RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB
Vậy MNPQ là hỡnh thang R
 Q P
 D C
 2 Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Vẽ AH vuụng gúc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của cỏc đoạn thẳng AH CH, CMR :
MN vuụng gúc với AB và BM vuụng gúc với AN A
HD:
Vỡ MN là đường trung bỡnh
=> MN//AC mà AC  AB
 M
=> MN  AB=> M là trực tõm của ABN
 ABN cú M là trực tõm => BM  AN
 C
 B H N
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nú, trờn cựng 1 nửa mặt phẳng cú bờ AB, vẽ hai tia Ax và 
By vuụng gúc với AB, Một gúc vuụng đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D
a, AC+BD=CD b, CO là tia phõn giỏc của ãACD
HD
a, Gọi I là trung điểm của CD
AC// BD => OI là trung bỡnh của hỡnh thang ABCD D
 AC BD
=> OI I
 2
 C
 2
=> AC BD 2.OI 1
Lại cú COD vuụng => OI là đường trung tuyến 
=> OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD
b, Ta cú OCD vuụng tại O cú OI là đường trung tuyến nờn OI = IC 1
 ả à A B
=> IOC cõn tại I => C2 O1 O
 à à à ả ã
Mà: O1 C1 Nờn => C1 C2 Vậy OC là tia phõn giỏc gúc ACD
Bài 5: Cho ABC cú À 800 , AB AC . Trờn cạnh AB lấy D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là 
trung điểm của AD, BC. Tớnh gúc Bã EF ? 
HD:
 A
 80 E
 D
 O
 B
 C F
 3 Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của cỏc cạnh AB và CD 
cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : ãAEM Mã FB
HD :
Gọi I là trung điểm của BD E
Ta cú: MI, NI lần lượt là đường trung bỡnh
 AD BC ?
=> MI IN => IMN cõn F
 2 2
 ?
=> Mả Eà ( đồng vị )
 A
 à à M
và N F ( so le trong) B
Vậy Eà Fà
 I
 D N C
Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD) tia phõn giỏc gúc C đi qua trung điểm M của AD, CMR:
a, Bã MC 900 b, BC = AB + CD
HD:
a, Giả sử MC cắt AB tại E
 A B
Khi đú CMD EMA g.c.g E 2
=> CM = EM và CD = AE
 à ả à
Xột BEC cú: E C2 C1 => BEC cõn
Mà BM là đường trung tuyến 2
 M
=> BM là đường cao 1
Vậy BM  EC
b, Vi BEC cõn nờn EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB
 1
 2
 D C
Bài 8: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), cú Cà 600 , DB là phõn giỏc của gúc Dà , Biết chu vi của hỡnh 
thang là 20cm, Tớnh mỗi cạnh của hỡnh thang
HD: 
Đặt BC= a, ta cú ngay:AD = AB = BC = a
 E
 à 0 ả 0 ã 0
Mà: C 60 D2 30 DBC 90
 ả 0 à 0
Xột BDC cú D2 30 ,C 60 DC 2a
Mà Chu vi hỡnh thang là 20 cm nờn a + a + a + 2a = 20 => a = 4
 A B
 1
 a
 1 1
 2
 D C
 4 Bài 9: Cho tam giỏc ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) đi qua trung điểm I của AM cắt 
cỏc cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C trờn đường thẳng (d)
 BB ' CC '
CMR: AA ' 
 2
HD: A
Gọi H, K lần lượt là giao của (d) với AB và AC
Lấy N là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng (d)
=> AA’I = MNI ( cạnh huyền- gúc nhọn)
 C'
=> AA’ = MN B' M'
Hỡnh thang BB’C’C cú MN là đường trung bỡnh nờn: d
 A' I
 BB ' CC '
MN AA' 
 2
 C
 B M
Bài 10: Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao BH, CK. Gọi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của B và C 
trờn đường thẳng HK, 
CMR: DK = EH. A
HD:
Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và DE, 
Xột BHC vuụng tại H cú HM là đường trung tuyến nờn:
 1
HM BC (1) E
 2 H
 M'
 BKC vuụng tại K cú KM là đường trung tuyến nờn:
 K
 1
KM BC (2) D
 2
Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’
Vậy DM’ = EM’
 B M C
Bài 11: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao BD và CE, gọi I và K theo thứ tự là hỡnh chiếu 
của B và C trờn đường thẳng ED, CMR: IE=DK
HD: 
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MN  ED
Tứ giỏc BIKC là hỡnh thang => NI= NK (1) A
 1
 BEC vuụng cú EM = . BC
 2
 1
 BDC vuụng cú DM = . BC => EM =DM K
 2 D
=> EDM cõn cú MN đường cao và là trung tuyến N
=> NE = ND (2) E
Từ (1) và (2) => IE= DK I
 B M C
 5 Bài 12: Cho tam giỏc ABC cú G là trọng tõm, đường thẳng (d) khụng cắt cỏc cạnh của tam giỏc ABC, Gọi 
A’, B’, C’, G’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, G trờn đường thẳng (d), 
 AA' BB ' CC '
CMR: GG ' 
 3
HD: A
Gọi M là trung điểm của AC, và D đối xứng với G qua M, 
M’ là hỡnh chiếu của M trờn (d), Khi đú ta cú :
 BG D
GM DM 
 2 M
=> G là trung điểm của BD 
=> GG’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang BB’D’D G
=> MM’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang GG’D’D
 BB ' DD '
Nờn: GG ' (1) B C
 2 d
 AA' CC' DD ' GG '
MM ' ;MM ' B' A' G' M' D' C'
 2 2
=> DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ - GG’
Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ - GG’
=> 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM
Bài 13: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G ( G nằm bờn trong tam giỏc), Vẽ đường thẳng (d) đi qua G, 
cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ là hỡnh chiếu của A, B, C trờn (d), Khi đú AA’, BB’, CC’ cú mỗi quan hệ gỡ?
HD: 
Gọi I trờn AG sao cho AI = IG
Kẻ MM’  (d) A
Khi đú ta cú: 
 GII’ = GMM’ (cạnh huyền = gúc nhọn)
 1 I
=> II’ = MM’ mà II’ = AA’ => AA’ = 2. MM’
 2
 C'
Hỡnh thang BB’C’C cú MM’ là đường trung bỡnh
 G M'
Nờn ta cú: 2. MM’ = BB’ + CC’ B'
 A' I'
Nờn ta cú : AA’ = BB’ + CC’
 B M C
Bài 14: Cho tam giỏc ABC, Gọi D là trung điểm cạnh AB, trờn BC lấy cỏc điểm E, F sao cho
BE = EF = FC, trờn tia đối của tia BA lấy điểm G sao cho BG = BD
CMR: AF, CD, GE đồng quy
HD: 
Gọi I là giao điểm của CD và GE A
=> E là trọng tõm của DGC => DI = IC
 DEC cú IF là đường trung bỡnh nờn IF // DE
Lại cú: DE là đường trung bỡnh ABF => DE // AF
Khi đú A, I, F thẳng hàng hay AF cú đi qua I D
 I
 B C
 E F
 G
 6 Bài 15: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc đường trung tuyến BD, CE, lấy cỏc điểm M, N trờn cỏc cạnh 
BC sao cho BM=MN=NC, GỌi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE, Tớnh IK
HD:
Vỡ DN là đường trung bỡnh của ACM => DN // AM
 BM MN
 BDN cú: => I là trung điểm của BD
 AM / /DN A
Chứng minh tương tự => K là trung điểm của EC
Kộo dài IK cắt AB và AC lần lượt tại G và H
Khi đú BED cú GI đi qua trung điểm I của BD và // ED 
Nờn GE=GB CED cú KH đi qua trung điểm K của EC và // ED 
Nờn HD=HC
 1 1 1 1 E D
Khi đú ta cú: GI ED a, KH ED a
 2 4 2 4
 1 3a 3a
Cũn 2GH a a GH G H
 2 2 4 I K
 3a 1 1 a
Nờn IK= GH - GI- HK= a a 
 4 4 4 4
 a B M N C
Vậy IK 
 4
Bài 16: Cho hỡnh thang ABCD cú àA Bà 1v, BC 2AB 2AD , Gọi M là 1 điểm nằm trờn đỏy nhỏ AD, 
kẻ Mx vuụng gúc với BM và Mx cắt CD tại N
CMR: MB = MN
HD: 
Kẻ DK //AB, chứng minh BDC vuụng tại D A M D
 1
 ã 0 0 0 2
=> ADC 90 45 135 , 2 1
Gọi H là trung điểm của BN, N
Chứng minh MH  BN vỡ BMN vuụng
 1 1
MH BN, DH BN MH DH
 2 2
 1 2 H
Hã MD Hã DM mà Hã DM ãABH Dã MN Mã BH (1) 3
Và Hã MD Hã MN Dã MN (2) B K C
Từ (1) và (2) => Mã BH Hã MN
Mà: Mã BH Mã NH 900 Hã MN Mã NH 900
Bài 17: Cho tam giỏc ABC nhọn, trực tõm H, M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc 
với HM, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F
 a. Trờn Tia đối tia HC, lấy điểm D sao cho HD=HC, CMR E là trực tõm của tam giỏc DBH
 b. CMR: HE=HF
HD: A
a, Ta cú MH là đường trung bỡnh BCD D
 => MH// BD, 
Mà EF // MH => EF  BD K
Ta lại cú: BA  DH => BDH cú E là trực tõm F
b, Gọi G là giao điểm của DE và BH H
=> K là giao điểm BH và AC
=> DHG = CHK ( cạnh huyền - gúc nhọn) => HG =HK E
=> HGE = HKF ( c. g. c) => HE= HF G
 B M C
 7 Bài 18: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của BD và AC, Vẽ đường 
thẳng đi qua E và vuụng gúc với AD và đường thẳng qua F vuụng gúc với BC, cắt nhau tại I, CMR: 
IC=ID
HD: 
Gọi N là trung điểm của DC
 => FN là đường trung bỡnh của ADC A B
 FN / / AD
=> PE  FN EI  FN
 PE  AD K
Chứng minh tương tự: P
 E F
FQ  EN FI  EN => I là trực tõm
=> IN  EF, mà EF // DC => IN  DC I
 IDC cú IN vừa trung tuyến vừa đường cao 
=> IDC cõn => ID=IC
 D N C
Bài 19: Cho hỡnh thang ABCD, (AB<CD), Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BD, AC, đường 
thẳng vuụng gúc với MN tại N và đường thẳng vuụng gúc với MP tại P cắt nhau tại E, CMR: EC = ED
HD:
Gọi Q là trung điểm của CD
 1 A M B
MN là đường trung bỡnh => MN AD, MN / / AD
 2
 1
PQ là đường trung bỡnh => PQ AD, PQ / / AD
 2 N P
 E
 D Q C
Bài 20: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự nằm trờn đường thẳng d, ( AB > BC), Trờn cựng 1 nửa mặt phẳng 
bờ là đường thẳng d, vẽ cỏc ADB, BEC đều, Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự là Trung điểm của cỏc đoạn 
thẳng BD, AE, BE, CD, DE
a, CMR: 3 điểm I, M, N thẳng hàng b, CMR: 3 điểm I, Q, P thẳng hàng
 1
c, CMR: MNPQ là thỡnh thang cõn d, NQ DE
 2 D
HD: 
a, Dễ thấy AD // BE
IN là đường trung bỡnh ADE => IN // AD I
IM là đường trung bỡnh DBE => IM // BE // AD
=> 3 điểm I, M, N thẳng hàng
 Q E
b, Chứng minh tương tự M
c, Trong AEB cú NP là đường trung bỡnh => NP // (d)
 1 1
Tương tự MQ // (d) => MQ // NP N 2
 2 P
 ả à
 N1 A1
 à à 0 1 1
=> N A 60 , 2
 Nả ảA 2
 2 2 A B C
 ả à
 D1 B1 0 0 0 0
Chứng minh tương tự ta cú: Qã PN 180 60 60 60
 à ả
 P2 B2
d, Vỡ MNPQ thang cõn => NQ = MP, Mà MP là đường trung bỡnh BED nờn:
 1 1
MP DE NQ MP DE
 2 2
 8 Bài 21: Cho ABC đều, Trờn tia đối của tian AB, lấy D, trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho 
AD=AE, Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là cỏc trung điểm của BE, AD, AC, AB, CMR:
a, Tứ giỏc BCDE là hỡnh thang cõn b, Tứ giỏc CNEQ là hỡnh thang
c, MNP là tam giỏc đều
HD: E D
a, AED đều => Dà 600 Bà ED / /BC
Lại cú 2 đường chộo bằng nhau => là hỡnh thang cõn N
b, ABC đều => CQ  AD
 AED đều => EN  AD => CQ // En => là hỡnh thang A
 1
c, Ta cú: NP là đường trung bỡnh => NP DC
 2 1
Xột BEP cú Pà 900 , MP là đường trung tuyến M
 1 1
=> MP BE DC Q P
 2 2
Xột ENB cú Nà 900 và MN là đường trung tuyờn 
 1 1
=> MN BE DC
 2 2
Vậy NMP cú 3 cạnh bằng nhau nờn là tam giỏc đều
 B C
Bài 22: Cho tứ giỏc ABCD, Gọi P, Q theo thứu tự là trung điểm của AD và BC
 AB CD
a, CMR: PQ 
 2
 AB CD
b, Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang khi và chỉ khi PQ 
 2
 B
HD: 
 AB CD
b, Ta chứng minh ABCD là hỡnh thang => PQ 
 2
Thật vậy : ADC cú pR là đường trung bỡnh A
 1 Q
 => PR DC (1)
 2 P
RQ là đường trung bỡnh ABC R
 1
 => RQ AB (2)
 2 D C
 AB CD
Cộng theo vế (1) và (2) ta được : PQ RQ 
 2
 AB CD
Ngược lại : PQ PQ PR RQ => 3 điểm P, Q, R thẳng hàng,
 2
Mà : PQ // DC và RQ // AB => AB // CD => ABCD là hỡnh thang
 0
Bài 23: Cho tứ giỏc ABCD, cú : àA Cà 180 , AB BC AD M
CMR : ABCD là hỡnh thang cõn B
 1
HD: A
Vẽ BM  AB, BN  CD
=> ABM = CBN ( cạnh huyền- gúc nhọn)
=> BM =BN
=> BD là tia phõn giỏc gúc Dà
 àA Dà
 1 à à
Mà ABD cõn => AB// DC=> => D C N C
 à à D
 A1 C
Vậy ABCD là hỡnh thang cõn 
 9 Bài 2: ĐỐI XỨNG TRỤC, DỐI XỨNG TÂM
 A. Lí THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Hai điểm A và A’ được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu d là đường trung trực 
 của đoạn thẳng AA’. (H1)
 - Hai điểm A và A’ được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, nếu O là trung điểm của AA’.(H2)
 A'
 ( d )
 A O A'
 H2
 H1 A
2. Tớnh chất:
 -. Mọi điểm nằm trờn đường thẳng (d) đều cỏch đều hai đầu mỳt A và A’.
3. Quy ước:
 -. Điểm nằm trờn trục đối xứng (d) thỡ điểm đối xứng với nú qua (d) là chớnh nú.
 - Điểm đối xứng với điểm O qua tõm O chớnh là điểm O.
 B. LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho ABC cú àA 600 , cỏc đường phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I, qua E kẻ đường thẳng 
vuụng gúc với BD cắt BC ở F, CMR:
 ã
a, E và F đối xứng nhau qua BD b, IF là phõn giỏc BIC A
c, D và F đối xứng nhau qua IC
HD: 60
a, EBF cõn tại B, BD là tia phõn giỏc gúc Bà , 
nờn BD là đường trung trực EF, vậy E, F đối xứng với nhau qua BD D
 E
b, Tớnh Bã IC 1200 nờn Ià 600 , Ià 600 , Ià 600 ,
 1 2 3 I
 ã 1 4
vậy IF là tia phõn giỏc BIC 2 3
c, IDC = IFC (g.c.g) => IF =ID, CF= CD
Do đú: CI là đường trung trực của DF
Vậy D, F đối xứng với nhau qua CI B F C
Bài 2: Cho ABC nhọn, trong đú àA 600 , Lấy D là điểm bất kỡ trờn BC, gọi E, F lần lượt là điểm đối 
xứng của D qua cạnh AB, AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại M, N
a, CMR: AE=AF và Tớnh Eã AF b, CMR: AD là tia phõn giỏc DMN
HD: 
 A
a, Ta cú: D và E đối xứng với nhau qua AB
nờn AB là đường trung trực của ED=> AE=AD
 F
Tương tự AD= AF
 N
 Eã AD 2.Mã AD
khi đú AE=AF, Ta cú: M
 Dã AF 2.Dã AM
=> Eã AF 2 Mã AD Dã AM 2.àA 1200 E
 C
b, Do đối xứng nờn ta cú: B D
 10