Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chuyên đề 5: Chia hết

 CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT
 A. LÝ THUYẾT.
 1. Định nghĩa:
 2. Tính chất:
 - Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n
 - Nếu tích a.b chia hết cho c, trong đó (b; c) = 1 thì a chia hết cho c
 - Với p là số nguyên tố. Nếu a.b chia hết cho p thì hoặc a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
 - Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 luôn nhận được hai số dư bằng nhau
 - Trong n n 1 số nguyên liên tiếp, luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n
 - Nếu a;b d thì tồn tại hai số nguyên x, y sao cho: ax by d 
 - Ta có: an bn a b an 1 .... bn 1 an bn  a b 
 - Ta có: an bn a b an 1 .... bn 1 an bn  a b với n là số tự nhiên lẻ
 B. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP
Phương pháp :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n3 5n6. 
HD:
 Ta có: n3 5n n3 n 6n , như vậy ta cần chứng minh n3 n6 n n 1 n 1 6 . 
 Do n n 1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3
Bài 2: Chứng minh rằng : n3 11n6,n Z 
HD :
 Ta có: n3 11n n3 n 12n n n2 1 12n n n 1 n 1 12n 
 Vì n n 1 n 1 là ba số nguyên liên tiếp n n 1 n 1 6 và 12n6 n3 11n6 
Bài 3: Chứng minh rằng: A n n 1 2n 1 6,n N 
HD:
 Ta có: A n n 1 n 1 n 2 n 1 n n 1 n n 1 n 2 6 
Bài 4: Chứng minh rằng: m3 3m2 m 348,m lẻ 
HD:
 Vì m là số lẻ, Đặt m 2k 1, k N 
 Khi đó ta có : A m3 3m2 m 3 m 3 m2 1 m 1 m 1 m 3 
 Thay m 2k 1 vào A ta được : A 8 k 2 k 1 k 
 Vì k k 1 k 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A48 
Bài 5: Chứng minh rằng: n4 4n3 4n2 16n384,n chẵn 
HD:
 Vì n chẵn, Đặt n 2k, k N , Khi đó ta có:
 A n4 4n3 4n2 16n n n 4 n2 4 , Thay n 2k vào A ta được:
 1 A 16 k 2 k 1 k k 1 , Vì k 2 k 1 k k 1 là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
 Nên chia hết cho cả 3 và 8 
Bài 6: Chứng minh rằng: B n5 5n3 4n120, n N 
HD:
 Ta có: B n n4 5n2 4 n n2 1 n2 4 n n 1 n 1 n 2 n 2 120 
Bài 7: Cho n là số nguyên, Chứng minh A n4 14n3 71n2 154n 12024 
HD:
 Ta cần chứng minh A3 và A8 , ta có :
 A n4 14n3 71n2 154n 120 n3 n 2 12n2 n 2 47n n 2 60 n 2 
 2 
 A n 2 n n 3 9n n 3 20 n 3 n 2 n 3 n n 3 5 n 4 
 A n 2 n 3 n 4 n 5 , Vì A là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp => A3 
 Ngoài ra trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có hai số chẵn liên tiếp, một số 2 và 1 số  4
 Vậy A 8
Bài 8: Chứng minh rằng: n4 6n3 11n2 6n24 
HD:
 Ta có: 
 A n4 6n3 11n2 6n n n 1 n 2 n 3 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A3 
 Và A cũng là tích của 4 số nguyên liên tiếp, nên có 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và 1 số chia 
 hết cho 4, Nên A8 
Bài 2: CMR: n4 2n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi n Z
HD :
 4 3 2 2
 Ta có: n 2n n 2n n n n 2 n 2 n n 1 n 1 n 2 
 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên chia hết cho 8 
 và chia hết cho 3
 a a2 a3
Bài 9: Chứng minh rằng: là một số nguyên với mọi a nguyên
 3 2 6
HD:
 a a2 a3 a a 1 a 2 
 Ta có: . Vì a a 1 a 2 là tích của 3 số nguyên liên tiếp => 6 
 3 2 6 6
Bài 10: Chứng minh rằng: n5 n30,n 
HD:
 Ta có: A n5 n n 1 n n 1 n2 1 , là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 
 và 3
 Mặt khác:
 A n5 n n 1 n n 1 n2 4 5 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 
 Thấy n 2 n 1 n n 1 n 2 là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên A5 
Bài 11: Chứng minh rằng: n3 1964n48,n chẵn 
HD:
 Vì n là số chẵn, Đặt n 2k, k N Khi đó ta có : n3 1964n 8 k 1 k k 1 3888k 
 Vì k 1 k k 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Bài 12: Chứng minh rằng: n4 7 7 2n3 64,n lẻ 
HD:
 2 2
 Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó ta có: A n4 7 7 2n2 n2 7 , 
 2
 Thay n 2k 1 vào ta được: A 16 k 2 k 2 , Vì k 2 k 2 k k 1 22 
 2
 k 2 k 2 4 A64 
Bài 13: Chứng minh rằng: n4 6n2 764,n lẻ 
HD:
 Vì n lẻ, Đặt: n 2k 1, k N , Khi đó: A n4 6n2 7 n2 1 n2 7 ,
 Thay n 2k 1 vào ta được: A 16k k 1 k 2 k 2 
Bài 14: Chứng minh rằng: A n2 4n 38,n lẻ.
HD:
 Ta có: A n 1 n 3 , Vì n là số lẻ, Đặt n 2k 1, k N A 2k 2 2k 4 8 
Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9
HD:
 Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n 1;n;n 1, n Z 
 3 3
 Gọi A n 1 n3 n 1 3n3 3n 18n 9n2 9 3 n 1 n n 1 9 n2 1 18n 
 Thấy: n 1 n n 1 3 3 n 1 n n 1 9 Vậy A9 
Bài 16: Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : a3 b3 c3 6 khi và chỉ khi a b c6 
HD :
 Xét A a3 b3 c3 a b c a3 a b3 b c3 c 
 Mà a3 a a a 1 a 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a a 1 a 1 6 
 Như vậy A6 => a3 b3 c3 6 a b c6 
Bài 17: Chứng minh rằng: n12 n8 n4 1512,n lẻ 
HD:
 Vì n lẻ, Đặt n 2k 1, k N , Khi đó: 
 2
 A n12 n8 n4 1 n4 1 n8 1 n2 1 n2 1 n4 1 
 2 2
 2 4
 Thay n 2k 1 vào A ta được: A 64 k k 1 2k 2k 1 n 1 
Bài 18: Tìm số tự nhiên n sao cho: n 5 n 6 6n 
HD:
 Ta có: A n 5 n 6 n2 11n 30 12n n2 n 30 
 2 
 2 n n6 n n 1 3 (1)
 Vì 12n6n cần chứng minh n n 306n 
 306n 30n (2)
 Từ (1) n 3k hoặc n 3k 1, k N 
 Từ (2) n 1;2;3;5;6;10;15;30 n 1;3;10;30 là thỏa mãn.
Bài 20: Chứng minh rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
HD:
 Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n,n 1,n 2,...,n 1989 (1)
 Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n,n 1,n 2,...,n 999 phải có 1 số chia hết cho 1000, 
 giả sử là n0 , Khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0
 3 Giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0 ,n0 9,n0 19,...,n0 899 
 Có tổng các chữ số lần lượt là: s,s 1,s 2,...,s 26 , sẽ có 1 số chia hết cho 27.
Bài 3: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab a b 1 chia hết cho 48
ta có: ab a b 1 a 1 b 1 , 
HD :
 Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên:
 a 2n 1 2 ;b 2n 3 2 với n Z
 Nên ab a b 1 (a 1)(b 1) 2n 1 2 1 2n 3 2 1 16n n 1 2 n 2
 Nên chia hết cho 16 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 48
 4 Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : A n 2n 7 7n 7 6. 
HD :
 Ta có : n hoặc 7n 7 là số chẵn với mọi số tự nhiên n nên A2 
 Lấy n chia cho 3 ta được : n 3k r k N,0 r 2 
 Với r 0 n 3k A3 
 Với r 1 n 3k 1 2n 7 6k 93 A3 
 Với r 2 n 3k 2 7n 1 21k 153 A3 
Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3, Chứng minh rằng : A 4a2 3a 56 
HD :
 Vì a không chia hết cho 2 và 3 nên a có dạng : a 6m 1, m Z 
 2
 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m2 11m 2 6 
 2
 Với a 6m 1 A 4 6m 1 3 6m 1 5 6 24m2 5m 1 6 
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n2 9n 211 
HD:
 Ta có: n2 9n 211 n2 2n 211 4 n2 2n 2 11 4n2 8n 111 
 2n 1 2n 3 11 , 
 Khi đó: 2n 111 hoặc 2n 311 n 11m 6 hoặc n 11m 7, m N 
Bài 4: Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n sao cho 4n2 15 và chia hết cho 13
HD:
 Đặt n 65k r, k N,0 r 64 
 Chọn r sao cho 4r2 1 65 r 4 , Vậy với mọi số n 65k 4 đều thỏa mãn. 
Bài 5: Chứng minh rằng nếu n 3 thì A 32n 3n 113,n N 
HD:
 Vì n 3 n 3k r, k N,1 r 2 
 Khi đó: A 32 3k r 33k r 1 32r 36k 1 3r 33k 1 32r 3r 1 
 2k
 Thấy: 36k 1 33 1 33 1 .M 26M13 và 33k 1 33 1 .N 26N13 
 Với r 1 32r 3r 1 32 3 113 A13 
 Với r 2 32r 3n 1 34 32 1 9113 A13 
Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n 17 
HD:
 Lấy n chia cho 3 ta có: n 3k r, k N,0 r 2 
 Với r 0 n 3k 2n 1 23k 1 8k 1 8 1 .M 7M7 
 Với r 1 n 3k 1 2n 1 28k 1 1 2.23k 1 2 23k 1 1 , 
 Mà 2 k 17 2n 1 chia 7 dư 1
 Với r 2 n 3k 2 2n 1 23k 2 1 4 23k 1 3 
 Mà 23k 17 2n 1 chia 7 dư 3 
 Vậy với n 3k, k N thì 2n 17 
 5 Bài 7: Chứng minh rằng: A n n2 1 n2 4 5, n Z 
HD:
 Lấy n chia cho 5 ta được: n 5q r, q,r Z,0 r 4 
 Với r 0 n5 A5 
 Với r 1,4 n2 45 A5 
 Với r 2,3 n2 15 A5 
 5 5 5
Bài 8: Cho A a1 a2 ... an và B a1 a2 ... an , Chứng minh rằng: A B30 
HD:
 5 5
 Ta có: B A a1 a1 ... an an 
 5 4 2
 Xét a1 a1 a1 a1 1 a1 a1 1 a1 1 a1 1 30 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu n;6 1 thì n2 124,n Z 
HD:
 Vì n;6 1 n 6k r, k,r N,r 1 
 Với r 1 n2 124 
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 22n 2n 17 
HD:
 Xét n 3k r, k,r N,0 r 2 
 Ta có: 22n 2n 1 22r 26k 1 2r 23k 1 22n 2n 1 
 Xét các TH cụ thể ta được: 22n 2n 17 
Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4 1 n2 , Chứng minh rằng: mn5 
HD:
 Ta có: 24m4 1 n2 25m4 m4 1 25m4 m 1 m 1 m2 1 
 Nếu m5 mn5 ĐPCM
 Nếu m 5 m;5 1 => m5 m m m4 1 m m 1 m 1 m2 1 
 m m 1 m 1 m2 4 5 m 2 m 1 m m 1 m 2 5m m 1 m 1 5 
 Nên m4 15 n2 5 n5 mn5 , ĐPCM.
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : x3 8x2 2xx2 1 
HD :
 Ta có : x3 8x2 2x x x2 1 8 x2 1 x 8x2 1 x 8x2 1 
 Nếu x 8 0 x 8 thỏa mãn 
 Nếu x 8 x 8 x2 1 x 0 1; 2 x 0;2 
Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a2 15ab b2 49 3a b7 
HD:
 2
 Ta có: 5a2 15ab b2 49 5a2 15ab b2 7 9a2 6ab b2 7 3a b 7 3a b7 
 Mặt khác: 3a b7 3a b 7k k Z b 7k 3a 5a2 15ab b2 
 2
 5a2 15a 7k 3a 7k 3a 49 3ak a2 49 
 6 Bài 15: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho a2 b2 chia hết cho tích a.b 
 a2 b2
 Tính giá trị của biểu thức: A 
 ab
HD:
 a da1 2 2 2 2
 Gọi d a;b , a1;b1 1 , ta có: a b d a1 b1 và ab d a1b1 
 b db1
 2 2 2 2 2 2 2 2
 Vì a b ab a1 b1 a1b1 a1 b1 a1 và b1 a1 b1 và b1 a1 
 Vì a1;b1 1 a1b1 và b1a1 a1 b1 1 
 d 2 a2 b2 2 2
 1 1 2.d a1
 Vậy A 2 2 2 2 
 d a1b1 d a1
Bài 16: Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm ước số chung lớn nhất của hai số A m n 
 và B m2 n2 
HD :
 Gọi d UCLN A;B , Vì m;n 1 A,B cùng tính chẵn lẻ. khi đó :
 2mn A2 Bd và 2mn 2n2 2nAd 2n2 d (1) 
 Nếu A, B chẵn thì m, n lẻ và d chẵn, Từ (1) => 2d d 2 
 Nếu A, B lẻ thì d lẻ, Từ 1 n2 d , tương tự : m2 d 
 Vì m;n 1 d 1 
Bài 17: Cho số tự nhiên n 3 , Chứng minh rằng: nếu 2n 10a b, 0 b 10 thì ab6 
HD:
 Ta có: 2n 10a b b2 ab2 , ta cần chứng minh ab3 
 Mặt khác : 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b 
 Đặt n 4k r, k,r N,0 r 3 2n 16k.2r 
 Nếu r 0 2n 16k có tận cùng là 6 b 6 ab6 
 Nếu 1 r 3 2n 2x 2r 16k 1 10 2n tận cùng là 2r b 2r
 10a 2n 2x 2r 16k 1 3 a3 ab6 
Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: S 15 25 35 ... n5  1 2 3 ... n 
HD:
 Đặt: 2A 2 1 2 3 ... n n n 1 
 Mặt khác, với n lẻ ta có: an bn a b,(a,b N *) 
 5
 Nên 2S 15 n5 25 n 1 n5 1 n 1 
 5 5 5
 2S 15 n 1 25 n 2 ... n 1 1 2n5 n 
 Mà n;n 1 1 2Sn n 1 2A S A 
 p 1 1 1
Bài 19: Cho 1 .... , p,q Z . Chứng minh rằng p1979 
 q 2 3 1319
HD:
 p 1 1 1 1 1 
 Ta có: 1 ... 2 ... 
 q 2 1319 2 4 1318 
 7 1 1 1 1 1 1 1
 1 ... 1 ... ... 
 2 1319 2 3 659 660 1319
 2.p 1 1 1 1 1 1 1979.A 2p.B
 ... q 
 q 660 1319 661 1318 1319 660 B 1979.A
 Mà B 1979 p1979 
 *
Bài 20: Cho a1,a2 ,a3,...an 1; 1, n N , thỏa mãn: a1a2 a2a3 a3a4 .... ana1 0 ,
 Chứng minh rằng: n4 
HD:
 Đặt x1 a1a2 , x2 a2a3,..., xn ana1 x1, x2 , x3 1; 1 , Hơn nữa x1 x2 ... xn 0 
 Thì trong đó các số bằng 1 và -1 là bằng nhau. Giả sử có m số 1 và m số -1 (m N *) 
 m 2
 n 2m và x1x2 x3...xn 1 và x1x2 x3...xn a1a2...an 1 
 Từ đó ta được m là số chẵn => n chia hết cho 4. 
 7
Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b sao cho: ab a b  7 và a b a7 b7 77 
HD:
 7 2
 Ta có: a b a7 b7 7ab a b a2 ab b2 
 Vì ab a b  7 a2 ab b2 73 
 Chọn b 1 a2 a 1 73 a 
 8 Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Bài 1: Chứng minh rằng : S n2 3n 38 49,n N 
HD:
 Giả sử tồn tại số tự nhiên n để S n2 3n 3849 
 Khi đó: S n2 3n 38 7 n 6 n2 4n 4 , 
 2
 Mà S49 S7 n 2 7 n 27 n 7t 2 , thay vào S ta được:
 S 49 t 2 t 28 S  49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n 
Bài 2: Chứng minh: n2 n 215,n Z 
HD:
 Giả sử: n2 n 215 n2 n 23 n n 1 23 (1)
 n 3k 1
 Từ (1) n 3 ,k Z 
 n 3k 1
 n2 1 n 1 n 1 3 
 Lại có: n2 n 2 n2 1 n 3 3 mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2 n 215 
Bài 3: Chứng minh rằng: n2 3n 5121,n N 
HD: 
 Giả sử: 
 2
 n2 3n 5121 n2 3n 511 4n2 12n 2011 4n2 12n 9 1111 2n 3 1111
 Nhưng A n2 3n 511 nhưng A121 vì 11 121 
 n2 4
Bài 4: Xét phân số A Hỏi có bao nhiêu phân số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2002 sao cho 
 n 5
 phân số A chưa tối giản.
HD:
 Giả sử A chưa tối giản. Đặt d n2 4;n 5 d 1 
 2
 Ta có: n 5 n2 4 d 10n 21d 10 n 5 29d 29d d 29 . Ngược lại: 
 Nếu n 529 n 5 29k, k N * n2 4 29 29m2 5k 1 29 A chứ tối giản
 Do đó, ta chỉ cần tìm n sao cho n 5 29k, k N * 1 n 2002 1 m 69 
 Vậy có tất cả 69 giá trị của m thì n sẽ có 69 giá trị để A chưa tối giản.
Bài 5: Chứng minh rằng: 9n3 9n2 3n 16 343,n N 
HD:
Bài 6: Có tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 n 249 không 
HD:
 Giả sử tông tại số tự nhiên n để 
 2 2
 n2 n 249 4n2 4n 849 2n 1 749 2n 1 7 
 2
 Vì 7 là số nguyên tố 2n 17 2n 1 749 từ đó 749 ( vô lý) 
Bài 7: Chứng minh rằng: n2 n 19,n N * 
HD:
 Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 n 19 n 2 n 1 39 
 9 Vì 3 là số nguyên tố nên n 2 3 hoặc n 1 3 
 Nếu n 2 3 n 2 n 1 33 nhưng không chia hết cho 9
 Nếu n 1 3 n 2 n 1 3 nhưng không chia hết cho 9
Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2 4n 18289,n N 
HD:
 2
 Giả sử tồn tại số tự nhiên n để 4n2 4n 18289 2n 1 17172 2n 1 17 
 2 2
 Vì 17 là số nguyên tố nên 2n 1 17 2n 1 289 Khi đó: 2n 1 17 289 
Bài 9: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a;b sao cho: a b2  a2b 1 
HD:
 Gỉả sử a b2 a2b 1 k N * : a b2 k a2b 1 a k b ka2 b 
 Đặt m ka2 b, m Z a k mb , Do a,b,k N * m N * , khi đó ta có:
 m 1 b 1 mb m b 1 a k ka2 1 a 1 k ka 1 , 
 Vì m,b N * m 1 b 1 0 1 k a 1 , Do k,a N * a 1 0 ta có :
 TH1 : k a 1 0 a 1 thay vào đẳng thức ta được : m 1 b 1 a 1 k ka 1 
 m 1 1 m 2
 Ta được: m 1 b 1 2 
 b 1 2 b 3
 TH2: k a 1 1 k a 1 1 k 1 và a 2 , Thay k 1,a 2 vào đẳng thức ta được:
 m 1 b 1 a 1 k ka 1 ta được: m 1 b 1 0 m b 1 
 Nếu m 1 thì từ a k mb b 3 
 Vậy các cặp số a;b 1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3 
 10