Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chuyên đề 9: Phương trình nghiệm nguyên

 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
 Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a a 1 k 2
Phương pháp: 
 “ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 x y2 0
HD: 
 2 x 0
 x x 1 y => 
 x 1 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 3xy x2 y2
HD: 
 x y 2 x2 y2 xy xy xy 1 
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x 2y 1
HD: 
 x2 x y2 2y 1 y 1 2 x x 1 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy y2 x2 y2
HD: 
 2 xy 0
 x y x2 y2 xy xy xy 1 
 xy 1 0
 1 Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN
 1 10
Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: x (*)
 1 7
 y 
 z
HD:
 10 1 7 7 
 Từ(*) ta thấy : x thay vào (*) ta được : y y 2 z 3 
 7 z 3 3 
Bài 2: Tìm x, y,z,t N * thỏa mãn: 31 xyzt xy xt zt 1 40 yzt y t (*)
HD:
 xyzt xy xt zt 1 40 zt 1 40
 Từ (*) x (1)
 yzt y t 31 yzt y t 31
 40 yzt y t 31 t 31
 Từ (1) x 1 , Thay x 1 vào (1) ta suy ra : y (2)
 31 zt 1 9 zt 1 9
 31 zt 1 9 1 9
 Từ (2) y 3 thay y 3 vào (2) ta được : z (3)
 9 t 4 t 4
 Từ (3) z 2,t 4 
 2 Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp:
 Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8y2 8xy 4y 8 0
HD: 
 2x 2y 2 2y 1 2 9 02 32
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x y 8
HD: 
 Nhân với 4 ta được: 4x2 4x 1 4y2 4y 1 34
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy 5y2 169
HD: 
 x 2y 2 y2 169
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 5y2 2y 4xy 3 0
HD: 
 x 2y 2 y 1 2 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x2 13y2 6xy 100
HD: 
 x 3y 2 4y2 100
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x6 y2 2x3 y 64
HD: 
 t 2 t y 2 64 nếu đặt x3 t
 1 1
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 4
 x y
HD: 
 2 2
 1 1 
 x y 4
 x y 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 1 x2 y2 4x2 y
HD: 
 2
 x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y x2 y x2 y 1 2 0
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0
HD :
 x2 2xy y2 6x 2y x2 5 0 => x y 2 2 x y 4x x2 5 0
 => x y 1 2 x 2 2 0
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4y2 2x 4y 2 0
HD: 
 x2 2x 1 4y2 4y 1 0
 3 Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 2y2 2z2 4xy 4xz 2yz 6y 10z 34 0
HD: 
 2x 2 4x y z y2 2yz z2 y2 6y z2 10z 34 0
 => 2x x y 2 y2 6y 9 z2 10z 25 0
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x y 8
HD: 
 2 1 2 1 17 2 2
 x x y y 2x 1 2y 1 34
 4 4 2
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: m2 n2 9m 13n 20
HD: 
 Nhân 4 4m2 36m 81 4n2 52n 169 170
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 6xy 13y2 100
HD:
 (x 3y)2 4(25 y2 ) , mà y2 25, y2 là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 4xy 5y2 16 0
HD : 
 Ta có phương trình trở thành : x2 4xy 5y2 16 0
 => x2 4xy 4y2 y2 16 x 2y 2 y2 16 , Vì x,y là số nguyên nên x 2y Z
 => x 2y 2 y2 16 0 16 16 0
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 
HD:
 Vì x, y,z là các số nguyên nên: 
 2 2
 2 2 2 y y 2
 x y z xy 3y 2z 4 x 3 1 z 1 0 
 2 2 
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10x2 20y2 24xy 8x 24y 51 0
HD: 
 Biến đổi: 3x 4y 2 x 4 2 2y 6 2 1 0 khi 3x 4y 0, x 4 0,2y 6 0
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 y2 8x 3y 18
HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: x5 29x 30y 10
HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: y2 x 1 1567 x2
HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: x2 xy 3x 3y 7 0
HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn : x 2 6y2 2xy 2x 32y 46 0 
HD:
 4 Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y2 2xy y 2 0
HD :
 Ta có : x2 2yx 2y2 y 2 0
 Có ' y2 2y2 y 2 y2 y 2 , Để phương trình có nghiệm thì :
 2
 1 9 3 1 3
 ' 0 y y 2 y 1
 2 4 2 2 2
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 3 2y x 2y2 3y 2 0
HD :
 1
 Có ' 1 4y2 , để phương trình có nghiệm thì ' 0 y2 y 0 x 1, x 2
 4
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 y2 4xy 4x 2y 5 0
HD :
 2
 Xét : y x 4 y 0 x 2 x 2 0 x 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 4y2 6x 3y 4 0
HD :
 3x2 6x 4y2 3y 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y 5 x 5y 2 0
HD :
 Theo vi- ét ta có :
 x1 x2 y 5
 x1 5 x2 5 2 1.2 1 . 2 
 x1.x2 5y 2
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y2 3xy x y 3 0
HD :
 Chuyển phương trình thành bậc hai với x
 x2 3y 1 x y2 y 3 0 , có :
 y2 2y 11, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
 => y2 2y 11 k 2 k Z y 5, y 3
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y xy x2 y2
HD :
 Đưa phương trình về dạng :
 x2 y 1 x y2 y 0 , Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
 0 3y2 6y 1 0 3 y 1 2 4 y 1 2 1
 Từ đó ta có : y 0,1,2
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y2 3xy x y 3 0
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x2 3y 1 x 2y2 y 3 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0
 Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y x y2 x y 3
HD :
 2 2 2 
 Đưa phương trình về dạng : y 2y x 3x y x 3x 0
 TH1 : y=0 => ...
 5 TH2 : y 0 2y2 x2 3x y x 3x2 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0 x 1 2 x x 8 phải là 1 số chính phương
 => x x 8 a2 a N x 4 a x 4 a 16 => Tìm x
 Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : 7 x y 3 x2 xy y2 
HD :
 Đưa phương trình về dạng : 3x2 3y 7 x 3y2 7y 0
 Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : 12x2 6xy 3y2 28 x y 
HD :
 Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
 2 2
 2 14 14 196
 9x2 3 x y 28 x y 3 x y 
 3 3 3
 => x2 7 x2 0;1;4
 Cách 2 : Tính 
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 xy y2 2x y
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x2 y 2 x y2 y 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 xy y2 x y
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x2 y 1 x y2 y 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 3xy 3y2 3y
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x2 3yx 3y2 3y 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2xy 5y y 1
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x2 2yx 5y2 y 1 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 7 x y 3 x2 xy y2 
HD :
 Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x: 3x2 3y 7 x 3y2 7y 0 (1)
 Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x y xy x2 y2 
HD:
 x y xy x2 y2 x2 y 1 x y2 y 0 , Coi PT là ẩn x với tham số y
 2
 Ta có : y 1 4 y2 y 3y2 6y 1 , để PT có nghiệm thì 0 3y2 6y 1 0 
 2
 3 y 1 4 Vì y Z y 0;1;2 
 x2 x 1
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : y 
 x2 x 1
HD :
 6 Đưa phương trình trở thành : y 1 x2 y 1 x y 1 0
TH1 : y=1=> x=0
 1
TH2 : y 1 0 y 3 y 0;1;2;3
 x 3
 7 Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp:
 “ Biến đổi PT thành tích của hai biểu thức, vế còn lại là 1 hằng số k
 Ta có thể sử dụng các PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu của hai số chính phương, 
 Sử dụng biệt thức denta là số chính phương ” . 
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 2y2 3xy 3x 3y 15 
HD:
 Biến đổi PT thành PT ẩn x và tham số y: x2 3x y 1 2y2 5y 15 
 Tìm m để PT: x2 3x y 1 2y2 5y m 15 m có là số chính phương (1)
 2
 Ta có: 9 y 1 4 2y2 5y m y2 2y 9 4m 
 2
 Chọn m 2 y 1 , Khi đó (1) trở thành:
 x2 3x y 1 2y2 5y 2 17 x y 2 x 2y 1 17 
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 4x y2 1
HD : 
 x2 4x 4 y2 5 x 2 2 y2 5 x 2 y x 2 y 5
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 2xy 6
HD:
 1 11
 Ta có: x 1 2y y 6 x 1 2y y 
 2 2
 2x 1 2y 2y 1 11 2x 1 2y 1 11
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 xy 3y 11
HD : 
 2 2 2 2
 2 y y y 2x y y 3 
 x 2x. 3y 11 2
 2 4 4 2 2 
 2x y 2 y 3 2 8 2x y y 3 2x y y 3 8
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x xy y 9 
HD:
 Biến đổi phương trình đã cho về dạng: x 1 y 1 10 
 Vì x, y Z x 1 , y 1 Z x 1 1; 2 : 5: 10 , Thay vào tìm được y
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 25 y y 6 
HD :
 x2 y2 6y 25 x2 y2 6y 9 16 => (x y 3)(x y 3) 16 mà 
 x y 3 x y 3 2x là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : x x 1 x 2 x 3 y2
HD : 
 x2 3x x2 3x 2 y2 a 1 y a 1 y 1 với a x2 3x
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 1999
HD: 
 x y x y 1999
 8 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y xy
HD: 
 2 2
 2 y y y y 
 x 2x. 2. .2 4 4 => x 2y 2 x 2 16
 2 4 4 2 
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 6 2xy
HD :
 1 11
 2xy x y 6 x 2y 1 y 
 2 2
 2x 2y 1 2y 1 11 2x 1 2y 1 11
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 2x2 y2
HD: 
 1 1
 2x2 y2 x2 y2 0 x2 2y2 1 y2 
 2 2
 => 2x2 y2 1 2y2 1 1 2x2 1 2y2 1 1
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy 4 x y 
HD :
 xy 4x 4y 0 x y 4 4y 16 16 x y 4 4 y 4 16 x 4 y 4 16
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : x x 1 x 7 x 8 y2
HD:
 x2 8x x2 8x 7 y2 a a 7 y2
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: y2 x x 1 x 7 x 8 
HD:
 Biến đổi phương trình thành: y2 x2 8x x2 8x 7 
 2
 Đặt: z x2 8x y2 z2 7z 4y2 2z 7 49 2z 2y 7 2z 2y 7 49 
 Ta có các TH sau:
 2z 2y 7 1 y 12 2z 2y 7 49 y 12
 TH1: TH2: 
 2z 2y 7 49 z 9 2z 2y 7 1 z 9
 2 x 1
 Cả hai TH trên đều có z 9 x 8x 9 
 x 9
 2z 2y 7 1 y 12 2z 2y 7 49 y 12
 TH3: TH4: 
 2z 2y 7 49 z 16 2z 2y 7 1 z 16
 TH5: 2z 2y 7 2z 2y 7 7 y z 0 
 TH6: 2z 2y 7 2z 2y 7 7 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : x x 8 y2 116
HD: 
 x2 8x 16 y2 110 x 4 2 y2 110 x 4 y x 4 y 110
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy 3x 5y 3
HD: 
 x y 3 5y 15 18 x y 3 5 y 3 18 y 3 x 5 18
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 6x2 y3 3x2 10y3 2
HD: 
 3x2 2y3 1 10y3 5 2 => 3x2 2 y3 1 5 2 y3 1 2 2 y3 1 3x2 5 2
 9 Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x2 y2 3xy 3x 2y 2 0
HD: 
 2 2
 y 3x 2 3x 2 
 y2 2. . 3x 2 2x2 3x 2 0
 2 4 4 
 2 2 2
 3x 2 8x 9x 12x 4 12x 8 2 2
 => y 0 => 2y 3x 2 x 4
 2 4
 4 2
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : 1
 x y
HD: 
 4 y 2x xy y x 4 2x 0 y x 4 2x 8 8 y x 4 2 x 4 8
 1 1 1
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
 x y 3
HD:
 3 x y xy x y 3 3y 0 x y 3 3y 9 9 x y 3 3 y 3 9
Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy x y 2
HD:
 x y 1 y 1 3 x y 1 y 1 3 x 1 y 1 3
Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy y 9
HD:
 x y 1 y 1 10 x 1 y 1 10
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2x 11 y 2
HD :
 x2 2x 1 y2 12 x 1 2 y2 12 x 1 y x 1 y 12
 1 1 1 1
Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
 x y 6xy 6
HD :
 Ta có : 6 x y 1 xy xy 6x 6y 1 x y 6 6y 36 37
 x y 6 6 y 6 37 x 6 y 6 37
Bài 24: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x2 2xy 5x y 19 0
HD :
 Ta có : 2x x y x y 4x 19 0 x y 2x 1 4x 2 17
 x y 2x 1 2 2x 1 17 2x 1 x y 2 17
Bài 25: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2x 11 y 2
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x 1 2 y2 12 x 1 y x 1 y 12
Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy 2x 3y 27
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x 3 y 2 21
Bài 27: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 3 y 38
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x 1 y 3 35
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3xy x y 17
 10