Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8 - Chuyên đề 13: Tứ giác (Có đáp án)

 CHUYấN ĐỀ TỨ GIÁC
 Bài 1: HèNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA HèNH THANG
 A. Lí THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là 
hai đỏy, 
 hai cạnh cũn lại là hai cạnh bờn. (H1)
 - Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú một gúc vuụng. (H2)
 - Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau. (H3)
 - Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của 
tam giỏc. (H4)
 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh 
bờn của hỡnh thang. (H5)
 A B B C A B
 D C A D D C
 H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN
 A A B
 N N
 M M
 B C D C
 H4.ĐƯỜNG TRUNG BèNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH HèNH THANG
2. Tớnh chất:
 - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn ấy bằng 
nhau.
 - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song 
và bằng nhau. - Trong hỡnh thang cõn, hai cạnh bờn bằng nhau.
 - Trong hỡnh thang cõn, hai đường chộo bằng nhau. 
 - Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa 
cạnh ấy.
 1
 Với H4. Ta cú: MN / /BC,MN BC
 2
 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và bằng nửa 
tổng hai đỏy. 
 AB CD 
 Với H5. Ta cú: MN / / AB / /CD và MN 
 2
3. Định lý:
 - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với 
cạnh thứ hai thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chớnh là đường trung bỡnh của 
tam giỏc. 
 - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song 
với hai đỏy thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh bờn cũn lại và đường ấy cũng là đường trung bỡnh của 
hỡnh thang.
4. Dấu hiệu nhận biết :
 - Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn.
 - Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn. 5. Mở rộng: 
 - Trong hỡnh thang cú hai cạnh bờn khụng song song, đoạn thẳng nối trung 
điểm của hai đường 
 chộo thỡ song song với hai đỏy và bằng một nửa hiệu hai đỏy. (H6)
 A B
 M N
 D C
 (H6)
 CD AB
 - Ở H6 ta cú: MN / / AB / /CD và MN 
 2
 B. LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9 cm, Trờn tia AB lấy 
điểm D sao cho:
BD = BA. Trờn tớa AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kộo dài trung tuyến AM của 
tam giỏc ABC, lấy 
MI = MA.
 a. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ADE. A
 b. Chứng minh DI // BC.
 c. Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng. 5 7
HD: C
 B
 M 9
 D I E
Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi 
M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, BE, AC, BD, 
CMR: MNPQ là hỡnh thang E
HD: 
 M N
 A B
 R
 Q P
 D C Dễ dạng chứng minh được MN // AB
Gọi R là trung điểm của AD khi đú ta cú: RQ // AB
RP // DC // AB
Nờn RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB
Vậy MNPQ là hỡnh thang Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Vẽ AH vuụng gúc với BC tại H, Gọi M, N 
lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AH CH, CMR : A
MN vuụng gúc với AB và BM vuụng gúc với AN
HD:
Vỡ MN là đường trung bỡnh
 M
=> MN//AC mà AC  AB
=> MN  AB=> M là trực tõm của ABN
 ABN cú M là trực tõm => BM  AN
 C
 B H N
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nú, trờn cựng 1 nửa mặt phẳng cú 
bờ AB, vẽ hai tia Ax và By vuụng gúc với AB, Một gúc vuụng đỉnh O cắt Ax tại 
C, cắt By tại D
a, AC+BD=CD b, CO là tia phõn giỏc của ãACD
HD
a, Gọi I là trung điểm của CD
AC// BD => OI là trung bỡnh của hỡnh thang ABCD D
 AC BD I
=>OI 
 C
 2 2
=> AC BD 2.OI 1
Lại cú COD vuụng => OI là đường trung tuyến 
=> OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD 1
b, Ta cú OCD vuụng tại O cú OI là đường trung tuyến nờn OIA = IC O B
 ả à
=> IOC cõn tại I =>C2 O1
 à à à ả ã
Mà: O1 C1 Nờn =>C1 C2 Vậy OC là tia phõn giỏc gúc ACD
Bài 5: Cho ABC cú À 800 , AB AC . Trờn cạnh AB lấy D sao cho BD = AC. 
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tớnh gúc Bã EF ?
HD: A
 80 E
 D
 O
 B
 C F Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N 
của cỏc cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : ãAEM Mã FB
HD :
Gọi I là trung điểm của BD E
Ta cú: MI, NI lần lượt là đường trung bỡnh
 AD BC ?
=> MI IN => IMN cõn F
 2 2
 ?
 ả à
=> M E ( đồng vị ) A
 M
và Nà Fà ( so le trong) B
Vậy Eà Fà
 I
 D N C
Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD) tia phõn giỏc gúc C đi qua trung điểm M 
của AD, CMR:
a, Bã MC 900 b, BC = AB + CD
HD:
a, Giả sử MC cắt AB tại E A B
Khi đú CMD EMA g.c.g E 2
=> CM = EM và CD = AE
 à ả à
Xột BEC cú: E C2 C1 => BEC cõn
 2
Mà BM là đường trung tuyến M
=> BM là đường cao 1
Vậy BM  EC
b, Vi BEC cõn nờn EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB 1
 2
 D C
Bài 8: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), cú Cà 600 , DB là phõn giỏc của gúc Dà , 
Biết chu vi của hỡnh thang là 20cm, Tớnh mỗi cạnh của hỡnh thang
HD: 
Đặt BC= a, ta cú ngay:AD = AB = BC = a E
 à 0 ả 0 ã 0
Mà: C 60 D2 30 DBC 90
 ả 0 à 0
Xột BDC cú D2 30 ,C 60 DC 2a
Mà Chu vi hỡnh thang là 20 cm nờn a + a + a + 2a = 20 => a = 4
 A B
 1
 a
 1 1
 2
 D C Bài 9: Cho tam giỏc ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) đi qua 
trung điểm I của AM cắt cỏc cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu 
của A, B, C trờn đường thẳng (d)
 BB ' CC '
CMR: AA ' 
 2
HD: A
Gọi H, K lần lượt là giao của (d) với AB và AC
Lấy N là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng (d)
=> AA’I = MNI ( cạnh huyền- gúc nhọn) C'
 B' M'
=> AA’ = MN d
 I
Hỡnh thang BB’C’C cú MN là đường trung bỡnh nờn: A'
 BB ' CC '
 MN AA' 
 2
 C
 B M
Bài 10: Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao BH, CK. Gọi D và E lần lượt là 
hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng HK, A
CMR: DK = EH.
HD:
Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và DE, 
Xột BHC vuụng tại H cú HM là đường trung tuyến nờn: E
 1 H
 HM BC (1)
 2 M'
 K
 BKC vuụng tại K cú KM là đường trung tuyến nờn:D
 1
 KM BC (2)
 2
Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’
Vậy DM’ = EM’ B M C
Bài 11: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao BD và CE, gọi I và K 
theo thứ tự là hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng ED, CMR: IE=DK
HD: 
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MN  ED
Tứ giỏc BIKC là hỡnh thang => NI= NK (1) A
 K
 D
 N
 E
 I
 B M C 1
 BEC vuụng cú EM = . BC
 2
 1
 BDC vuụng cú DM = . BC => EM =DM
 2
=> EDM cõn cú MN đường cao và là trung tuyến
=> NE = ND (2)
Từ (1) và (2) => IE= DK