Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ - Nguyễn Quang Huy

chuyªn ®Ò nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, ®a thøc víi ®a thøc vµ bÈy h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc:
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n:
	a) 3x(5x2 - 2x - 1);	b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
	c) x2y(2x3 - xy2 - 1);	d) x(1,4x - 3,5y);
	e) xy(x2 - xy + y2);	f)(1 + 2x - x2)5x;
	g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;	h) x2y(15x - 0,9y + 6);
	i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35);	
Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng.
	a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)	víi a = .
	b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)	víi x = 2,1.
	c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2	víi a = -0,2.
	d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)	víi b = 
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau:
	a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
	b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
	c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
	d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bµi 4. §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc:
	a) (3b2)2 - b3(1- 5b);	b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
	c) (-x)3 - x(1 - 2x - x2);	d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
	a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
	b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bµi 6. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0;
	a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
	b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
	a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 + .+ 80x + 15	víi x = 79.
	b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 víi x = 9.
	c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1	víi x = 31.
	d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x 	víi x = 14.
Bµi 8. Chøng minh r»ng :
	a) 356 - 355 chia hÕt cho 34	b) 434 + 435 chia hÕt cho 44.
Bµi 9. Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng:
	a) nÕu 2a + b 13 vµ 5a - 4b 13 th× a - 6b 13;
	b) nÕu 100a + b 7 th× a + 4b 7;
	c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11;
II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc.
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
	a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);	b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
	c) x2y2(2x + y)(2x - y);	d) (x - 1) (2x - 3);
	e) (x - 7)(x - 5);	f) (x - )(x + )(4x - 1);
	g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
	h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
	i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bµi 2.Chøng minh:
	a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;	b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n:
	a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
	b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
	c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
	d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
	e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bµi 4. ViÕt c¸c biÓu thøc sau d­íi d¹ng ®a thøc:
	a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
	b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
	c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
	d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y:
	a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);	b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bµi 6. T×m x, biÕt:
	a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
	b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
	c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
	d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
	e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc:
	a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :
	M = a(a + b)(a + c);
	N = b(b + c)(b + a);
	P = c(c + a)(c + b);
Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ?
	HD: Tr­íc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d­ 0 hoÆc 2. ThËt vËy nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai sè ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia cho 3 d­ 2 ( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d­ 1 nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp.
Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng A 100
	HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - -2.277 + 288)
III) C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. TÝnh
	a) (x + 2y)2;	b) (x - 3y)(x + 3y);	c) (5 - x)2.
	d) (x - 1)2; 	e) (3 - y)2 	f) (x - )2.
Bµi 2. ViÕt c¸c biÓu thøc sau d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét tæng:
	a) x2 + 6x + 9;	b) x2 + x + ;	c) 2xy2 + x2y4 + 1.
Bµi 3. Rót gän biÓu thøc:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bµi 4. øng dômg c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau;
	a) (y - 3)(y + 3);	b) (m + n)(m2 - mn + n2);
	c) (2 - a)(4 + 2a + a2);	d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
	e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3;	f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bµi 5. H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau:
	a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)	b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
	c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b);	d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
	a) x2 - y2 t¹i x = 87 	víi y = 13;
	b) x3 - 3x2 + 3x - 1	Víi x = 101;
	c) x3 + 9x2 + 27x + 27 	víi x = 97;
	d) 25x2 - 30x + 9	víi x = 2;
	e) 4x2 - 28x + 49 	víi x = 4.
Bµi 7. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng:
	a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)	víi x = - 5, y = -3;
	b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)	víi a = -4, b = 4.
Bµi 8. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
	a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
	b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
	c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
	d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
	e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bµi 9. T×m x, biÕt:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;	b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bµi 10.TÝnh nhÈm theo c¸c h»ng ®¼ng thøc c¸c sè sau:
	a) 192; 282; 812; 912;	b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
	c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bµi 11. Chøng mih c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
	a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;	b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
	c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2];	d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
C¸c bµi to¸n n©ng cao
Bµi 12. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
	X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bµi 13. H·y viÕt c¸c biÓu thøc d­íi d¹ng tæng cña ba b×nh ph­ong:
	(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b.
Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.
Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.
Bµi 17. Cho a + b + c = 0	(1)
	a2 + b2 + c2 = 2	(2)
	TÝnh a4 + b4 + c4.
Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chøng minh ®¼ng thøc:
	a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
	b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
	c) a4 + b4 + c4 = ;
Bµi 19. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d­¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn.
a) 9x2 - 6x +2;	b) x2 + x + 1;	c) 2x2 + 2x + 1.
Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
	a) A = x2 - 3x + 5;
	b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
	a) A = 4 - x2 + 2x;
	b) B = 4x - x2;
Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3.
Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b.
	TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b:
	a) x2 + y2;	b) x3 + y3;	c) x4 + y4;	d) x5 + y5;
Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x3 + y3 + 3xy.
	 b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy.
Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
	M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bµi 26. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 28. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
	a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
	b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bµi 30. Chøng minh r»ng:
	a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph­¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng.
	b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph­¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng.
	c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 31. a) Cho a = 11 1(n ch÷ sè 1), b = 100 05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
	b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tr­íc :
	16, 1156, 111556, 
	Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng víi a = 11 12(n ch÷ sè 1), 
b = 11 14(n ch÷ sè 1).
Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8 lµ sè chÝnh ph­¬ng.	
Bµi 34. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph­¬ng:
	a) A = 	b) B = 
Bµi 35. C¸c sè sau lµ b×nh ph­¬ng cña sè nµo ?
	a) A = ;	b) B = ;
	c) C = ;	d) D = .	
chuyªn ®Ò Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
I) Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
*) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
II) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p dung h»ng ®¼ng thøc:
1) Ph­¬ng ph¸p: BiÕn ®æi c¸c ®a thøc thµnh d¹ng tÝch nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bµi tËp:
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 - 9;	b) 4x2 - 25;	
c) x6 - y6	d) 9x2 + 6xy + y2;	
e) 6x - 9 - x2;	f) x2 + 4y2 + 4xy
g) 25a2 + 10a + 1;	h)10ab + 0,25a2 + 100b2
i)9x2 -24xy + 16y2	j) 9x2 - xy + y2 
k)(x + y)2 - (x - y)2	l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
n) x3 + y3 + z3 - 3xyz.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 8;	b) 27x3 -0,001
c) x6 - y3;	d)125x3 - 1
e) x3 -3x2 + 3x -1;	f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
b) M = 	
Bµi 4	 TÝnh nhanh:	
a) 252 - 152;	b) 872 + 732 - 272 - 132
c) 732 -272;	d) 372 - 132
e) 20092 - 92
Bµi 5	 T×m x, biÕt
a) x3 - 0,25x = 0;	b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0;	d) x2 - 2x = -1
e) x3 + 3x2 = -3x - 1
Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 2x8 - 12x4 + 18;	b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
c) -2a6 - 8a3b - 8b2;	d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bµi 7	Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m
a) x2 - 2xy + y2 + a2;
b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bµi 8	Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷:
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bµi 9	Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n: T×m c¸ch t¸ch ®a thøc ®· cho thµnh nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp sao cho khi ph©n tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1	Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 - xy + x - y;	b) xz + yz - 5(x + y)	c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.
d) x2 + 4x - y2 + 4;	e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;	
f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2;
g) x2 - x - y2 - y;	h) x2 - 2xy + y2 - z2;	i) 5x - 5y + ax - ay;
j) a3 - a2x - ax + xy; 	k) 7a2 -7ax - 9a + 9x;	l) xa - xb + 3a - 3b;
Bµi 2	Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;	b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy;	d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bµi 3	Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;	b) a4 + ab3 - a3b - b4;
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; 	c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
Bµi 4	Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;	b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;
c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b;	d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.
Bµi 5	Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3;	b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;
c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ;	d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.
Bµi 6	T×m x, biÕt:
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;	b) x3 - x2 - x + 1 = 0;
c) x2 - 6x + 8 = 0;	d) 9x2 + 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0;	f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bµi 7 	TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau;
a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5
Bµi 8.	TÝnh nhanh :
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
	P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bµi 10. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2;	b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.
IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
- §Æt nh©n tö chung.
- Dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3 - 2x2 + x;	b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;	c) 2xy - x2 - y2 + 16;
d) a4 + a3 + a3b + a2b	e) a3 + 3a2 + 4a + 12;	f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz;	h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab;
i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1;	j) a3 + 6a2 + 12a + 8;
k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.
Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);	b) (x + y)3 - x3 - y3;
c) (x - y + 4)2 - (2x + 3y - 1)2;	d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);	
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2;	h) x5 - 5x3 + 4x;
i) x3 - 11x2 + 30x;	j) 4x4 - 21x2y2 + y4;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10;	l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24;	m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;
o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6.
Bµi 2: T×m x, biÕt.
a) 5x(x - 1) = x - 1;	b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;	c) x3 - x = 0;
d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0	e) x2(x - 3) +12 - 4x =0.
Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) x2 + x + t¹i x = 49,75;	b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y = 6.
To¸n khã më réng:
Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng?
	b) BiÕn ®æi thµnh tÝch c¸c biÓu thøc:
	A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + + (a + 1)2 + a + 2].
Bµi 5. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1	Víi x2 + y2 = 1
2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2	víi x2 + y2 = a, xy = b
3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0	víi ab = a + b.
4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 	víi a + b + c = 2p.
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
	a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - - 22 - 2 - 1.
	b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 + - 12x2 + 12x - 1 	víi x = 11.
Bµi 7. Rót gän:
a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).
b) Më réng: 	B = 
Bµi 8. Chøng minh:
	a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0
Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)	víi a + b + c = 0.
Bµi 10. Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, , an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng 
	A = a13 + a23 + a33 + + an3 còng chia hÕt cho 3
V) Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1) Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c.
 1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c.
- B­íc 1: T×m tÝch ac.
- B­íc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
- B­íc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b.
C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
	a) 4x2 - 4x - 3;	b) x2 - 4x + 3;	c) x2 + 5x + 4;
	d) x2 - x - 6;	e) x2 + 8x + 7;	f) x2 - 13 x + 36;
	g) x2 +3x - 18;	h) x2 - 5x - 24;	i) 3x2 - 16x + 5;
	j) 8x2 + 30x + 7;	k) 2x2 - 5x - 12;	l) 6x2 - 7x - 20.
 1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ng­êi ta dïng ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
	a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a.
Trong ®ã a lµ ­íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ + an-1 + an.
	b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4.
LÇn l­ît kiÓm tra víi x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. 
§a thøc cã nghiÖm x =2, do ®ã chøa thõa sè x - 2.
Ta t¸ch nh­ sau:
C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
	= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
	= ( x - 2)(x2 + x + 2).
C¸ch 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4
	= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
	= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
	= (x - 2)(x2 + x + 2).
2) Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Khi mét ®a thøc phøc t¹p, hoÆc cã bËc cao, ta cã thÓ ®Æt Èn phô nh»m “ gi¶m bËc” cña ®a thøc ®Ó ph©n tÝch.
	2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12.	b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) §Æt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ng­îc trë l¹i y = x2 + x + 1 vµo ®a thøc f(x) ta ®­îc:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
	= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 
= y(y + 2) - 24	víi y = x2 + 5x + 4
= y2 + 2y - 24
= (y - 4)(y + 6) 
Thay ng­îc trë l¹i y = x2 + 5x + 4 ta ®­îc
f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
3) Ph­¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng.
*) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
	a) x8 + x4 + 1;
	b) x4 + 4;
HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)
	= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]
= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - (x)2]
= (x2 +1 - x)(x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + x)
*) Bµi tËp ¸p dông : 
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
	a) f(x) = x4 + 324	b) f(x) = x8 + 1024;	c) f(x) = x8 + 3x4+ 4
Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 + 
	b) ¸p dông: Rót gän S = 
4) Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: Tr­íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng cña c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
	a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè:
	P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Gi¶i: 
Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh­ vËy P chøa thõa sè x = y
nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng ®æi. Do ®ã P chøa thõa sè cã d¹ng (x - y),
 (y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x).
V× ®¨ngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng víi mäi x, y, z, 
Nªn ta g¸n x = 2, y = 1, z = 0 vµo ®¼ng thøc ta ®­îc:
	4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)2 = -2k k = -1
vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x)
C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn.
Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè
	a) 6x2 - 11x + 3;	b) 2x2 + 3x - 27;
	c) 2x2 - 5xy + 3y2;	d) 2x2 -5xy - 3y2.
Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè:
	a) x3 + 2x - 3;	b) x3 - 7x + 6;
	c) x3 + 5x2 + 8x + 4;	d) x3 - 9x2 + 6x + 16;
	e) x3 - x2 - 4;	f) x3 - x2 - x - 2;
	g) x3 + x2 - x + 2;	h) x3 - 6x2 - x + 30.
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch).
	x3 - 7x - 6.
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
	a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;	b) 2x3 - x2 + 5x + 3.
Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
	a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;	b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
	c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12;	d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
	e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4	
	f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;
	g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn - §Æt Èn phô)
	a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc
	HD: §Æt x = a + b, y = a - b.
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
	a) 4x4 - 32x2 + 1;	b) x6 + 27;
	c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;	d) (2x2 - 4)2 + 9;
	e) 4x4 + 1;	f) 64x4 + y4;
	g) x4 + 324;	h) x8 + x + 1;
	i) x7 + x5 + 1;	j) x8 + x4 + 1;
	k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6;	l) x3 + 3xy + y3 - 1.
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
	a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;	b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
	c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1;	c) x4 - 8x + 63.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
	x8 + 98x2 + 1.
Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d­¬ng).
	a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
	b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c
chuyªn ®Ò chia ®a thøc cho ®a thøc
I) Chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc (tr­êng hîp ®¬n thøc A chia hÕt cho ®¬n thøc B).
1) Ph­¬ng ph¸p:
	- Chia hÖ sè cña ®¬n thøc A cho hÖ sè cña ®¬n thøc B.
	- Chia tõng luü thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biÕn ®ã cã trong B.
	- Nh©n c¸c kÕt qu¶ t×m ®­îc víi nhau.
1) VÝ dô vµ bµi tËp:
Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia:
	a) 10015 : 10012;	b) (-79)33 : (- 79)32;
	c);	d) .
Bµi 2. Chia c¸c ®¬n thøc:
	a) -21xy5z3 : 7xy2z3;	b) (a3b4c5) : a2bc5;
	c) x2yz : xyz;	d) x3y4 : x3y;
	e) 18x2y2z : 6xyz;	f) 5a3b : (-2a2b);
	g) 27x4y2z : 9x4y;	h) 9x2y3 : (-3xy2);
	i) (m2n4) : m2n2;	j) 5x4y3z2 : 3xyz2;
	k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2);	l) (a - b)5 : (b - a)2;
	n) (x + y)2 : (x + y);	m)(x - y)5 : (y - x)4;
	o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3;	¬) 0,5ambnc3 : (a2bc);
	p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).
Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
	(-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x = vµ y = -1.
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia:
	a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy;	b) (x3 - 3x2y +5xy2) : (x);
	c) (a3b6c2 + a4b3c - a5b2c3) : a3bc;
	d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
	e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).
Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× thùc hiÖn ®­îc c¸c phÐp chia ®¬n thøc sau? Víi ®iÒu kiÖn t×m ®­îc h·y thùc hiÖn phÐp chia ®ã .
	a)x2n : xn + 3;	b) 3xny2 : 4x2y;
	c) 6x3y5 : 5xny2;	d) xnyn+2 : 3x3y4.
II) Chia ®a thøc cho ®¬n thøc.
1) Ph­¬ng ph¸p: Chia ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
	- Chia mçi h¹ng tö cña ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
	- Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi nhau.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
	a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;	b) (163 - 642) : 83;
Bµi 2. Lµm tÝnh chia:
	a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;	b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
	c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2;	d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);
	e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4);
	f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.
	g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2;	h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);
	i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y).
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
	a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4);
	b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
	c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.
	d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).
Bµi 4. Lµm tÝnh chia:
	a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 	b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);
	c) (x3 - 8y3) : (x + 2y);	
d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.
Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2.
	A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.
III) Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp:
1) Ph­¬ng ph¸p chung:
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®­îc h¹ng tö cao nhÊt cña th­¬ng.
- Nh©n h¹ng tö cao nhÊt cña th­¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ ®i tÝch võa t×m ®­îc, ta ®­îc d­ thø nhÊt.
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d­ thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®­îc h¹ng tö thø hai cña th­¬ng.
- Nh©n h¹ng tö thø hai cña th­¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy d­ thø nhÊt trõ ®i tÝch võa t×m ®­îc, ta ®­îc d­ thø hai.
- LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi:
+) nÕu d­ cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d­ b»ng 0 vµ ®­îc gäi lµ phÐp chia hÕt.
+) nÕu d­ cuèi cïng kh¸c 0 vµ bËc cña ®a thøc d­ thÊp h¬n bËc cña ®a thøc chia th× phÐp chia ®ã ®­îc gäi lµ phÐp chia cã d­.
2) Ký hiÖu:
	A(x) lµ ®a thøc bÞ chia;
	B(x) lµ ®a thøc chia;
	Q(x) lµ ®a thøc th­¬ng;
	R(x) lµ ®a thøc d­;
Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt.
- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d­.
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh chia:
	a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);	b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
	c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3);
Bµi 2. S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn:
	a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
	b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);
	c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
	d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
	e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
	f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
	g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
	h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
	i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
	j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);
	k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
	l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);
	n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
	m) (x4 - x - 14) : (x - 2).
Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d­ trong tr­êng hîp kh«ng chia hÕt;
	a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
	b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).
	HD:
	a) KÝ hiÖu sè d­ lµ r, ta cã thÓ biÕt:
	x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r
	Trong ®¼ng thøc trªn ®Æt x = -3, ta ®­îc:
	r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9
	vËy d­ trong phÐp chia lµ 9.
	b) Ta thÊy ngay th­¬ng trong b­íc thø nhÊt cña phÐp chia lµ 3x vµ do ®ã ®a thøc d­ thø nhÊt lµ 2x - 1. V× 2x - 1 cã bËc nhá h¬n 3x2 - 2x + 5 nªn kh«ng thÓ thùc hiÖn tiÕp phÐp chia ®­îc n÷a. Do ®ã phÐp chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d­ lµ 2x - 1.
Bµi 4. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d­ trong tr­êng hîp kh«ng chia hÕt.
a) (8x2 - 6x + 5) : (x - );	b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);
c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);	
d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).
Bµi 5. TÝnh nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
d) (64a3 - b3) : (16a2 + ab + b2).
4) Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó t×m ®a thøc th­¬ng vµ ®a thøc d­:
4.1) Ph­¬ng ph¸p ®Æt phÐp chia:
VÝ dô:
 X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
	Gi¶i
Thùc hiÖn phÐp chia 
	x3 	 +	 ax 	 + 	b	x2 + x - 2
	x3 +	 x2 -	 2x
 	-x2 + (a +2)x + 	b	x - 1
	-x2 -	 x +	2	
	 (a + 3)x + (b -2) 
§Ó chia hÕt, ®a thøc d­ ph¶i ®ång nhÊt b¨ng 0, nªn :
vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2.
4.2) Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
- NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ng­êi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng ®¼ng hoÆc hai ®a thøc ®ång nhÊt. KÝ hiÖu f(x) g(x).
- Hai ®a thøc (®· viÕt d­íi d¹ng thu gän) ®­îc gäi lµ ®ång nhÊt (h»ng ®¼ng) khi vµ chØ khi c¸c hÖ sè cña c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã lµ b»ng nhau.
*) VÝ dô: 
 X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
	Gi¶i
§a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th­¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc nhÊt lµ x3 : x2 = x.
Gäi th­¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã:
	x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
	x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai ®a thøc trªn ®ång nhÊt nªn :
VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th­¬ng lµ x - 1.
4.3) Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
*) VÝ dô: 
 X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
	Gi¶i
Gäi th­¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã:
	x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, nªn lÇn l­ît cho x = 1, x = -2 ta ®­îc :
Víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th­¬ng lµ x - 1.
4.4) Ph­¬ng ph¸p vËn dông vµo ®Þnh lý B¬du
	a) §Þnh lý: Sè d­ trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)).
	b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0
C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph­¬ng ph¸p trªn.
Bµi 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 lµ b×nh ph­¬ng cña mét ®a thøc.
	HD: sö dông ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ta cã ha ®¸p sè.
	x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2
	x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bµi 2. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 - x - 2.
	HD: sö dông ph­¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng, ta ®­îc kÕt qu¶ a = 2; b = - 4.
Bµi 3. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a vµ b sao cho:
	a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1;
	b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d­ -6, chia cho x - 1 d­ 21.
	HD: ta cã kÕt qu¶
	a) a = 1; b = 1;
	b) a = 3; b = -1.
Bµi 4. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó: 
	a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1;
	b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2.
	HD
	a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d­ lµ -3
Suy ra -3 (x + 1) x{0; -2; 2; -4}.
	b) x {3; 1; 5; -1}.
Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuéc Q). X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho x + 1.
	HD
*) C¸ch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) ®­îc th­¬ng lµ 
a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d­ lµ -a2 + a + 6
- §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d­ ph¶i b»ng 0, tøc lµ 
-a2