Củng cố và ôn luyện Hình học Lớp 8 - Tập 2

 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
 PHẦN B. HèNH HỌC
 CHUYấN ĐỀ 3. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
 CHỦ ĐỀ 1. ĐỊNH Lí TA – LẫT
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C 'D' nếu 
 AB A'B' AB CD
 (hoặc ).
 CD C 'D' A'B' C 'D'
2. Định lý Ta – lột 
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và cắt hai cạnh cũn lại 
thỡ đường thẳng định ra trờn hai cạnh đú những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
 ABC : DE PBC 
 GT A
 D AB,E AC 
 AD AE
 AB AC
 D E
 AD AE
 KL 
 DB EC
 DB EC
 AB AC B C
Chỳ ý: Định lý Ta – lột vẫn đỳng trong trường hợp đường thẳng song song với một 
cạnh của tam giỏc và cắt phần kộo dài của hai cạnh cũn lại.
 A E D a
 A
 B C
 D B C
 a E
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tớnh độ dài đoạn thẳng hoặc tớnh tỉ số của 
hai đoạn thẳng
Phương phỏp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và cỏc tớnh chất của tỉ lệ 
thức.
1A. Trờn tia Ax lấy cỏc điểm B, C, D theo thứ tự đú sao cho: AB 2cm,BC 4cm 
và CD 8cm .
 AB BC
a) Tớnh cỏc tỉ số và .
 BC CD
b) Chứng minh BC2 AB.CD. 
 GV: Trường THCS 71 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
 AB 3
1B. Trờn đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đú sao cho và 
 BC 5
 BC 5
 .
 CD 6
 AB
a) Tớnh tỉ số .
 CD
b) Cho biết AD 28cm . Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AB, BC và CD.
2A. Cho tam giỏc ABC và cỏc điểm D, E lần lượt nằm trờn hai cạnh AB, AC sao cho 
 AD AE
 .
 AB AC
 AD AE
a) Chứng minh .
 BD EC
b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm và AE 4cm . Tớnh AC.
2B. Cho hỡnh vẽ bờn: A
 BD CE
Biết 
 AB AC
 AD AE
a) Chứng minh 
 AB AC D E
b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm và 
 C
AC 4cm . Tớnh EC. B
Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lột để tớnh tỉ số đoạn thẳng, tớnh độ dài đoạn 
thẳng
Phương phỏp giải: Thực hiện theo cỏc bước:
Bước 1. Xỏc định cặp đoạn thẳng tỉ lệ cú được nhờ định lý Ta – lột .
Bước 2. Sử dụng độ dài đoạn thẳng đó cú và vận dụng cỏc tớnh chất của tỉ lệ thức để 
tỡm độ dài đoạn thẳng cần tớnh.
3A. Cho tam giỏc ACE cú AC 11cm. Lấy điểm B trờn cạnh AC sao cho BC 6cm . 
Lấy điểm D trờn cạnh AE sao cho DB PEC . Giả sử AE ED 25,5cm . Hóy tớnh:
 DE
a) Tỉ số ; 
 AE
b) Độ dài cỏc đoạn thẳng AE,DE và AD.
3B. Cho tam giỏc ABC cú AB 11cm. Lấy điểm D trờn cạnh AB sao cho AD 4cm. 
Lấy điểm E trờn cạnh AC sao cho DE PBC . Giả sử EC AE 1,5cm . Hóy tớnh:
 AE
a) Tỉ số ; 
 EC
b) Độ dài cỏc đoạn thẳng AE,EC và AC.
 BD 3
4A. Cho tam giỏc ABC và điểm D trờn cạnh BC sao cho , điểm E trờn đoạn 
 BC 4
 AE 1 AK
AD sao cho . Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tớnh tỉ số .
 AD 3 KC
 GV: Trường THCS 72 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
 1
4B. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG DC. Gọi 
 4
 DE
E là giao điểm của AG và BD. Tớnh tỉ số .
 DB
Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lột để chứng minh hệ thức cho trước
Phương phỏp giải: Thực hiện theo cỏc bước:
Bước 1: Xỏc định cỏc cặp đoạn thẳng tỉ lệ cú được nhờ định lý Ta – lột.
Bước 2: Vận dụng cỏc tớnh chất của tỉ lệ thức và cỏc kiến thức cần thiết khỏc để 
chứng minh được hệ thức đề bài yờu cầu.
5A. Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy là AB và CD. Một đường thẳng song song với 
 ED BF
AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh 1. 
 AD BC
5B. Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy là AB và CD, cỏc đường chộo cắt nhau tại O. 
Chứng minh OA.OD OB.OC. 
6A. Cho tam giỏc ABC cú AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua 
E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường 
thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK. 
6B. Cho tam giỏc ABC nhọn, M là trung điểm của BC và H là trực tõm. Đường 
thẳng qua H và vuụng gúc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ 
đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự ở N và D. Chứng minh:
a) NC ND . b) HI HK. 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 CA 2
7. Cho đoạn thẳng AB 42cm và điểm C thuộc đoạn thẳng đú sao cho . Tớnh 
 CB 5
độ dài cỏc đoạn CA, CB và khoảng cỏch từ C đến trung điểm O của AB.
8. Cho tam giỏc ABC, điểm M bất kỳ trờn cạnh AB. Qua M kẻ đường thẳng song 
song với BC cắt AC ở N. Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm. Tớnh độ dài cỏc 
đoạn AN, NC.
9. Cho xã Ay , trờn tia Ax lấy hai điểm D và E, trờn tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho 
 FD PEG. Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H. Chứng minh 
 AE2 AD.AH. 
10. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kỳ trờn cạnh AB. Qua E kẻ 
đường thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt 
AD ở H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G. Chứng minh 
 AH.CD AD.CG. 
 HƯỚNG DẪN
 AB 1 BC 1
1A. a) Ta cú và 
 BC 2 CD 2
b) Ta cú BC 2 AB.CD 16cm2 
 GV: Trường THCS 73 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
 AB 1
1B. a) Ta cú 
 CD 2
b) Ta tớnh được AB 6cm, BC 10cm và CD 12cm
 AD AE
2A. a) Theo tớnh chất của tỉ lệ thức, ta cú: 
 AB AC
 AD AE
 AB AD AC AE
 AD AF
 (ĐPCM)
 BD EC
 AD AE
b) Ta cú . Thay số ta tớnh được EC 2cm 
 BD EC
Từ đú tỡm được AC 6cm 
2B. Tương tự 2A
 4
a) HS tự làm b) Tỡm được EC cm 
 3
3A. a) Theo định lý Ta-lột trong ACE , ta cú:
 DE BC DE 6
 .
 AE AC AE 11
b) Cỏch 1. Theo tớnh chất của tỉ lệ thức ta cú:
 DE AE 17
 AE 11
Từ đú tớnh được AE 16,5cm; DE 9cm và AD 7,5cm .
Cỏch 2. Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau
 DE 6
Cỏch 3. Thay DE 25,5 AE vào 
 AE 11
3B. Tương tự 3A. HS tự làm
Đỏp số: AE 2cm; EC 3,5cm và AC 5,5cm 
4A. Kẻ DM / /BK M AC 
Áp dụng định lý Ta-lột trong CBK , ta cú:
 KM BD KM 3
 (1)
 KC BC KC 4
 GV: Trường THCS 74 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
 AK 1
Tương tự với ADM , ta cú: (2)
 KM 2
 AK 3
Từ (1) và (2), tỡm được: 
 KC 8
 DG ED 1 DE 1
4B. Chỳ ý DC AB nờn 
 AB EB 4 DB 5
 ED FC ED BF FC BF
5A. Ta cú: nờn 1 
 AD BC AD BC BC BC
5B. Vỡ AB//CD, ỏp dụng định lý Ta-lột, ta cú: 
 OA OB
 OC OD
Từ đú suy ra ĐPCM
6A. Chứng minh được ADEF là hỡnh bỡnh hành, từ 
đú: EF=AD (1)
Kẻ MG//AC (G AB), ta được G là trung điểm 
của AB. Áp dụng định lý Ta-lột trong ABC , ta cú: 
 CF AC
 (2)
 EF AB
Tương tự với AGM và ABC , ta cú:
 DK MG MG AC
 (3)
 AD AG BG AB
Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK
6B. a) Chứng minh được M là trực tõm HNC nờn: 
 MN  HC , từ đú suy ra MN / / AB hay MN / /DB . 
Theo tớnh chất đường trung bỡnh ta cú N là trung 
điểm của CD.
b) Ta cú IH / /DN và HK / /NC nờn chứng minh 
 HI HK
được . Từ đú suy ra HI = HK.
 DN NC
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Tớnh được CA 12cm, CB 30cm, CO 9cm .
8. Tương tự 2A. Tớnh được AN = 22cm, NC = 
16cm.
 GV: Trường THCS 75 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
9. Chứng minh được 
AE AD FA 
AH AE AG 
Từ đú suy ra ĐPCM
10. Áp dụng định lý Ta-lột trong cỏc 
 ADB, ABC và BCD ta cú:
AH AE CF CG
AD AB CB CD
Từ đú AH.CD AD.CG 
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
 CHỦ ĐỀ 2. ĐỊNH Lí ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH Lí TA – LET
 GV: Trường THCS 76 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
 • Định lý Ta – lột đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giỏc và 
định ra trờn hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thỡ đường thẳng đú song 
song với cạnh cũn lại của tam giỏc.
 A
 ABC : D AB,E AC 
 GT AD AE
 và 
 BD EC D E
 KL DE PBC B C
 • Hệ quả của định lý Ta – lột: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam 
giỏc và song song với cạnh cũn lại thỡ tạo thành một tam giỏc mới cú ba cạnh tương 
ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giỏc đó cho.
 A
 ABC : DE PBC
 GT 
 D AB,E AC 
 AD AE DE D E
 KL 
 AB AC BC
 B C
 • Chỳ ý: Hệ quả trờn vẫn đỳng cho trường hợp đường thẳng d song song với 
 AD AE DE
một cạnh của tam giỏc và cắt phần kộo dài của hai cạnh cũn lại: .
 AB AC BC
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Sử dụng định lý Ta – lột đảo để chứng minh cỏc đường thẳng song song
Phương phỏp giải: Thực hiện theo cỏc bước
Bước 1: Xỏc định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giỏc
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta – let để chứng minh cỏc đoạn thẳng 
song song.
1A. Cho hỡnh thang ABCD AB PCD . Gọi trung điểm của cỏc đường chộo AC và 
BD là M và N. Chứng minh: MN, AB và CD song song với nhau.
1B. Cho tam giỏc ABC cú điểm M trờn cạnh BC sao cho BC 4CM. Trờn cạnh AC 
 CN 1
lấy điểm N sao cho . Chứng minh MN song song với AB.
 AN 3
Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lột để tớnh độ dài đoạn thẳng, chứng 
minh cỏc hệ thức, cỏc đoạn thẳng bằng nhau
Phương phỏp giải: Thực hiện theo cỏc bước sau:
Bước 1: Xột đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc, sử dụng hệ quả để 
lập cỏc đoạn thẳng tỉ lệ.
 GV: Trường THCS 77 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
Bước 2: Sử dụng cỏc tỉ số đó cú, cựng với cỏc tớnh chất của tỉ lệ thức, cỏc tỉ số trung 
gian (nếu cần) để tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng hoặc chứng minh cỏc hệ thức cú được 
từ hệ quả, từ đú suy ra cỏc đoạn thẳng bằng nhau.
2A. Cho tam giỏc ABC cú cạnh BC = m. Trờn cạnh AB lấy cỏc điểm D, E sao cho 
AD = DE = EB. Từ D, E kẻ cỏc đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo 
thứ tự ở M và N. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng DM và EN theo m.
2B. Cho hỡnh thang ABCD AB PCD,AB CD . Gọi trung điểm của đường chộo BD 
là M. Qua M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC tại N. Chứng minh:
 CD AB
a) N là trung điểm của AC; b) MN .
 2
3A. Cho tam giỏc ABC, điểm I nằm trong tam giỏc, cỏc tia AI, BI, CI cắt cỏc cạnh 
BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia 
CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh:
 AK HA AF AE AI
a) ; b) . 
 BD DC BF CE ID
3B. Cho tứ giỏc ABCD cú B Dà 900. Gọi M là điểm bất kỡ trờn đường chộo AC. 
 MN MP
Gọi N và P lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn BC và AD. Chứng minh 1. 
 AB CD
Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lột đảo để chứng minh cỏc đường thẳng song song
Phương phỏp giải: Xột cỏc cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong tam giỏc để chứng 
minh cỏc đường thẳng song song (cú thể sử dụng định lý Ta – lột thuận và hệ quả 
của định lý Ta – lột để cú được cỏc cặp đoạn thẳng tỉ lệ).
4A. Cho tam giỏc ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song 
song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh 
MN song song với BC.
4B. Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM. Gọi E là 
giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB. Chứng minh EF song song 
với BC.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Cho tam giỏc AOB cú AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm. Trờn tia đối của tia OB 
lấy điểm D sao cho OD 3cm . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO 
ở C. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Tớnh:
 FD
a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số .
 FA
6. Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy là AB và CD, M là trung điểm của AB, O là 
giao điểm của AD và BC. OM cắt CD tại N. Chứng minh N là trung điểm của CD.
7. Cho tam giỏc nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Qua D kẻ DF vuụng gúc với 
AB (F thuộc AB); qua E kẻ EG vuụng gúc với AC. Chứng minh:
a) AD.AE AB.AG AC.AF; 
b) FG song song với BC.
 GV: Trường THCS 78 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
8. Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy AB và CD. Gọi M là trung điểm của CD, E là 
giao điểm của MA và BD, F là giao điểm của MB và AC.
a) Chứng minh EF song song với AB.
b) Đường thẳng EF cắt AD, BC lần lượt tại H và N. Chứng minh: HE = EF = FN.
9. (ĐỊnh lý Cộva) Trờn ba cạnh BC, CA, AB của tam giỏc ABC lấy tương ứng ba 
 PB QC RA
điểm P, Q, R. Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thỡ . . 1. 
 PC QA RB
 HƯỚNG DẪN
1A. Gọi P là trung điểm của AD. Ta chứng minh 
được NP và MP lần lượt là đường trung bỡnh của 
 ABD và ADC nờn suy ra NP//AB và MP//DC. 
Mặt khỏc AB//CD nờn ta cú P, N, M thẳng hàng 
 MN / / AB / /DC .
 CM 1
1B. Ta cú BC 4CM BM 3CM 
 BM 3
 CM CN
Kết hợp với giả thiết ta cú MN / / AB 
 BM AN
2A.Áp dụng hệ quả định lý Ta-lột ta cú: 
 DM AD m
 DM 
 BC AB 3
 EN AE 2
 EN m 
 BC AB 3
2B. a) Gợi ý: Gọi Q là giao điểm của MN với 
 BC Q BC . Chứng minh được Q là trung điểm của 
BC và NQ//AB suy ra ĐPCM.
 1 1
b) Ta cú MQ DC, NQ AB 
 2 2
 DC AB
Vậy MN MQ NQ 
 2
 AI AK AI AH
3A. a) AK / /BD ;Từ AH / /DC 
 ID BD ID DC
 GV: Trường THCS 79 Tài liệu củng cố và ôn luyện hình 8 – Tập 2
 AK AH
Do đú 
 BD DC
 AK AH AK AH HK AI
b) Ta cú: (1) 
 BD DC BD DC BC ID
Ta chứng minh
 AF AH AE AK
 (2); (3) 
 BF BC CE BC
 AE AF AI
Từ (1), (2), (3) ta cú (ĐPCM)
 CE BF ID
3B.Ta chứng minh được MN//AB, ỏp dụng hệ quả 
 MN MC
định lý Ta-lột (1) 
 AB AC
 PM AM
Tương tự: PM / /DC (2) 
 DC AC
Lấy (1) + (2) ta được ĐPCM
 AI AM
4A. Từ IM//BK và KN//IC ta suy ra và 
 AB AK
 AN AK
 .
 AI AC
 AN AM
Do đú ĐPCM.
 AB AC
4B. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia 
CF tại H và cắt tia BE tại K. Áp dụng kết quả 
ý a) 3A. và MB = MC ta chứng minh được AH = 
AK.
 AH AF AK AE
Lại cú ; 
 BC FB BC EC
 AF AE
nờn ĐPCM.
 FB EC
Cỏch khỏc: Áp dụng định lý Xờ va (sẽ được chứng 
 GV: Trường THCS 80