Đề cương học kì I Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Ngôi Sao

Họ và tên: Lớp:
Tuần 17 - 18: ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KÌ I
A. Bài tập cơ bản
Dạng 1. Rút gọn biểu thức
Bài 1. Rút gọn biểu thức:
Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
(x – 1)3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) tại x = -2
2(2x + 3y)(2x – 3y) – (2x – 1)2 – (3y – 1)2 tại x = 1; y = -1 
Bài 3.
Cho x – y = 7. Tính giá trị của biểu thức.
A = x2(x + 1) – y2(y – 1) + xy – 3xy(x – y + 1) – 95
Cho x + y = 5. Tính giá trị của biểu thức.
B = x3 + y3 – 2x2 – 2y2 + 3xy(x + y) – 4xy + 3(x + y) + 10
Cho x + y = 2 ; x2 + y2 = 20. Tính x3 + y3
Tìm các số x, y thỏa mãn các đẳng thức sau:
x3 + y3 = 152; x2 – xy + y2 = 19; x – y = 2
Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 4. 
a2 + b2 + 2ab + 2a + 2b + 1
ax2 – ax + bx2 – bx + a + b
3x(x – 2y) + 6y(2y – x)
x2 – 2xy + y2 – n2 + 2mn – m2
x3 – 4x2 – 8x + 8
4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2
81x2 – 6yz – 9y2 – z2
x4 + 1024
(x2 + 9)2 + 8x(x2 + 9) + 12x2
x3 + 9x2 – 4x – 36
x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 8
Dạng 3. Tìm x
Bài 5.	
Dạng 4. Phép chia đa thức đã sắp xếp
Bài 6. Sắp xếp các đa thức sau rồi làm phép chia:
	a) (3x + 2x4 – 3x3 – 2) : (1 – x2) 	b) (5x4 – 1 – 3x5) : (x – x2 + 1)
Bài 7. Xác định các hằng số m để A(x) B(x)
A(x) = 8x2 – 26x + m	B(x) = 2x – 3 
A(x) = x3 – 13x + m	B(x) = x2 + 4x + 3
Bài 8.
Tìm a để đa thức x3 – 7x2 + ax (x – 2)
Tìm a, b để đa thức x4 + x3 + ax2 + 4x + b (x2 – 2x + 2)
Tìm a, b để đa thức x4 + x3 + 3x2 + ax + b (x2 – x + b)
Bài 9. Tìm giá trị nguyên của x để: 
(8x2 – 4x + 1) (2x + 1)
(x3 + 3x2 – 2x – 18) (x – 2)
(x4 – x2 – 7) (x2 + 1)
(x4 – 3x2) (x2 – x – 1)
Bài 10. Tìm a, b, c sao cho:	(2x4 + ax2 + bx + c) (x – 2)
	và	(2x4 + ax2 + bx + c) chia cho x2 – 1 thì dư 2x 
Dạng 5. Toán cực trị
Bài 11. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
A = –4 – x2 + 6x
B = 3x2 – 5x + 7
C = .(2 – )
D = (x – 1)(x + 5)(x2 + 4x +5)
E = - x2 – 4x – y2 + 2y
F = (x – 1)(x – 3) + 11
G = (x – 3)2 + (x – 2)2
H = 
K = 
Dạng 6. Phân thức đại số:
Bài 12. Cho biểu thức: 
Rút gọn P.
Tính giá trị của P tại 
Với giá trị nào của y thì P 0.
Bài 13. Cho biểu thức: 
Rút gọn A.
Tính giá trị của biểu thức khi 
Với giá trị nào của x thì A = 2
Tìm x để A < 0
Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 14. Cho biểu thức: 
Rút gọn Q.
Tính giá trị của Q tại 
Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Bài 15. Cho: 
Rút gọn P
Tìm giá trị của x để P = 0; P = 1.
Tìm các giá trị của x để P >0
Bài 16. Cho biểu thức: 
Rút gọn biểu thức.
Tìm giá trị của P với x thoả mãn: 
Tìm để 
Khi x > 3 tìm giá trị nhỏ nhất của P.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 2. 
 Cho ab + bc + ca = 1 với a, b, c Q.
CMR: là bình phương của một số hữu tỷ.
Chứng minh: ( chia hết cho 19.
Chứng minh: chia hết cho với 
Bài 3. Cho a, b, c đôi một khác nhau, thỏa mãn: ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức: 
 	b) 
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức: biết:
 	b) 
Bài 5. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện:
	Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 6. Cho 3 số a, b, thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện:
;	 ;	 
	Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 7. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 8. Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
Bài 9. Chứng minh rằng: 
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
Bài 12. Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho (x – 2) thì dư 5	f(x) chia cho (x – 3) thì dư 7
f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là x2 – 1 và còn dư 
PHẦN II - HÌNH HỌC
Chương I. Tứ giác
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N.
Tứ giác ABDM là hình gì?
Chứng minh BD DC.
Gọi I là trung điểm của MC. Chứng minh 
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP. Qua N kẻ đường thẳng song song với PC cắt BC ở F. Các đường thẳng kẻ qua F song song với BN và kẻ qua B song song với CP cắt nhau ở D.
Tứ giác CPNF là hình gì?
Chứng minh tứ giác BDFN là hình bình hành.
Chứng minh AM = DN.
Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác PNCD là hình thang cân?
Bài 3. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BG và CG.
Tứ giác MNEF là hình gì? Vì sao?
Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNEF là:
* Hình chữ nhật? 	 * Hình thoi?
Bài 4. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua D.
Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông cân.
Từ A hạ AH BE, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.
Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB.
Chứng minh 
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có , AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với MN tại E cắt AB ở F. Chứng minh:
Tứ giác MNDC là hình thoi.
E là trung điểm của CF
Tam giác NCF là tam giác đều.
Ba điểm F, M, D thẳng hàng.
Bài 6. Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Tìm trên Ox điểm B, tìm trên Oy điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Chứng minh tứ giác DEFA là hình bình hành.
Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác DEFA trở thành:
* Hình chữ nhật	* Hình thoi	* Hình vuông
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F. Chứng minh rằng:
E và F đối xứng qua AB.
Tứ giác MEBF là hình thoi.
Chương II. Đa giác - Diện tích đa giác.
Bài 1. Cho hình thang ABCD; BC // AD. Các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh và OA . OB = OC. OD
Bài 2. Cho M là điểm bất kỳ trên cạnh BC của tam giác đều ABC. Gọi các điểm P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC.
Tính MP + MQ (biết BC = a)
Tìm vị trí của điểm M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất.
Bài 3. Cho ABC, trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G.
cm2. Tính 
Biết = 48cm2. Tính 
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có diện tích là 25cm2. Gọi P, Q, R, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là giao điểm của AQ và CE với DP và BR.
Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Tính SA’B’D C’.
HƯỚNG DẪN GIẢI
A. BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Rút gọn biểu thức
Bài 1.
Bài 2:
Thay x =-2 vào biểu thức (1) ta được
Thay x =1; y=-1 vào biểu thức (2) ta được
Bài 3:
c) Ta có: 
 mà .
=> 
=> 
d) Ta có: 
 mà 
Dạng 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 4. 
= 
Dạng 3. Tìm x
a) 
 hoặc 
b) 
c) 
d) 
e) 
 hoặc hoặc 
f) hoặc 
g) 
 hoặc hoặc 
h) 
Đặt 
Khi đó biểu thức trở thành 
 hoặc 
Với thì hoặc 
Với thì 
 hoặc 
Dạng 4. Phép chia đa thức đã sắp xếp
Bài 6: 
Sắp xếp 
Vậy dư 4
Sắp xếp 
Vậy dư 
Bài 7.
Ta có A (x) : B (x) = và dư m - 21
Để thì 
Vậy với 
Ta có A (x) là da thức bậc 3.
 B (x) là đa thức bậc 2
A (x) : B (x) = 
Theo bài ra ta có ==
Ta có 
Vậy với m= - 12 thì 
Bài 8:
Ta có 
Để là phép chia hết thì 
Vậy a = 10 
Ta có x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia cho x2 – 2x + 2 có thương là x2 + 3x + (a + 4) và dư là
(2a + 6)x + (b - 2a - 8). Để phép chia hết thì dư bằng 0 với mọi x tức là: 
2a + 6 = 0 => a = -3 và b - 2a – 8 = 0 => b = 2.
Vậy với a = -3 và b = 2 thì x4 + x3 + ax2 + 4x + b chia hết cho x2 – 2x + 2 
Ta có x4 + x3 + 3x2 + ax + b chia cho x2 – x + b có thương là x2 + 2x + (5 - b) và dư là
(a - 3b + 5)x + (b2 – 4b). Để phép chia hết thì dư bằng 0 với mọi x tức là: 
a - 3b + 5 = 0 và b2 – 4b => a - 3b + 5 = 0 và b = 0 hoặc b = 4 =>
a = -5 và b = 0 hoặc a = 7 và b = 4.
Vậy với a = -5 và b = 0 hoặc a = 7 và b = 4 thì x4 + x3 + 3x2 + ax + b chia hết cho x2 – x + b.
Bài 9. Tìm giá trị nguyên của x để 
a) 	
Ta có 
Nên dư 5. Vậy mà 
Ư
1
5
0
2
Vậy thì 
b) 
Vậy Ư
1
1
3
0
4
Vậy thì thỏa mãn yêu cầu đề bài
c) 
Vậy mà Ư 
1
5
 Vô lý 
0
Vô lý 
Vậy thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.
d) 
Ta có 
Vì mà Ư
TH1: 
TH2: 
Vậy thì thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài 10. Tìm a,b,c sao cho 
 và dư 
Ta có 
Vậy .
Lại có (2x4 + ax2 + bx + c) chia cho x2 – 1 thì dư 2x nên sau khi chia có số dư là bx + (a + c + 2) thì đồng nhất hai biểu thức này ta có hệ phương trình sau:
Dạng 5. Toán cực trị
Bài 11. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
Vì nên . Vậy maxA = 5 
Vậy 
Đặt ta có 
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Vì nên 
Vậy 
 k) 
Vì nên 
Vậy 
Dạng 6. Phân thức đại số:
Bài 12.
a) Điều kiện: .
.
Vậy 
b) Với ta có: .
c)Để luôn đúng .
Bài 13.
Rút gọn A . 
ĐKXĐ: 
Vậy 
Tính giá trị của biểu thức khi 
ĐKXĐ: 
Ta có 
Với (TMĐK) ta có 
Với (TMĐK) ta có 
Với giá trị nào của x thì A=2
ĐKXĐ: 
Vậy với thì A=2
Tìm x để A< 0
ĐKXĐ: 
Vậy x>2 thì A<0
Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
ĐKXĐ: 
A nguyên nguyên 
Vậy với thì A có giá trị nguyên
Bài 14. 
a) ĐKXĐ: 
b) Thay vào Q ta được
c) 
Kết hợp điều kiện xác định: 
Bài 15. 
Điều kiện xác định: 
b)
Để (không thỏa mãn điều kiện xác định)
Không có giá trị nào của x để P = 0
Để ( thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy với x = - 5 thì 
c) Để 
TH1: 
TH2: 
Kết hợp với điều kiện; Ta được hoặc ; thì 
Bài 16. 
a) Rút gọn biểu thức
Đk: 
=
b) Tìm giá trị của P khi x thỏa mãn 
Giải tìm x, (x tmđkxđ và 
TH1: (không tmđkxđ)
	 TH2: (tmđk) thay vào 
c) Tìm để P chia hết cho 4
Lấy đa thức ở tử biểu thức P chia cho đa thức ở mẫu của biểu thức P ta đưa P về dạng
, ta thấy khi thì chia hết cho 4. Do vậy, để P chia hết 4 thì chia hết cho 4, hay 9 chia hết cho suy ra 
1
3
9
4
2
0
6
Kết luận
tm
tm
Loại
tm
tm
tm
d) Khi tìm GTNN của P
Khi thì . Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số ta có suy ra , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi (loại) hoặc (tm)
Vậy GTNN của , khi 
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
Đặt ta có đa thức ẩn t sau
 , với ta có == 
.
=
== 
==
Đặt = t ta có đa thức =, thay t= ta có 
.
Vậy 
=
=
7. 
= 
8. 
Đặt (= t, ta có:
, thay t = 
Bài 2.
Cho với a, b, c ∈ Q.
 Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỉ.
	Thay vào , ta có:
	 	(1)
	Tương tự ta có: 
	 	(2)
	Và 
	 	(3) 
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
Vì là các số hữu tỉ nên là bình phương của một số hữu tỉ.
Chứng minh: (n ∈ N) chia hết cho 19.
Ta có: 
Ta có: 
Lại có: 
	 (dpcm).
Chứng minh chia hết cho với ∀ x ∈ Z.
Ta có: 
Vì nên (dpcm)
Bài 3. Cho a, b, c đôi một khác nhau, thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức:
Chứng minh tương tự Bài 2a, ta có:
Thay vào , ta có:
	 	(1)
	Tương tự ta có: 
	 	(2)
	Và 
	 	(3) 
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
Vậy giá trị biểu thức trên là 1.
Thay vào , ta có:
	(1)
Tương tự ta có: 
	 (2)
	Và 
	 	(3) 
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
Vậy giá trị biểu thức trên là - 1.
Bài 4. 
a) Ta có : 
Trường hợp 1: nếu 
Khi đó : 
Trường hợp 2 : Nếu 
Khi đó 
b) Trường hợp 1: Nếu 
Khi đó : 
Trường hợp 2: Nếu 
Khi đó : 
Do đó : 
Vậy nên 
Bài 5. 
Ta có : 
Vậy nên 
Bài 6. 
Vì nên .
Ta có: . 	(1)
Do nên 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: .
Do đó: ; ; .
Suy ra: .
Bài 7. 
Thay vào biểu thức ta có:
 .
Bài 8.
Ta có 
 (đpcm)
Bài 9.
Ta có:
Vì là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên .
Từ đó suy ra 
Đặt . Ta có 
 chia hết cho (đpcm).
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 
Vậy giá trị lớn nhất của A là xảy ra khi 
b) 
Vậy giá trị lớn nhất của B là 4 xảy ra khi 
c) 
Vậy giá trị lớn nhất của C là xảy ra khi 
d) 
Vậy giá trị lớn nhất của D là 9 xảy ra khi 
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
Giải: a)
b) 
Bài 12. 
f(x) chia chođược thương và còn dư => số dư có bậc không quá 1.
Ta có: 
Vậy 
 PHẦN II - HÌNH HỌC
Chương I. Tứ giác
Bài 1. 
a) BM AD (gt) và AH = DH (gt) nên BM là đường trung trực của AD
 AM = DM và BA = BD (tính chất đường trung trực) (1)
Xét hai tam giác vuông và 
AH = DM (gt) 
AB // DM (so le trong)
Do đó = (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Suy ra AB = DM 	(2) (2 cạnh tương ứng)
Từ (1) và (2) ta có AB = BD = DM = MA 
 Tứ giác ABDM là hình thoi
b) DN // AB và AB AC nên DN AC 
Xét tam giác ADC có CH và DN là đường cao 
 M là trực tâm của ADC AM DC
Mà BD // AM (Do ABDM là hình thoi)
Suy ra BD DC
c) MNC vuông có NI là đường trung tuyến nên NI = MI (tính chất trung tuyến tam giác vuông)
 NIM cân tại I 
Mà (đối đỉnh) do đó 
AND vuông có NH là đường trung tuyến nên NH = HD (tính chất trung tuyến tam giác vuông)
 NHD cân tại H nên 
 = 900 (Do tam giác MHD vuông)
Vậy 
Bài 2. 
	a) Xét có:
	 (CP là trung tuyến)
	 (BN là trung tuyến)
	Nên PN là đường trung bình của ứng với 
	cạnh BC. Do đó 
	Xét tứ giác CPNF có:
	(chứng minh trên)
	(gt)
Vậy tứ giác CPNF là hình bình hành (DHNB).
b) Xét tứ giác BDFN có:
(gt)
Mà (gt)
 (tứ giác CPNF là hình bình hành).
Nên (tính chất ba đường thẳng //)
Vậy tứ giác BDFN là hình bình hành (DHNB)
	c) Gọi (tính chất hình bình hành).
	Vì (tính chất đường trung bình) 
(Do M là trung điểm của BC)
Mà (Do tứ giác CPNF là hình bình hành) 
Nên 
Do đó, kết hợp với (2) ta suy ra .
Xét tứ giác CDMN có 
(từ 1)
(chứng minh trên)
Nên tứ giác CDMN là hình bình hành (DHNB).
Suy ra (tiên đề Ơ-clit) 
và (Do N là trung điểm của AC)
Xét tứ giác AMDN có (chứng minh trên)
 (chứng minh trên)
	Nên tứ giác AMDN là hình bình hành.
Vậy .
d) Vì 
Mà (Tính chất đường trung bình)
Do đó MD và MP cùng thuộc một đường thẳng (theo tiên đề Ơ- clit) => Ba điểm P, M, D thẳng hàng
thì .
Xét tứ giác PNCD có (vì ) tứ giác PNCD là hình thang (DHNB).
Để tứ giác PNCD là hình thang cân 
 (vì )
Xét để khi và chỉ khi cân tại B vì PC, AM là các đường trung tuyến.
Vậy khi cân tại B thì tứ giác PNCD là hình thang cân.
Bài 3. 
a) Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB (GT)
 là đường trung bình của tam giác ABC.
 (1)
Mà M, N là trung điểm của BG, CG (GT)
=> MN là đường trung bình trong tam giác GBC
Từ Tứ giác là hình bình hành.
b)
* Để hình bình hành FEMN là hình chữ nhật 
(c-g-c)
 cân ở .
* Để hình bình hành FEMN là hình thoi .
Bài 4. 
a) Xét hai tam giác vuông ADC và EDC có (E và A đối xứng qua D), cạnh CD chung (c.g.c) .
Tam giác ACE có vuông tại C (đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện), lại có (cmt) là tam giác vuông cân.
b) Do MN là đường trung bình của tam giác HAE nên mà (t/c hình vuông) .
Cũng do MN là đường trung bình của tam giác HAE nên .
Tứ giác BMNC có là hình bình hành.
c) Ta có (cmt) mà .
Tam giác ANB có là trực tâm của tam giác ANB.
d) Vì M là trực tâm của tam giác ANB (cmt) nên (1)
mặt khác (2) (t/c hình bình hành). Từ (1) và (2) suy ra . 
Bài 5. 
a) 
+) Vì ABCD là hình bình hành
+) Có :
 ( vì M là trung điểm của BC )
( vì N là trung điểm của AD )
Mà (gt)
 ( cmt )
Suy ra 
Xét tứ giác MNDC có MC // ND , MC = ND
 là hình bình hành có MC = CD
 là hình thoi ( hbh có 2 cạnh kề bằng nhau ).
b) Vì là hình thoi.
Xét có ME // BF , M là trung điểm BC , E CF
Þ E là trung điểm của CF ( định lý về đường trung bình của tam giác ).
c) Có ,
+) Chứng minh NE là đường trung bình của hình thang vuông AFCD Þ E là trung điểm của CF 
Þ NE là đường trung tuyến của 
 mà NE cũng là đường cao của ( do )
Þ cân tại N
+) Vì cân tại N
ÞNE cũng là đường phân giác của (1)
Vì MNDC là hình thoi Þ (2)
Từ (1) (2) Þ
+) cân tại N có 
Þ là tam giác đều.
d) Có :
Mà BC // AD 
Nên ( quan hệ từ vuông góc đến song song )
Þ CB là đường cao của 
Xét : có CB và NF là hai đường cao
mà 
Nên M là trực tâm của 
Þ FM là đường cao thứ ba Þ
Lại có : ( t/c đường chéo hình thoi)
Þ F, M , D thẳng hàng. ( qua điểm M chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với NC ) (đpcm)
Bài 6. 
Gọi I đối xứng với A qua Ox, K đối 
 xứng với A qua Oy.
 . Do đó
Suy ra chu vi tam giác ABC nhỏ nhất 
bằng IK khi B,C là giao điểm của IK 
với Ox, Oy.
Bài 7. 
a) Chứng minh tứ giác DEFA là hình bình hành
Xét có: E là trung điểm của BC, F là trung điểm của AC
Suy ra: EF là đường trung bình của 
 và (1)
Mà và (2)
Từ (1) và (2) suy ra: và 
Xét tứ giác DEFA có: và 
Do đó, tứ giác DEFA là hình bình hành
b) Để tứ giác DEFA là hình chữ nhật thì 
Vậy tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác DEFA là hình chữ nhật.
Để tứ giác DEFA là hình thoi thì 
Mà 
Vậy tam giác ABC cân tại A thì tứ giác DEFA là hình thoi.
Kết hợp 2 trường hợp trên, ta có vuông cân tại A thì tứ giác DEFA là hình vuông.
Bài 8. 
a) Chứng minh E và F đối xứng qua AB
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MB
Xét tứ giác AMND có: và (vì )
Suy ra: tứ giác AMND là hình bình hành 
Mà (vì tứ giác ABCD là hình bình hành)
(Hai góc so le trong)
Xét và có:
Do đó: 
Và tại O
 là đường trung trực của đoạn thẳng EF
 E và F đối xứng với nhau qua AB.
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi.
Xét tứ giác MEBF có: 
Suy ra: tứ giác MEBF là hình bình hành (1)
Vì là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MEBF là hình thoi.
Chương II. Đa giác - Diện tích đa giác.
Bài 1:
Kẻ 
Ta có: 
Xét tứ giác BCKH có:
 (cmt)
Nên tứ giác BCKH là hình chữ nhật 
Ta có:
Bài 2:
a) Ta có :đều 
Kẻ 
 K là trung điểm của AC
Xét vuông tại K có :
Ta có: 
(vì AB = AC)
Vậy 
b) Gọi I là trung điểm của AM. 
Ta có: 
: không đổi
Tam giác PIQ cân ở I, có góc ở đỉnh không đổi. Nên cạnh đáy PQ nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.
Mà 
Do đó PQ nhỏ nhất AM nhỏ nhất
Vậy khi M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC thì EF có độ dài nhỏ nhất.
Bài 3:
Ta có: (chung đường cao từ M đến BN)
A
B
M
C
N
G
Ta có: (chung đường cao từ N đến BC)
Ta có: (chung đường cao từ B đến AC)
Từ (1), (2), (3) 
a) Ta có: SGMN = 10cm2
A
P
B
Q
C
D
R
E
D’
A’
B’
C’
b) Ta có: SABC = 48cm2
Bài 4.
a) Chứng minh: AQCE là hình bình hành
Þ AQ // CE Þ A’B’ // C’D’ 
Chứng minh: DPBR là hình bình hành
Þ DP // BR Þ A’D’ // C’B’ 
Þ A’B’C’D’ là hình bình hành
b) Tính SA’B’C’D’
Xét DAB’B có AP = PB; PA’// BB’ Þ AA’ = A’B’(Định lí về đường TB của tam giác)
Xét DCDD’ có RC = RD; RC’// DD’ Þ CC’ = C’D’(Định lí về đường TB của tam giác)
Mà A’B’ = C’D’ (A’B’C’D’ là hình bình hành)
Þ AA’ = A’B’ = CC’ = C’D’
Xét DBCC’ có QC = QB; QB’// CC’ Þ BB’ = B’C’(Định lí về đường TB của tam giác)
Ta có: (chung đường cao từ C đến AQ)
 (1)
Ta có: (chung đường cao từ A đến BC)
 (2)
Từ (1), (2)