Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Lục Ngạn (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT LỤC NGẠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 – 2021
 (Đề thi gồm 1 trang) MÔN THI : TOÁN – LỚP 8 
 Ngày thi: 18/3/2021
 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (6 điểm)
 x3 3 2x 6 x 3
 1. Cho biểu thức P với x 1, x 3. 
 x2 2x 3 x 1 3 x
 a) Rút gọn biểu thức P 
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình : m(m 2x) x 8m có một 
 nghiệm x 3
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Gọi Q(x) là đa thức thương trong phép chia đa thức A(x) x4 3x3 4x2 4x 12 
 cho đa thức B(x) x2 x 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q(x)
 2. Cho các số thực a, b thỏa mãn : a 2 b2 ab a b 1 0 Tính giá trị của biểu thức 
 M 3a3 2b4 1
Bài 3: (3,0 điểm) 
 1. Cho số nuyên tố p thỏa mãn p 6 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p2 2021 là hợp 
 số
 2. Tìm tất cả các số tự nhiên a để a 2 3a là số chính phương
Bài 4: (6,0 điểm) 
 1. Cho tam giác nhọn ABC(AB AC) có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H . 
 Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng vuông góc với AB tại B ở D .
 a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
 b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD . Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với 
 AH cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ dài đoạn thẳng 
 OK biết AH 6cm
 2. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I và 
 BD.CE 2BI.CI . Tính số đo B· AC
Bài 5: (1,0 điểm) 
 3 3 3 3
 Cho S a1 a 2 a3 ... a100 với a1,a 2 ,a3...,a100 là các số nguyên thỏa mãn 
 2022
 a1,a 2 ,a3...,a100 2021 . Chứng minh rằng: S 16.
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = PHÒNG GD&ĐT LỤC NGẠN ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 – 2021
 (Đề thi gồm 1 trang) MÔN THI : TOÁN – LỚP 8 
 Ngày thi: 18/3/2021
 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời ian giao đề
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (6 điểm)
 x3 3 2x 6 x 3
 1. Cho biểu thức P với x 1, x 3.
 x2 2x 3 x 1 3 x
 a) Rút gọn biểu thức P
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình : m(m 2x) x 8m có một 
 nghiệm x 3
 Lời giải
 x3 3 (2x 6)(x 3) (x 3)(x 1)
 1. a) P 
 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) (x 3)(x 1)
 x3 3 2x2 12x 18 x2 4x 3 x3 3x2 8x 24
 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)
 (x 3)(x2 8) x2 8
 (x 1)(x 3) x 1
 x2 8 x(x 1) (x 1) 9 9
 b) P x 1 
 x 1 x 1 x 1
 9
 P nguyên khi nguyên hay x 1 Ư(9) = 1; 3; 9
 x 1
 Suy ra x 10; 4; 2;0;2;8 thỏa mãn điều kiện
 Vậy x 10; 4; 2;0;2;8
 2. Phương trình: m(m 2x) x 8m có một nghiệm x 3 suy ra m(m 2.3) 3 8m
 m2 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 m 1hoặc m 3
 Vậy m 1hoặc m 3
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Gọi Q(x) là đa thức thương trong phép chia đa thức 
 A(x) x4 3x3 4x2 4x 12 cho đa thức B(x) x2 x 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 Q(x)
 2. Cho các số thực a, b thỏa mãn : a 2 b2 ab a b 1 0 Tính giá trị của biểu thức 
 M 3a3 2b4 1 Lời giải
 1
 x4 + 3x3 – 4x2 - 4x +12 x2 + x – 1
 x4 + x3 + x2 x2 + 2x – 5
 2x3 - 3 x2- 4x + 12
 2x3+ 2 x2- 2x 
 -5 x2- 2x +12
 -5 x2- 5x + 5
 3x + 7
 Vậy Q(x) x2 2x 5 (x2 2x 1) 6 (x 1)2 6
 Ta có (x 1)2 0x (x 1)2 6 6x
 Do đó Q(x) min 6 x 1 0 x 1
 2. Ta có a 2 b2 ab a b 1 0
 2a 2 2b2 2ab 2a 2b 2 0
 (a 2 2ab b2 ) (a 2 2a 1) (b2 2b 1) 0
 (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0
 (a b)2 0 a b
 2 a 1
 (a 1) 0 a 1 
 2 b 1
 (b 1) 0 b 1
 a 1 3 4 3 4
 Thay vào M 3a 2b 1 ta được M 3.1 2( 1) 1 0
 b 1
 Vậy giá trị của biểu thức M 0 .
Bài 3: (3,0 điểm) 
 1. Cho số nguyên tố p thỏa mãn p 6 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p2 2021 là 
 hợp số
 2. Tìm tất cả các số tự nhiên a để a 2 3a là số chính phương
 Lời giải
 1. p 2 p 6 8 là hợp số (loại)
 p 3 p 6 9 là hợp số (loại)
 p 3mà p là số nguyên tố p không chia hết cho 3 p2 3 dư 1
 p2 2021 là hợp số
 2. Giả sử a 2 3a b2 4a 2 12a 4b2 4a 2 12a 9 4b2 9
 (2a 3)2 (2b)2 9 (2a 2b 3)(2a 2b 3) 9 Lập bảng 
 2a 2b 3 1 -1 3 -3
 2a 2b 3 9 -9 -3 3
 2a 2b -2 -4 0 -6
 2a 2b -6 -12 -6 0
 a -2 -4 3 3
 2 2
 b -1 -2 3 3
 2 2
 3 2
 Vậy a 2; 4;  thì a 3a là số chính phương
 2
Bài 4: (6,0 điểm) 
 1. Cho tam giác nhọn ABC(AB AC) có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H . 
 Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng vuông góc với AB tại B ở D .
 a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
 b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD . Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với 
 AH cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ dài đoạn thẳng 
 OK biết AH 6cm
 2. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I và 
 BD.CE 2BI.CI . Tính số đo B· AC
 Lời giải
 A
 M
 N
 H
 O
 B C
 K
 D
 1. 
 a) Ta có BD  AB (gt) và CH  AB (gt) suy ra BD//CH (1) Ta có DC  AC (gt) và BH  AC (gt) suy ra DC//BH (2)
 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành
 b) Xét AHD có: OA OD(gt) và OK//AH (gt) suy ra K là trung điểm của HD (3)
 Vì tứ giác BHCD là hình bình hành theo (cmt) có HD và BC là hai đường chéo (4)
 Từ (3) và (4) K là trung điểm của BC (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi 
 đường)
 Vì OK là đường trung bình của AHD (cmt)
 1 1
 OK AH .6 3(cm)
 2 2
 2. Đặt AB c
 A
 AC b
 BC a D
 E
 BD là phân giác của ABC I
 DA AB DA AB
 DC BC DA DC AB BC
 B C
 DA AB DA c bc
 DA 
 AC AB BC b c a c a
 AI là phân giác của ABD
 BI AB BI AB
 ID AD BI ID AB AD
 BI c c a
 bc
 ID c a b c
 c a
 CI b a
 Tương tự 
 CE a b c
 Mà DB.CE 2BI.CI
 BI CE c a a b c
 BD 2CI a b c 2(b a)
 2(bc ab ac a 2 ) a 2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 a 2 b2 c2
 Suy ra ABC vuông tại A . Vậy B· AC = 900
Bài 5: (1,0 điểm) 
 3 3 3 3
 Cho S a1 a 2 a3 ... a100 với a1,a 2 ,a3...,a100 là các số nguyên thỏa mãn: 
 2022
 a1,a 2 ,a3...,a100 2021 . Chứng minh rằng: S 16.
 Lời giải 2 2 2 2
 S (a1 a 2 a3 ... a100 ) a1(a1 1) a 2 (a 2 1) a3 (a3 1) ... a100 (a100 1)
 2
 a1(a1 1)(a1 1) a 2 (a 2 1)(a 2 1) a3 (a3 1) ... a100 (a100 1)(a100 1)6 (tích 3 số liên 
tiếp)
 S 20212020 6
Mà 2021  5(mod 6)  1(mod 6)
 20212020  ( 1)2020 (mod 6) 1(mod 6)
 20212020 6k 1 (k N ) S (6k 1)6 S 1 6k6 S 16 (đpcm)
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =