Bài tập Toán Lớp 8 - Giải toán bằng cách lập phương trình

1.Toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số.
*Bài toán 1: “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
Ví dụ : Số 78 = 70 + 8 = 7.10 + 8 
 65 = 60 + 5 = 6.10 + 5 
 ab = a. 10 + b 
Gọi chữ số hàng chục là x Đk : x là số tự nhiên; 0< x <= 9
Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x 
Ta có số ban đầu là : x(16-x) = x.10 + 16 –x 
Nếu đổi chỗ 2 chữ số ta có số: (16 -x)x = (16-x). 10 + x 
Vì số mới lớn hơn số cũ là 18 đơn vị nên ta có PT :
(16 – x).10 + x – (x.10 + 16 –x ) = 18
 160 – 10x + x – 10x – 16 + x = 18 
 - 18x = 18 + 16 – 160 
 -18x = - 126 
 x = 7 (t/m)Chũ số hàng chục là 7.Chữ số hàng đơn vị là : 16 – 7 = 9 Vậy số đã cho là: 79
*Bài toán 2: 
 Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. 
 Tìm hai số đó. 
Giá trị
Thương
Số bé
x
Số lớn
x + 12
Ta có Phương trình: - = 4
2. Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số công nhân của phân xưởng.
*Bài toán 3 Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. 
 Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. 
Số sách TV thứ nhất
Số sách thư viện thứ 2
Ban đầu
x
15 000 – x 
Sau khi cho
X – 3000 
15 000 – x + 3000
Vì số sách hai thư viện bằng nhau nên ta có PT 
X – 3000 = 15 000 – x + 3000 
 *Bài toán 4: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. 
 Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.
 Số CN xí nghiệp 1 = Số CN xí nghiệp 2 => 4. Số CN xí nghiệp 1 = 3. Số công nhân XN 2 
 3 	4
Số CN xí nghiệp 2 = 4. Số CN xí nghiệp 1 : 3 
Gọi số công nhân của xí nghiệp 1 trước kia là x (Công nhân) đk : x là số tự nhiên, x > 0 
Số công nhân của xí nghiệp 2 là : 4.x : 3 
Số công nhân xí nghiệp 1 hiện nay là: x + 40 
Số công nhân xí nghiệp 2 hiện nay: 4x : 3 + 80 
Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 ta có: 
 (x+40): 8 = [ 4x : 3 + 80] : 11
 (40 + x). 11 = [ 4x : 3 + 80].8
440 + 11x = 32x/3 + 640 
 11x – 32x/3 = 640 – 440 
 x/3 = 200 
 x = 600 (t/m)
Số công nhân xí nghiệp 1 trước kia là 600 cn 
Số công nhân của xí nghiệp 2 trước kia là 600.4/3 = 800 CN
Số CN của xí nghiệp 1 hiện nay là : 600 + 40 = 640 cn 
Số CN của xí nghiệp 2 hiên nay là 800 + 80 =880 CN
 *Bài toán 5: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.
Cách đây 10 năm
Sau đây 2 năm 
Người thứ nhất
 3.x
 3x + 10 + 2 = 3x + 12
Người thứ hai 
 X 
X + 10 + 2 = x + 12 
Vi sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất: 
 3x + 12 = 2(x + 12)
*Bài toán 6: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. 
 Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?
Số ghế = số người ngồi. 
Tổng số ghế = Số dãy ghế x Số ghế trong 1 dãy
(Quãng đường) = (Vận tốc) x (Thời gian).
Tổng số ghế
Số ghế trong 1 dãy 
Số dãy ghế 
Ban đầu
100
100/x
x 
Thức tế 
144
144/x+2
x + 2
Vì mỗi dãy phải kê thêm 2 ghế nên ta có phương trình:
144/x+2 - 100/x = 2
144.x – 100(x +2) = 2x.(x+2)
 144x – 100x – 200 = 2x2 + 4x 
 2x2 + 4x – 144x + 100x + 200 = 0 
 2x2 – 40x + 200 = 0 
 x2 – 20x + 100 = 0 
 (x-10)2 = 0 
 x – 10 = 0 
 x = 10 (tm)
3. Dạng toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy.
*Bài toán 6: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. 
 Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?
Phân tích bài toán: Bài toán có hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và số ghế sau khi thêm. Nếu chọn số ghế lúc đầu là x, ta có thể biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và có thể điền được vào các ô trống còn lại. Dựa vào giả thiết: Mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta có thể lập được phương trình
Số dãy ghế
Số ghế của mỗi dãy
Lúc đầu
x
Sau khi thêm
x + 2
 II. Loại toán chuyển động:
1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường.
 *Bài toán 7: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 80km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h20',ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h.
 Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
Quãng đường 
Vận tốc 
Thời gian
Oto
2(x+17)
X + 17
2h
Cano
5/3.x 
X
2h20 = 5/3 h
 Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km ta có PT: 
2(17+x) – 5/3x = 80
 6(17 + x )- 5x = 240 
 102 + 6x – 5x = 240 
X = 240 – 102 
X = 238 
Vân vận tốc của Cano là 238ikm/h
Vận tốc của Oto là 238 + 17 = 255 km/h
* Bài toán 8: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h.
 Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30'?
2. Chuyển động thường:
 Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức:
 . vxuôi = vthực + vnước vngược = vthực - vnước
* Bài toán 9: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20'. 
 Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h.
S(km)
v(km/h)
t(h)
Tàu: x
Nước: 4
Xuôi
80
x + 4
Ngược
80
x - 4
3. Chuyển động có nghỉ ngang đường.
 Học sinh cần nhớ: .tdự định =tđi + tnghỉ
 .Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi
*Bài toán 10: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. 
 Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.
* Bài toán 11: Một Ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 1h Ôtô bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc lên 6km/h. tính vận tốc của Ôtô lúc đầu.
4. Chuyển động ngược chiều:
 Học sinh cần nhớ: 
 + Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S
 + Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (không kể thời gian đi sớm).
* Bài toán 12: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30' với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. 
 Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?
5. Chuyển động cùng chiều: Học sinh cần nhớ: 
 + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.
 + Cùng khởi hành: tc/đ chậm - tc/đ nhanh = tnghỉ (tđến sớm)
 + Xuất phát trước sau: tc/đ trước - tc/đ sau = tđi sau 
	tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước
* Bài toán 13: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20' một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. 
 Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.
* Bài toán 14: Một người đi xe đạp tư tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1h30' một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1h. 
 Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.
 6. Chuyển động một phần quãng đường:
 - Học sinh cần nhớ:
 +, tdự định = tđi +tnghỉ + tvề sớm
 +,tdự định = tthực tế - tđến muộn
 +,tchuyển động trước -tchuyển động sau = tđi sau ( tđến sớm) - Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là 
 Bài toán 15: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1h40'. 
 Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?
* Bài toán 16: Một người dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định. 
 Tính quãng đường AB?
*Bài toán 17: Một người đi xe đạp với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h. Nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe đạp ở B.Nhưng sau khi đi được quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h. Nên hai người gặp nhau tại điểm C cách B 10 km. 
 Tính quãng đường AB?
*Bài toán 18: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đã đi được quãng đường AB, xe con tăng thêm vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại. 
 Tính quãng đường AB? Biết rằng : xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.