Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Toán Lớp 8 - Phòng GD & ĐT Chí Linh

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 
b) x3 + y3 + z3 – 3xyz
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4
b) Tìm GTNN: 
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1
b) Tìm đa thức dư của phép chia đa thức f(x) = x100 + x55 + x2 + x + 5 cho đa thức x2 -1
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F.
a) Chứng minh rằng: BM = ND.
b) EMFN là hình gì?
c) Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC. 
Câu 5 (1,0 điểm): 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
------------------Hết-------------------
UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH
HƯỠNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HSG
MÔN: Toán 8
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,0 điểm)
a. (1,0 điểm)
 a) (1 điểm)
 = 
 = 
 = 
0,5
0,25
0,25
b. (1,0 điểm)
x3 + y3 + z3 – 3xyz 
= (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz 
= (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) 	
= (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] 	
= (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] 	
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(2,0 điểm)
a. (1,0 điểm)
 Từ a2 + b2 + c2 = 14 
 (a2 + b2 + c2)2 = 196
 a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 	
Ta lại có: a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0	
 (ab + bc + ca) = -7 	
 (ab + bc + ca)2 = 49
 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) = 49	
 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49	
Do đó N = a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 196 – 2.49 = 98 
0,25
0,25
0,25
0,25
b. (1 điểm)
P = 
 P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010
 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2,0 điểm)
(1,0 điểm)
 p = n3 - n2 + n - 1
- HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 
- Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
- Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
- Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
 - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố
0,25
0,25
0,25
0,25
(1,0 điểm)
vì đa thức chia coa bậc là 2 nên đa thức dư có dạng ax + b.
Gọi thương của phép chia f(x) cho x2 -1 là Q(x)
Þ f(x) = (x2-1).Q(x) +ax + b
Thay x = 1 Þ a + b = 9 (1)
Thay x = -1 Þ -a + b = 5 (2)
Từ (1), (2) Þ a = 2, b= 7
Vậy đa thức dư là 2x + 7
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3,0 điểm)
N
D
F
C
M
A
d
H
O
E
B
1
3
2
2
1
2
1
0,25
a. (0,75 điểm)
a) ABCD là hình vuông ( gt)
A1 + MAD = 900 ( gt) (1) 
Vì AMHN là hình vuông ( gt)
 A2 + MAD = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2 
Ta có: ( c.g.c)
 B = D1 = 900 và BM= ND
0,25
0,25
0,25
b. (1,0 điểm)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN
 O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN
 AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH
 EN = EM và FM = FN (3)
Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N1=M3)
 O1 = O 2
EM = NF (4)
Từ (3) và (4) EM=NE=NF=FM
MENF là hinh thoi (5)
0,25
0,25
0,25
0,25
c. (1,0 điểm)
 Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN
Mà DN = MB ( cmt)
 MF=DF+BM
Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a
P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB)
= (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a
Hình vuông ABCD cho trước a không đổi p không đổi
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1,0 điểm)
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 Þ x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x Î R (1)
 y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 Þ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y Î R (2)
+ 
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009
 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3)
+ Từ (1) ; (2) và (3) Þ B ≥ 2.3 + 2009 Þ B ≥ 2015
*) B = 2015 Û x = 1 và y = -3
*) Min B = 2015 Û x = 1 và y = - 3
0,25
0,25
0,25
0,25
* Ghi chú: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa