Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Rạch Giá (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT RẠCH GIÁ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 ĐỀ SỐ 4 NĂM HỌC: 2019-2020
 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
 1. Cho A 1 3 32 33 34... 396 397 398 399.Chứng minh rằng A chia hết cho 40.
 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử B x 4 2021x 2 2020x 2021.
Bài 2: (4,0 điểm)
 a 2 b2 1
 1. Cho a, b 0 và a b 1. Chứng minh .
 a 1 b 1 3
 x3 x 2 2x
 2. Cho biểu thức C .
 x x 2 x 2 4
 a) Rút gọn biểu thức C.
 b) Tìm x nguyên để C có giá trị nguyên.
 c) Tìm giá trị của C khi x=6.
Bài 3: (4,0 điểm) 
 2
 1. Giải phương trình: x 2 x 3 x 4 12 .
 2. Hai đội bóng bàn của trường A và trường B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội A 
 phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi số cầu thủ hai đội. Tính số 
 đấu thủ của mỗi đội.
Bài 4: (4,0 điểm) 
 Một ngọn đèn đặt ở vị trí A, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H. Người ta cắm một 
 chiếc cọc dài 1,6m ở hai vị trí B và C thẳng hàng với H. (H nằm giữa B và C). Khi đó bóng của 
 chiếc cọc dài 0,4m và 0,6m. Biết khoảng cách hai chiếc cọc là 1,4m. Tính độ cao của ngọn đèn. 
Bài 5: (4,0 điểm) 
 Cho ABC cân tại A có BC 2a, M là trung điểm của BC , lấy D,E lần lượt thuộc 
 AB, AC sao cho D· ME Bµ
 a) Chứng minh tích BD.CE không đổi
 b) Chứng minh DM là tia phân giác của B· DE .
 c) Tính chu vi của AED nếu ABC là tam giác đều.
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ RẠCH GIÁ
 Năm học: 2019-2020
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (4,0 điểm)
 1. Cho A 1 3 32 33 34... 396 397 398 399.Chứng minh rằng A chia hết cho 40.
 Lời giải
 Ta có A 1 3 32 33 34... 396 397 398 399
 1 3 32 33 34 35 36 37 ... 396 397 398 399 
 1 3 32 33 34 1 3 32 33 ... 396 1 3 32 33 
 40 34.40 ... 396.40 
 40 1 34 38 ... 396 40 
 Vậy A40 
 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử B x 4 2021x 2 2020x 2021.
 Lời giải
 Ta có 
 B x 4 2021x 2 2020x 2021
 x 4 x 2021x 2 2021x 2021 
 x x3 1 2021 x 2 x 1 
 x x 1 x 2 x 1 2021 x 2 x 1 
 x 2 x 1 x 2 x 2021 
 Vậy B x 2 x 1 x 2 x 2021 
Bài 2: (4,0 điểm)
 a 2 b2 1
 1. Cho a, b 0 và a b 1. Chứng minh .
 a 1 b 1 3
 Lời giải
 Xét hiệu 
 a 2 b2 1
 a 1 b 1 3
 a 2 (b 1) b2 (a 1) 1
 (a 1)(b 1) 3
 a 2b a 2 b2a b2 1
 ab a b 1 3
 ab(a b) (a 2 b2 ) 1
 ab 1 1 3
 ab (a b)2 2ab 1
 ab 2 3
 1 ab 1
 ab 2 3
 Trang 2 3 3ab ab 2
 3(ab 2)
 1 4ab
 3(ab 2)
 (a b)2 4ab
 3(ab 2)
 (a b)2
 3(ab 2)
 Nhận xét: (a b)2 0 a, b 
 Mà a, b 0 3(ab 2) 0 
 (a b)2
 0 a, b>0 
 3(ab 2)
 1
Dấu « = » xảy ra khi a b 
 2
 a 2 b2 1 a 2 b2 1
Vậy 0 
 a 1 b 1 3 a 1 b 1 3
 x3 x 2 2x
 2. Cho biểu thức C .
 x x 2 x 2 4
 a) Rút gọn biểu thức C.
 b) Tìm x nguyên để C có giá trị nguyên.
 c) Tìm giá trị của C khi x=6.
 Lời giải
 a) ĐKXĐ x 2 
 + Với x 2 ta có :
 x3 x 2 2x x x 2 x 2 x x 2 x 2 
 C 
 x(x 2) x 2 4 x 2 2x x 2 4 2x 4
 x x 2 2x x 2 x x 2)(x 1 x(x 1)
 .
 2(x 2) 2(x 2) 2
 + Với x 2 ta có:
 x3 x 2 2x x x 2 x 2 x x 2 x 2 x
 C .
 x(x 2) x 2 4 x 2 2x x 2 4 2(x 2 +x 2) 2
 x(x 1)
 Vậy với x 2 thì C .
 2
 x
 Với x 2 thì C .
 2
 b) Với x Z,x 2 ta có x(x 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp suy ra x(x 1)2
 x(x 1)
 Hay C Z
 2
 Trang 3 x
 Với x Z,x 2 để C Z thì Z x2 x 2k, (k Z, k<-1)
 2
 Vậy để C nhận giá trị nguyên thì x Z, x 2 hoặc x 2k, (k Z, k<-1)
 6(6 1)
 c) Với x 6 2 thì C 15 
 2
 Vậy với x 6 thì giá trị của biểu thức C 15 
 Bài 3: (4,0 điểm) 
 2
 1. Giải phương trình: x 2 x 3 x 4 12 .
 Lời giải
 2
 x 2 x 3 x 4 12 
 x 2 6x 8 x 2 6x 9 12 (1)
 Đặt x 2 6x 8 a Khi đó phương trình 1 trở thành
 a(a 1) 12 
 a 2 a 12 0 
 (a 3)(a 4) 0 
 a 3
 a 4
 Với a 3 ta có 
 x 2 6x 8 3 
 (x 1)(x 5) 0 
 x 1
 x 3
 Với a=-4 ta có
 x 2 6x 8 4 
 x 2 6x 9 3 
 (x 3)2 3 (vô lí)
 Vậy tập nghiệm cỉa phương trình là S 1; 5 . 
 2. Hai đội bóng bàn của trường A và trường B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội A 
 phải lần lượt gặp các đối thủ của đội B một lần và số trận đấu gấp đôi số cầu thủ hai đội. Tính số 
 đấu thủ của mỗi đội.
 Lời giải
Bài 4: (4,0 điểm) 
 Một ngọn đèn đặt ở vị trí A, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là H. Người ta cắm một 
 chiếc cọc dài 1,6m ở hai vị trí B và C thẳng hàng với H. (H nằm giữa B và C). Khi đó bóng của 
 chiếc cọc dài 0,4m và 0,6m. Biết khoảng cách hai chiếc cọc là 1,4m. Tính độ cao của ngọn đèn. 
 Lời giải
 Trang 4 A
 F E
 x
 N M
 C H B
 Đặt AH x 
 Gọi đỉnh cọc cắm tại B và C lần lượt là E, F , bóng lần lượt có độ dài 
 BM 0,4 m; CN 0,6m BC 1,4m .
 Xét MAH có EB / /AH (cùng vuông góc với BC ).
 MB BE 0,4 1,6 0,4x
 BH 0,4 
 MH AH 0,4 BH x 1,6
 Xét NAH có CF / /AH (cùng vuông góc với BC ).
 CN CF 0,6 1,6 0,6x
 CH 0,6
 NH AH 0,6 CH x 1,6
 Mà BC BH CH 1,4 
 0,4x 0,6x
 0,4 0,6 1,4 
 1,6 1,6
 x
 2,4 x 3,84(m)
 1,6
 Vậy ngọn đèn cao 3,84 m 
Bài 5: (4,0 điểm) 
 Cho ABC cân tại A có BC 2a, M là trung điểm của BC , lấy D,E lần lượt thuộc 
 AB, AC sao cho D· ME Bµ
 a) Chứng minh tích BD.CE không đổi
 b) Chứng minh DM là tia phân giác của B· DE .
 c) Tính chu vi của AED nếu ABC là tam giác đều.
 Lời giải
 a) ABC cân tại A Bµ Cµ A
 Mà D· ME Bµ D· ME Cµ 
 µ · · 0
 Xét MCE có C CEM CME 180 D
 Lại có B· MD D· ME E· MC 1800 
 K H
 Mà D· ME Cµ (cmt) E
 N P
 Suy ra C· EM B· MD 
 B M C
 Trang 5 Xét BMD và CEM có:
Bµ Cµ ( ABC cân tại A )
B· MD C· EM (cmt)
 BMD# CEM (g g) . 
 BD BM
 BD.CE BM.CM .
 CM CE
 1
Ta có BM CM BC a (do AM là trung tuyến).
 2
Suy ra BD.CE BM.CM a 2 .
Vậy: BD.CE không đổi.
 DM BM DM EM
b) Vì BMD# CEM (cmt) . Mà BM MC suy ra .
 EM EC MC EC
Xét MED và CEM có:
D· ME Cµ (cmt).
DM EM
 (cmt).
MC EC
Suy ra MED# CEM (c-g-c).
Mà BMD# CEM (cm câu a).
Suy ra MED# BMD M· DE M· DB (hai góc tương ứng)
Suy ra DM là phân giác của B· DE .
c) Từ M kẻ MH  AB (N AB); MH  DE (H DE); MP  AC (P AC) .
Từ C kẻ CK  AB (K AB) .
Xét MND và MHD có: 
 M· ND M· HD 900 
 M· DN M· DH (DM là phân giác B· DE )
 DM là cạnh chung
Suy ra MND = MHD (cạnh huyền - góc nhọn)
 DN DH (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta cũng có EH EP .
 PADE AD AE DE AD DH AE EH 
 AD DN AE EP
 AN AP .
Xét BKC có MB MC ; MN / /CK (cùng vuông góc với AB ). Suy ra N là trung điểm của 
AB .
 1
 BN NK BK .
 2
Mặt khắc do ABC đều nên CK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
 1 a
Suy ra BK AB a BN 
 2 2
Xét BNM và CPM có:
 B· NM C· PM 900 
 Trang 6 BM CM (gt)
Bµ Cµ 600 
 BNM CPM (cạnh huyền- góc nhọn).
 BN CP (hai cạnh tương ứng).
 AN AP 
 a
P AN AP 2AN=2(AB-BK)=2(2a ) 3a
 ADE 2
Vậy khi ABC đều thì chu vi ADE bằng 3a 
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 7