Đề thi olympic cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Ba Vì (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT BA VÌ ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN
 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2018 – 2019
 Môn : Toán 8
 Khóa thi ngày :10/4/2019
 Thời gian làm bài: 120 phút
 (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm)
 x2 2x 2x2 1 2 
 Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 
 2x 8 8 4x 2x x x x 
 a) Tìm x để giá trị của A được xác định.Rút gọn biểu thức A
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
 1
 c) Tìm x để A 
 2
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm
 x m x 2
 2
 x 1 x
 2. Giải phương trình
 x2 3x 2 x2 13x 42 180
Bài 3: (4,0 điểm) 
 1. Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a3 b3 c3 6 .Chứng minh rằng:
 a b c 6
 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 3x2 14x 17
 B 
 x2 4x 4
Bài 4: (6,0 điểm) : Cho hình vuông ABCD , trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (CM CD) ,vẽ hình 
 vuông CMNP ( P nằm giữa B và C ), DP cắt BM tại H ; MP cắt BD tại K ;
 a) Chứng minh : DH vuộng góc với BM
 PC PH KP
 b) Tính Q 
 BC DH MK
 c) Chứng minh: MP.MK DK.BD DM 2
Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các giá trị x,y nguyên dương thỏa mãn
 x2 y2 x 3y 4 0
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN 
 MÔN TOÁN 8
 Năm học: 2018-2019
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (5,0 điểm)
 x2 2x 2x2 1 2 
 Cho biểu thức A 2 2 3 . 1 2 
 2x 8 8 4x 2x x x x 
 a) Tìm x để giá trị của A được xác định.Rút gọn biểu thức A
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
 1
 c) Tìm x để A 
 2
 Lời giải
 a)Biểu thức A xác định khi x 0; x 2
 x2 2x 2x2 1 2 
 A 2 2 3 . 1 2 
 2x 8 8 4x 2x x x x 
 2
 x 2x x 2 2.2x x2 x 2
 A .
 2. x 2 . x2 4 x2
 x3 4x (x 2)(x 1)
 A .
 2(x 2)(x2 4x) x2
 x 1
 A 
 2x
 1 x 1 1
 b) Để A 
 2 2x 2
 x 1 1
 1 0 0
 x x
 x 0
 Đối chiếu điều kiện ta có 
 1
 x 0 thì A 
 2
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Xác định m để phương trình sau vô nghiệm
 x m x 2
 2(*)
 x 1 x
 2. Giải phương trình
 x2 3x 2 x2 13x 42 180
 Lời giải
 1.ĐKXĐ: x 0; x 1
 PT (*) x2 mx x2 x 2 2(x 1)x
 (m 3)x 2
 Để phương trình (*) vô nghiệm m 3 0
 m 3
 Vậy m 3 thì phương trình (*) vô nghiệm
 2. Giải phương trình
 Trang 2 x2 3x 2 x2 13x 42 180
 (x 1)(x 2)(x 6)(x 7) 180
 (x2 5x 6)(x2 5x 14) 180 0
 Đặt x2 5x 10 y ta có
 (y 4)(y 4) 180 0
 y2 196 0
 (y 14)(y 14) 0
 y 14
 y 14
 Khi y 14 ta có x2 5x 10 14
 x2 5x 24 0
 x 3
 x 8
 Khi y 14 ta có x2 5x 10 14
 x2 5x 4 0
 x 1
 x 4
 Vậy S 3;1;4;8
Bài 3: (4,0 điểm) 
 1. Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a3 b3 c3 6 .Chứng minh rằng:
 a b c 6
 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 3x2 14x 17
 B 
 x2 4x 4
 Lời giải
 1.Ta có a3 a a(a2 1) a(a 1)(a 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
 a(a 1)(a 1)2;
 a(a 1)(a 1)3 mà (2,3) 1
 a(a 1)(a 1)6 hay a3 a6
 Chứng minh tương tự ta có b3 b6;c3 c6
 [a3 b3 c3 (a b c)]6
 Mà a3 b3 c3 6 a b c 6 (đpc/m)
 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 3x2 14x 17
 B 
 x2 4x 4
 ĐK: x 2
 (2x2 8x 8) (x2 6x 9)
 Ta có B 
 x2 4x 4
 Trang 3 (x 3)2
 B 2 
 (x 2)2
 Vì (x 3)2 0;(x 2)2 0 vói mọi x 2
 (x 3)2
 0
 (x 2)2
 B 2 ..Dấu “=” xảy ra khi x 3
 Vậy giá trị nhỏ nhất của B 2khi x 3
Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (CM CD) ,vẽ hình 
 vuông CMNP ( P nằm giữa B và C ), DP cắt BM tại H ; MP cắt BD tại K ;
 a) Chứng minh : DH vuộng góc với BM
 PC PH KP
 b) Tính Q 
 BC DH MK
 c) Chứng minh: MP.MK DK.BD DM 2
 Lời giải
 a) Chứng minh K· DM K· MD 450
 KDM vuông cân tại K
 KM  BD
 Xét BDM có 
 KM  BD; BC  DM
 MK cắt BC tại P
 P là trực tâm BDM
 DP  BM hay DH  BM
 PC PC.DM S
 b) Ta có: PDM
 BC BC.DM S BDM
 PH S PK S
 Chứng minh tương tự ta có PBM ; PBD
 DH S BDM MK S BDM
 PC PH PK S S S
 PDM PBM PBD 1
 BC DH CK S BDM
 PC PH PK
 Vậy 1
 BC DH CK
 c) Chứng minh DM 2 MP.MK DK.DB
 + Ta có MCP : DKM
 MC MK
 MP.MK MC.MD(1)
 MP MD
 + Ta có DCB : DKM
 DC MB
 DK.DB DC.MD(2)
 DK MD
 Từ (1) và (2) MP.MK DK.DB MD.(MC DC)
 Hay DM 2 MP.MK DK.DB (đpc/m)
Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các giá trị x,y nguyên dương thỏa mãn
 x2 y2 x 3y 4 0
 Lời giải
 x2 y2 x 3y 4 0
 Trang 4 (4x2 4x 1) (4y2 12y 9) 8 0
 (2x 1)2 (2y 3)2 8
 (2x 1 2y 3)(2x 1 2y 3) 8
 (2x 2y 2)(2x 2y 4) 8
 (x y 1)(x y 2) 2
 x y 1 1 x y 1 2
 hoặc 
 x y 2 2 x y 2 1
( vì x,y nguyên dương nên x y 2 0 )
 x 2 x 2
 hoặc 
 y 2 y 1
 x 2 x 2 2 2
Vậy hoặc thì x y x 3y 4 0
 y 2 y 1
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 5