Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Sóc Sơn (Có đáp án)

 PGD & ĐT HN ĐỀ THI THỬ HSG TOÁN 8
 HUYỆN SểC SƠN NĂM HỌC: 2020 – 2021
 Thời gian làm bài: 90 phỳt
Bài 1: (5,0 điểm) Cho cỏc biểu thức
 x2 y2 x2 y2 x2 y3
 C ; D 
 x +y -xy - y2 x y xy x2 1 + x - y2 xy2
 a) Tớnh C – D
 b) Tỡm cỏc cặp số nguyờn x, y để C – D 10
Bài 2: (4,0 điểm)
 a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương x, y sao cho số
 1
 b) Cho a2 a 1 0 . Tớnh giỏ trị biểu thức P a2020 
 a2020
Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Giải phương trỡnh
 1 1 1 1 1 2014 2015 4023 4024
 (1 ..... ).503x 1 ..... 
 2 3 4 2011 2012 2 3 2011 2012
 b) Cho x y z xy yz zx xyz
Bài 4: (6,0 điểm) 
 a) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn đỉnh A , BD là đường trung tuyến. Qua A vẽ đường 
 thẳng vuụng gúc với BD cắt BC tại E. Chứng minh rằng EB 2EC.
 b) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Từ một điểm M trong tam giỏc vẽ MI  BC , 
 MJ  CA , MK  AB ( I BC , J AC , K AB ). Xỏc định vị trớ điểm M sao cho 
 tổng MI 2 MJ 2 MK 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 x y xy
Bài 5: (1,0 điểm) Cho cỏc số x, y 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 y x x2 y2
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT MễN TOÁN
 TRƯỜNG THCS ABC
 Năm học: 2020-2021
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (5,0 điểm) Cho cỏc biểu thức
 x2 y2 x2 y2 x2 y3
 C ; D 
 x +y -xy - y2 x y xy x2 1 + x - y2 xy2
 a) Tớnh C – D
 b) Tỡm cỏc cặp số nguyờn x, y để C – D 10
 Lời giải
 a) Ta cú
 x2 y2
 C 
 x +y -xy - y2 x y xy x2
 x2 y2
 (x +y)(1 - y) (x y)(1 x)
 x2 (1 x) y2 (1 y) x2 x3 y2 y3 )
 (x +y)(1 - y)(1 x) (x +y)(1 - y)(1 x)
 (x y)(x y) (x y)(x2 xy y2 )
 (x +y)(1 - y)(1 x)
 (x y)(x y x2 xy y2 )
 (x +y)(1 - y)(1 x)
 x y x2 xy y2
 (1 - y)(1 x)
 x2 y2 x2 y3 x2 y2 (1 y) x2 y2
 D 
 1 + x - y2 xy2 (1 + x)(1 - y2 ) (1 + x)(1 - y) 
 x y x2 xy y2 x2 y2
 Suy ra C D 
 (1 - y)(1 x) (1 + x)(1 - y) 
 x y x2 xy y2 x2 y2 (1 - y)(1 x)(x y xy)
 x y xy
 (1 - y)(1 x) (1 - y)(1 x)
 Vậy C – D x – y xy
 b) Với x 1, y 1, x y được xỏc định C – D được xỏc định
 Mà C – D = 10 nghĩa là x y xy 10 (x xy) (y 1) 9 (x 1)(1 y) 9
 2 Do x Z, y Z nờn ta cú
 x -1 1 - 1 3 - 9 - 9
 3
 x 2 0 4 - 10 - 8
 2
 y +1 9 - 9 3 - 1 - 1
 3
 y 8 -10 2 - 0 - 2
 4
 Cỏc cặp số này đều thỏa món ĐKXĐ nờn :
 x, y 2,8 ; 0, 10 ; 4,2 ; 2, 4 ; 10,0 ; 8; 2 
Bài 2: (4,0 điểm)
 a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương x, y sao cho số
 1
 b) Cho a2 a 1 0 . Tớnh giỏ trị biểu thức P a2020 
 a2020
 Lời giải
 a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương x, y sao cho số
 A 4x4 y4 là một số nguyờn tố.
 Ta cú A 0 với mọi x, y
 2
 A 4x4 y4 2x2 y2 – 4x2 y2 2x2 y2 – 2x2 y2 ( 2x2 y2 2x2 y2 
 2x2 y2 2xy 1
 2 2
 2x y 2xy A
 Do A là số nguyờn tố nờn 
 2 2
 2x y 2xy A
 2 2
 2x y 2xy 1
 Giải cỏc trường hợp trờn ta được x, y 1,1 
 3 1
 b. Cho a2 a 1 0 Tớnh giỏ trị biểu thức P a2020 
 a2020
 2 2 1 3 1 2 3
 Ta cú a a 1 0 a a 0 (a ) 0
 4 4 2 4 
 1 2
 Vỡ (a ) 0 với mọi a 
 2
 1 3 3
 (a )2 với mọi a. Do đú khụng tỡm được giỏ trị nào của a thỏa món 
 2 4 4
 a2 a 1 0 .
 Vậy biểu thức P khụng cú giỏ trị
Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Giải phương trỡnh
 1 1 1 1 1 2014 2015 4023 4024
 (1 ..... ).503x 1 ..... 
 2 3 4 2011 2012 2 3 2011 2012
 b) Cho x y z xy yz zx xyz
 Lời giải
 a) Giải phương trỡnh
 1 1 1 1 1 2014 2015 4023 4024
 (1 ..... ).503x 1 ..... 
 2 3 4 2011 2012 2 3 2011 2012
 Ta cú
 2014 2015 4023 4024
 1 ..... 
 2 3 2011 2012
 2014 2015 4023 4024
 2013 ..... 2012
 2 3 2011 2012
 2013 2014 2015 4023 4024 
 1 1 1 ..... 1 1 
 1 2 3 2011 2012 
 2012 2012 2012 2012 2012
 ..... 
 1 2 3 2011 2012
 1 1 1 1 1 
 2012 ..... 
 1 2 3 2011 2012 
 Suy ra
 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 (1 ..... ).503x 2012 ..... 
 2 3 4 2011 2012 1 2 3 2011 2012 
 503x 2012
 x 4
 Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm S = { 4}
 b) Cho (x + y + z) (xy +yz + zx) = xyz
 Chứng minh rằng : x2019 + y2019 + y2019 = ( x + y + z)2019
 Ta cú
 x y z xy yz zx xyz
 xy. x y z xyz yz zx x y z 0
 xy. x y z z y x zx zy z2 0
 y x xy zx zy z2 0
 y x y z x z 0
 x y
 y z
 z x
 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
 x y z -y + y z z
 Với x = - y thỡ 
 2019 2019 2019
 x y z -y y z z
 x2019 y2019 y2019 x y z 2019
 Chứng minh tương tự như trờn với trường hợp y = -z và z = -x
 Ta suy ra được điều phải chứng minh
 Vậy x2019 y2019 y2019 x y z 2019
Bài 4: (6,0 điểm) 
 a) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn đỉnh A , BD là đường trung tuyến. Qua A vẽ đường 
 thẳng vuụng gúc với BD cắt BC tại E. Chứng minh rằng EB 2EC.
 b) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Từ một điểm M trong tam giỏc vẽ MI  BC , 
 MJ  CA , MK  AB ( I BC , J AC , K AB ). Xỏc định vị trớ điểm M sao cho 
 tổng MI 2 MJ 2 MK 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 5 Lời giải
a) Kẻ CF // AE (F AB) B
 à à ả
Khi đú ta cú B1 A1 (vỡ cựng phụ với A2 )
 1
 à à
Mặt khỏc A1 C1 (hai gúc so le trong)
 Bà Cà
 1 1 E
 ABD ᔕ ACF (g – g)
 AD AF 2
 A 1
 AB AC 1 C
 H
 1
Mà AD = AC ; AB = AC (gt)
 2
 AD AF 1
 F
 AB AC 2
 AF 1
 AB 2
 BE AB 1
Mà AE // CF nờn 
 EC AF 2
 BE = 2EC
b) Kẻ đường cao AH của tam giỏc vuụng ABC. Qua B
 H
M kẻ MH // BC cắt AH tại M’. I
 M'
Ta cú MI = M’H
 K M
Tứ giỏc AKMJ là hỡnh chữ nhật nờn KJ = MA
Mặt khỏc MJ 2 MK 2 KJ 2 (định lớ Py-ta-go) A
 J C
Do đú MI 2 MJ 2 MK 2 MI 2 MA2
Cú M ' A2 MA2
 MI 2 MJ 2 MK 2 M ' H 2 M ' A2
 M ' H 2 M ' A2 2M ' H.M ' A
 2(M ' H 2 M ' A2 ) M ' H 2 M ' A2 2M ' H.M ' A
 2(M ' H 2 M ' A2 ) (M ' H M ' A)2 AH 2
 1
 M ' H 2 M ' A2 AH 2
 2
Dấu “=” xảy ra khi M’H = M’A
 6 2 2 2
 Vậy MI MJ MK cú giỏ trị nhỏ nhất khi M là B
 trung điểm của đường cao AH trong tam giỏc ABC. H
 K M
 A
 J C
 x y xy
Bài 5: (1,0 điểm) Cho cỏc số x, y > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 y x x2 y2
 Lời giải
 Cho cỏc số x, y > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x y xy
 A 
 y x x2 y2
 x2 y2 xy x2 y2 xy 3(x2 y2 )
 Ta cú: A 2 2 2 2 
 xy x y 4xy x y 4xy
 x2 y2 xy
 Do x >0, y > 0 nờn xy > 0 0; 0
 4xy x2 y2
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta cú:
 x2 y2 xy 3(x2 y2 ) 1 3 5
 A 2 . = 2. + = 
 4xy x2 y2 x2 y2 2 2 2
 4 
 2 
 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0
 a2 b2
 Bất đẳng thức sử dụng. a2 b2 2ab ab và a b 2ab
 2
 7