Đề thi vòng II olympic môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Hồng Dương (Có đáp án)

 TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC 
 NĂM HỌC: 2020 – 2021
 ĐỀ THI THỬ SỐ 02 Môn: Toán 8
 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (6,0 điểm) 
 x2 x x 1 1 2 x2 
 1. Cho biểu thức P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
 1
 b) Tìm xđể P .
 2
 2. Giải phương trình x 3 x 1
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 y2 2010.
 2
 2. Tìm các số tự nhiên n để n2 8 36 là số nguyên tố.
Bài 3: (3,0 điểm) 
 8x 12
 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức T 
 x2 4
Bài 4: (6,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC ,đường cao AH. Gọi M , N lần lượt là hình 
 chiếu của H trên AB, AC. Đường thẳng qua A vuông góc với MN tại I, cắt BC tại K.
 1. Chứng minh: AN.AC AB.AM
 2. Chứng minh rằng K là trung điểm của BC.
 3. Chứng minh: AB2 BH.HC và AM.BM AN.NC AK 2 .
 4. Tìm điều kiện của tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm) 
 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 5n 2 26.5n 82n 1 59 .
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC THCS HỒNG DƯƠNG
 Năm học: 2020-2021
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (6,0 điểm)
 x2 x x 1 1 2 x2 
 1. Cho biểu thức P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
 1
 b) Tìm xđể P .
 2
 2. Giải phương trình x 3 x 1
 Lời giải
 x2 x x 1 1 2 x2 
 1. Xét biểu thức P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 x 0
 a) ĐKXĐ: x 1 Không có điều kiện x 1trừ 0,25 điểm. 
 x 1
 x2 x x 1 1 2 x2 
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 x(x 1) (x 1) x 1 x 2 x2 
 P : 
 2 
 x 1 x x 1 x(x 1) x(x 1) 
 x(x 1) x2 1 x 2 x2
 P :
 x 1 2 x x 1 
 x(x 1) x 1 x x 1 x x 1 x2
 P : . 
 x 1 2 x(x 1) x 1 2 x 1 x 1
 x2
 Vậy x 0, x 1, P .
 x 1
 1 x2 1
 b) P P với x ĐKXĐ.
 2 x 1 2
 2x2 x 1 2x2 x 1 0 2x2 2x x 1 0 2x 1 x 1 0 
 1
 x (TM ĐKXĐ) hoặc x 1( không TM ĐKXĐ) 
 2
 (Nếu không loại x 1trừ 0,5điểm)
 1 1
 Vậy P x .
 2 2
 Trang 2 2. Giải phương trình x 3 x 1
 • Với x 0 ; phương trình đã cho trở thành x 3 x 1 1 
 Với x 3; 1 trở thành: x 3 x 1, phương trình vô nghiệm.
 Với 0 x 3, 1 có nghiệm x 1( thỏa mãn)
 • Với x 0;phương trình đã cho trở thành: x 3 x 1 2 
 Với 3 x 0; 2 trở thành: x 3 x 1, phương trình vô nghiệm.
 Với x 3; 2 có nghiệm x 2( không thỏa mãn).
 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 1.
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 y2 2010.
 2
 2. Tìm các số tự nhiên n để n2 8 36 là số nguyên tố.
 Lời giải
 2 2
 1. Giả sử phương trình đã cho có nghiệm nguyên x0 ; y0 thì x0 y0 2010 .
 2 2 2 2
 Ta thấy: x0 và y0 chia cho 4 có số dư là 0 hoặc1, nên x0 y0 chia cho 4 có số dư là 0
 hoặc 1 hoặc 3.
 Vế phải 2010 chia cho 4 dư 2 (mâu thuẫn với điều giả sử).
 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
 2 2
 2. Ta có: n2 8 36 n4 16n2 100 n2 10 36n2 n2 10 6n n2 10 6n 
 2
 Để n2 8 36 là số nguyên tố, điều kiện cần là n2 10 6n 1 và n2 10 6n là số 
 nguyên tố n2 10 6n 1 n 3 2 0 n 3.
 2
 Thử lại: Với n 3thì n2 8 36 37 là số nguyên tố.
Bài 3: (3,0 điểm)
 8x 12
 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức T 
 x2 4
 Lời giải
 2 2 2
 8x 12 (x 8x 16) x 4 x 4 
 T 1 1 với mọi x.
 x2 4 x2 4 x2 4
 Do đó: minT 1 x 4.
 2 2 2
 8x 12 (4x 16) 4x 8x 4 4 x 1 
 T 4 4 với mọi x
 x2 4 x2 4 x2 4
 Do đó: maxT 4 x 1.
Bài 4: (6,0 điểm) 
 Trang 3 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC ,đường cao AH. Gọi M , N lần lượt là hình 
chiếu của H trên AB, AC. Đường thẳng qua A vuông góc với MN tại I, cắt BC tại K.
1. Chứng minh: AN.AC AB.AM
2. Chứng minh rằng K là trung điểm của BC.
 2 2
3. Chứng minh: AB BH.HC và AM.BM AN.NC AK .
4. Tìm điều kiện của tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn nhất.
 Lời giải
 1. Chứng minh: ACB ∽ HCA
 Ta có: HCA ∽ NHA ; 
 NHA ∽ AMN;
 Suy ra: AMN ∽ ACB.
 AN AM
 Suy ra: 
 AB AC
 Suy ra: AN.AC AB.AM ( Điều phải chứng minh).
 2. Chứng minh: AKC cân tại K . Suy ra: K là trung điểm của BC.
 3. Ta có: AB2 AC 2 BC 2
 Suy ra: AH 2 BH 2 AH 2 CH 2 BH CH 2
 Suy ra: AH 2 BH.HC
 Do đó: AB2 AH 2 BH 2 BH.CH BH 2 BH (CH BH )
 AB2 BH.BC
 Chứng minh tương tự ta được: AM.BM HM 2 ; AN.CN HN 2
 Trang 4 Mà HM 2 HN 2 MN 2 AH 2 AK 2
 4. Diện tích hình chữ nhật AMHN lớn nhất khi và chỉ khi AM AN.
 AN AM
 Vì AMN ∽ ACB nên .
 AB AC
 Suy ra AB AC. Do đó, khi tam giác ABC vuông cân tại A thì diện tích hình chữ nhật 
 AMHN lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm) 
 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có 5n 2 26.5n 82n 1 59 .
 Lời giải
 5n 2 26.5n 82n 1 51.5n 8.64n 59 8 .5n 8.64n 59.5n 8 64n 5n 
 Vì 64n 5n  64 5 nên ta có điều phải chứng minh.
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 5