Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 12: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

CHỦ ĐỀ 12 .ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.	Định lí Ta-lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên 
hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó 
song song với cạnh còn lại của tam giác.
	.
2.	Hệ quả của định lí Ta-lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
	.
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Tính độ dài đoạn thẳng:
Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng.
Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.
2.	Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau cách sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét hoặc tính chất của đường thẳng song song cách đều.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính các độ dài trong hình 271. 
Lời giải
a)	Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho , ta được:
	 hay 
	.
b)	Từ hình 271b ta thấy vì cùng vuông góc với .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho , ta được: hay .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Ví dụ 2. Cho tam giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho và . Tính tỉ số khoảng cách từ các điểm và đến cạnh .
Lời giải (hình 272)
Kẻ và cùng vuông góc với thì và 
 lần lượt là khoảng cách từ các điểm và đến cạnh .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho thu được 
 hay .
Ví dụ 3. Hãy chia đoạn cho trước thành đoạn bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? Hãy nêu rõ cách làm.
Lời giải (hình 273)
Có hai cách chia một đoạn cho trước thành phần bằng nhau.
Cách 1: Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét.
Kẻ đường thẳng .
Từ điểm bất kì trên , đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau: 
	.
Gọi là giao điểm của và .
Vẽ các đường thẳng cắt theo thứ tự ở 
thì các điểm này chia đoạn thành phần bằng nhau. Thật vậy:
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho , ta được:
 do .
Chứng minh tương tự, ta được: .
Cách 2: Sử dụng tính chất của đường thẳng song song cách đều. 
Kẻ tia , trên đó đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau:
	.
Nối . Từ kẻ các đường thẳng song song với , chúng cắt 
 lần lượt ở thì , lằ năm đường thẳng 
song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng những đoạn 
thẳng liên tiếp bằng nhau là .
III. BÀI TẬP
1.	Cho tam giác vuông ở , trên cạnh lấy điểm sao cho và . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt ở . Tính độ dài .
2.	Hình thang có là giao điểm của và . Biết . Tính độ dài .
3.	Cho hình thang . Gọi là giao điểm và . Tính độ dài , biết .
4.	Cho hình bình hành . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và . Tính tỉ số .
5.	Cho tam giác có , đường phân giác . Qua kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt lần lượt ở và . Tính độ dài , biết .
DẠNG 2. Chứng minh hệ thức hình học
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng.
Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng hay nhân theo vế các đẳng thức hình học.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình thang có là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua song song với hai đáy cắt lần lượt ở và . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 274)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , 
ta được:
	.
Ví dụ 2. Cho hình thang . Một đường thẳng qua giao điểm của hai đường chéo và song song với hai đáy, cắt ở . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 275)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho , ta được: 
	 (1); (2).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
	.
Ví dụ 3. Cho hình thang có là giao điểm của và , là giao điểm của và . Đường thẳng cắt và theo thứ tự ở và. Chứng minh rằng là trung điểm của là trung điểm của . Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.
Lời giải (hình 276)
Đặt .
Ta phải chứng minh .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , ta được:
	, hay 	(1); 
	, hay 	(2).
Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được .
Thay vào (1) ta được .
Nhận xét: Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.
Đây chính là nội dung của: Bổ đề về hình thang.
III.	BÀI TẬP
7.	Cho tứ giác có các góc vuông và . Gọi lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ một điểm bất kì trên đường chéo đến các cạnh và . Chứng minh rằng .
8.	Cho hình thang . Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên và các đường chéo và theo thứ tự tại . Chứng minh rằng .
9.	Cho tam giác , đường trung tuyến . Trên cạnh lấy một điểm , gọi là giao điểm của và . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt ở . Chứng minh rằng .
10.	(Bổ đề về diện tích) Cho tam giác . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm và thì ta có tỉ số .
DẠNG 3. Chứng minh hai đường thẳng song song
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định lí Ta-lét, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
Áp dụng định lí Ta-lét đảo, kết luận hai đường thẳng song song.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên đường chéo của hình bình hành lấy một điểm . Qua kẻ hai đường thẳng bất kì sao cho đường thứ nhất cắt lần lượt ở và , đường thẳng thứ hai cắt theo thứ tự ở và . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 277)
 là hình bình hành nên và , suy ra .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , ta được:
	. 
Điều này chứng tỏ đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác 
 và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, 
nên (theo định lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 2. Cho tứ giác . Đường thẳng qua và song song với cắt ở . Đường thẳng qua và song song với cắt ở . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 278)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , ta được: 
	 (1); (2).
Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
	.
Điều này chứng tỏ đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên (theo định lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 3. Cho hình thang và điểm trên cạnh bên . Qua vẽ đường thẳng song song với cắt ở . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 279)
Gọi lần lượt là giao điểm của với và với .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , thu được: 
	 (1).
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho , ta được:
	 (2).
Từ (1) và (2) suy ra . Điều này chứng tỏ đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên , hay (theo định lí Ta-lét đảo).
III.	BÀI TẬP
11.	Cho tứ giác có là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua song song với cắt ở . Đường thẳng qua song song với cắt ở . Chứng minh .
12.	Cho tứ giác . Đường thẳng qua giao điểm của hai đường chéo lần lượt cắt và ở . Đường thẳng qua song song với cắt ở , đường thẳng qua song song với cắt ở . Chứng minh rằng .
13.	Cho tam giác . Trên các cạnh lấy các điểm và . Vẽ và . Chứng minh rằng .
14*. Cho tam giác có các đường cao . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm và sao cho . Chứng minh rằng .
DẠNG 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để chứng minh
hệ thức hình học, tính tỉ số hai đoạn thẳng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm đường thẳng song song.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
Biến đổi tỉ lệ thức.
II. 	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác là một điểm trong tam giác, 
theo thứ tự cắt ở . Chứng minh rằng . 
Lời giải (hình 280)
Qua kẻ đường thẳng song song với . Đường thẳn này cắt 
lần lượt ở và .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , ta được:
	 (1); (2).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được: .
Ví dụ 2. Cho tam giác , lấy sao cho . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng tỉ số .
Lời giải 
Đặt .
Cách 1: (hình 281) Kẻ thì . 
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , 
ta được:
	 (1);
	 (2).
Từ (1) và (2) suy ra . 
Cách 2: (hình 282)
Kẻ thì .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , ta được:
	 (3); (4).
Từ (3) và (4) suy ra .
Cách 3: (hình 283) 
Kẻ thì .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho 
và , ta được:
	 (5); (6).
Từ (5) và (6) suy ra .
Cách 4: (hình 284) 
Kẻ thì .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho và , 
ta được:
	 (7); (8)
Từ (7) và (8) suy ra .
III.	BÀI TẬP
15.	Cho tam giác cân có và . Trên cạnh đặt . Tính khoảng cách từ đến .
16.	Cho tam giác . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm và sao cho . Gọi là giao điểm của và . Tính tỉ số . 
17.	Cho hình thoi cạnh . Qua đỉnh kẻ một đường thẳng cắt các tia đối của các tia và lần lượt ở và . Chứng minh rằng .
18*. Cho hình thang . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Gọi . Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Chứng minh rằng .