Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 14: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường

CHỦ ĐỀ 14.CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA 
HAI TAM GIÁC THƯỜNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.	KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1.	Tam giác đồng dạng
a)	Định nghĩa
Tam giác gọi là đồng dạng với tam giác nếu chúng có ba cặp góc đôi một bằng nhau và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
	 .
Khái niệm mới:
Các cặp góc bằng nhau gọi là các góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
Các đỉnh của các góc bằng nhau gọi là các đỉnh tương ứng.
Các cạnh đối diện với các góc bằng nhau gọi là các cạnh tương ứng.
Tỉ số các cạnh tương ứng gọi là tỉ số đồng dạng.
b)	Tính chất
Tính chất phản xạ: với tỉ số đồng dạng .
Tính chất đối xứng: Nếu theo tỉ số đồng dạng thì theo tỉ số đồng dạng .
Tính chất bắc cầu: Nếu thì .
2.	Định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh 
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
	.
Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.
II.	TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT (C.C.C)
Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng ( và có
	 thì (c.g.c)).
Kết quả 1: Hai tam giác đều bất kì luôn đồng dạng với nhau (c.c.c).
III. 	TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI (C.G.C)
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng (nếu và ) có
 (c.g.c)).
Kết quả 2: Hai tam giác vuông cân bất kì luôn đồng dạng với nhau (c.c.c).
Kết quả 3: Nếu góc ở đỉnh của tam giác cân này bằng góc ở đỉnh của tam giác cân kia thì hai tam giác cân đó đồng dạng với nhau (c.c.c).
IV.	TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA (G.G)	
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (nếu và có (g.g)).
Kết quả 4: Nếu góc ở đáy của tam giác cân này bằng góc ở đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác cân đó đồng dạng với nhau (g.g).
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.
Chứng minh hai tam giác đồng dạng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác cho trước.
Xác định tỉ số đồng dạng.
Kẻ đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
2.	Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Sử dụng định nghĩa hoặc định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác . Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác theo tỉ số đồng dạng: 
a)	;	b) .
Lời giải (hình 296)
a)	Giả sử đã vẽ được theo tỉ số , thế thì .
Từ đó suy ra cách vẽ gồm hai bước sau:
Bước 1: Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Bước 2: Kẻ cắt ở .
Ta có theo tỉ số .
b)	Giả sử đã vẽ được theo tỉ số thế thì .
Từ đó suy ra cách vẽ gồm hai bước sau:
Bước 1: Trên tia lấy điểm sao cho .
Bước 2: Kẻ cắt tia ở . Ta có .
Ví dụ 2. Từ điểm thuộc cạnh của với , kẻ các tia và .
a)	Hãy nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.
b)	Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc 
bằng nhau và tỉ số đồng dạng. 
Lời giải (hình 297)
a)	Có ba cặp tam giác đồng dạng là và và 
 và .
b)	Bạn đọc tự giải.
III.	BÀI TẬP
1.	Cho tam giác . Hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác theo tỉ số .
2.	Cho tam giác . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng , tìm tỉ số đồng dạng?
DẠNG 2. Tính chất của hai tam giác đồng dạng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa và tính chất hai tam giác đồng dạng.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. theo tỉ số đồng dạng , theo tỉ số đồng dạng . Hỏi và đồng dạng với nhau theo tỉ số nào?
Lời giải
Gọi tỉ số đồng dạng của là .
Thì .
Điều này chứng tỏ đồng dạng với nhau theo tỉ số .
Gọi tỉ số đồng dạng của là :
Thì nên .
Điều này chứng tỏ đồng dạng với nhau theo tỉ số .
Ví dụ 2. Cho tam giác theo tỉ số đồng dạng .
a)	Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
b)	Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là . Tính chu vi của hai tam giác đã cho.
Lời giải
Gọi chu vi của hai tam giác , lần lượt là và .
a)	Từ giả thiết theo tỉ số đồng dạng và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
	.
Điều này chứng tỏ tỉ số chu vi của hai tam giác là .
b)	Từ câu a) suy ra .
III.	BÀI TẬP
3.	Hai tam giác đồng dạng với nhau có bằng nhau hay không? Vì sao?
4.	Cho với tỉ số đồng dạng . với tỉ số đồng dạng .
a)	Vì sao ?
b)	Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó.
5.	Tam giác có và . Tính độ dài các cạnh của tam giác đồng dạng với tam giác đã cho nếu cạnh bé nhất của tam giác bằng cạnh lớn nhất của tam giác đã cho.
6.	Cho tam giác có .
Tính độ dài các cạnh của tam giác đồng dạng với tam giác đã cho nếu cạnh tương ứng với cạnh và 
a)	Lớn hơn cạnh đó .
b)	Bé hơn cạnh đó .
DẠNG 3. Nhận biết hai tam giác đồng dạng theo trường hợp
thứ nhất (c.c.c). Chứng minh hai góc bằng nhau
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sắp thứ tự các cạnh của hai tam giác, từ nhỏ đến lớn.
Lập ba tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì kết luận.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hai tam giác và có các kích thước như trong hình 298.
a)	 và có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
b)	Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đó.
Lời giải (hình 298)
a)	Câu trả lời là có.
Giải thích: Sắp thứ tự các cạnh của .
Sắp thứ tự các cạnh của .
Ta thấy nên (c.c.c)
b)	Gọi chu vi các tam giác và lần lượt là .
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số trên, ta được:
	.
Ví dụ 2. Tứ giác có và . Chứng minh rằng:
a)	;
b)	Tứ giác là hình thang. 
Lời giải (hình 299)
a)	Sắp thứ tự các cạnh của .
Sắp thứ tự các cạnh của .
Ta thấy nên (c.c.c)
b)	Từ câu a) suy ra .
Tứ giác có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
III.	BÀI TẬP
7.	Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không?
a)	 và .
b)	 và .
c)	 và .
8.	Cho tứ giác có và đường chéo . Chứng minh rằng:
a)	;
b)	Tứ giác là hình thang.
DẠNG 4. Nhận biết hai tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ hai (c.c.c)
để tính độ dài đoạn thẳng. Chứng minh hai góc bằng nhau
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chọn ra hai góc bằng nhau, sắp thứ tự hai cạnh tạo nên mỗi góc đó.
Lập hai tỉ số, nếu chúng bằng nhau thì kết luận.
Từ định nghĩa tam giác đồng dạng suy ra tỉ số đồng dạng, các góc tương ứng bằng nhau.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên một cạnh của góc đặt các đoạn thẳng 
. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn 
thẳng .
Chứng minh .
Gọi là giao điểm của các cạnh và . Chứng minh rằng 
và có các góc bằng nhau từng đôi một.
Lời giải (hình 300)
Xét và có .
Vì nên , suy ra (c.g.c).
Từ câu a), nên hay . Lại có (vì đối đỉnh), suy ra hai góc còn lại bằng nhau là .
Ví dụ 2*. Cho tam giác có và . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 301)
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho thì và vì trong tam giác , đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau.
Xét và có , vì (do cùng bằng ) nên:
	 (c.g.c) .
Do đó .
III.	BÀI TẬP
9.	Trên đoạn , đặt đoạn . Trên đường vuông góc với tại , đặt đoạn . Chứng minh rằng .
10.	Cho hình thang vuông có và . Tính độ dài .
11.	Cho hình thang có và cạnh đáy . Chứng minh rằng .
12.	Cho hình thoi có . Qua kẻ đường thẳng cắt các tia đối của các tia theo thứ tự ở và . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng:
a)	.
b)	.
c)	.
DẠNG 5. Nhận biết hai tam giác đồng dạng theo trường hợp
thứ ba (g.g) để tính độ dài đoạn thẳng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Chứng minh hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau.
2.	Áp dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng, lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu theo tỉ số thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng .
Lời giải (hình 302)
Gọi là đường phân giác của các góc và thì .
Từ giả thiết theo tỉ số , suy ra .
Do đó (g.g) theo tỉ số đồng dạng .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành (hình 303) có . Trên cạnh lấy một điểm sao cho , đường thẳng cắt ở .
a)	Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau?
Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng.
b)	Tính độ dài các đoạn thẳng và , biết rằng .
Lời giải
Để viết được các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng, trước hết phải chỉ ra các góc bằng nhau để tìm được các đỉnh tương ứng.
a)	Vì (g.g).	
.
 (g.g)
Như vậy có tất cả ba cặp tam giác đồng dạng như trên.
b)	Từ câu a) hay
	.
Ví dụ 3. Hình 304 cho biết .
a)	Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các tam giác đó.
b)	Cho biết . Hãy tính độ dài các đoạn thẳng và (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c)	So sánh diện tích tam giác với tổng diện tích của hai tam 
giác và .
Lời giải (hình 304)
a)	Từ giả thiết và tính chất về góc của tam giác vuông , 
ta có:
	, do 
là góc bẹt.
Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông là và .
b)	Vì (g.g)
Suy ra hay .
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	 hay .
c)	.
	.
Vậy .
III.	BÀI TẬP
13.	Cho tam giác có . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tính độ dài .
14.	Cho tam giác , đường phân giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho .
a)	Hãy tìm tam giác đồng dạng với tam giác .
b)	Chứng minh rằng .
15.	Cho tam giác có . Tính độ dài .
16.	Cho tam giác cân ở , đường phân giác . Có .
a)	Tính độ dài .
b)	Tính độ dài .
17*. Cho tam giác cân tại , có góc ở đáy bằng . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Chứng minh rằng các tam giác và đồng dạng.
DẠNG 6. Sử dụng tam giác đồng dạng để dựng hình
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Dựng một tam giác bất kì đồng dạng với tam giác phải dựng.
Bước 2: Dùng điều kiện về độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Dựng tam giác , biết , tỉ số và đường cao .
Lời giải (hình 305)
Bước 1: Dựng biết và .
Dựng .
Trên tia dựng đoạn .
Trên tia dựng đoạn .
Bước 2: Dựng có đường cao . 
Dựng đường cao .
Trên tia lấy .
Qua , dựng đường thẳng vuông góc với , cắt và ở và .
Ta được tam giác là tam giác cần dựng.
Ví dụ 2. Dựng tam giác , biết và đường cao .
Lời giải (hình 306)
Bước 1: 
 biết .
Bước 2:
Dựng có đường cao .
Dựng đường cao .
Trên tia lấy .
Qua , dựng đường thẳng song song với , cắt và ở 
và ta được tam giác là tam giác cần dựng.
Chứng minh: Thật vậy, theo cách dựng nên .
III.	BÀI TẬP
18.	Dựng tam giác , biết , tỉ số và trung tuyến .
19.	Dựng tam giác , biết và đường phân giác .
20.	Dựng tam giác vuông ở , biết , tỉ số .