Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 8: Đường thẳng song song

Chủ đề 8
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ đến .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước
Các điểm cách đường thẳng một khoảng bằng nằm trên hai đường thẳng song song với và cách một khoảng bằng .
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đường thẳng cố định một khoảng bằng không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng .
4. 	Đường thẳng song song cách đều
Dấu hiệu nhận biết các đường thẳng song song cách đều:
Những đường thẳng song song chắn trên một đường thẳng cho trước những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Tính chất của các đường thẳng song song cách đều:
Những đường thẳng song song cách đều chắn trên một đường thẳng bất kì những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
5.	Những tập hợp điểm được giới thiệu ở lớp 7
Tập hợp các điểm cách điểm cố định một khoảng là đường tròn tâm bán kính .
Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.
6.	Từ tính chất của đường thẳng song song cách đều ta thu được kinh nghiệm thứ tư
Cứ nói tới hình thang vuông phải nghĩ đến đường thẳng song song cách đều.
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán mà giả thiết hoặc kết luận của bài toán đề cập đến hình thang vuông thì khi vẽ thêm đường phụ, từ trung điểm của cạnh bên ta vẽ thêm đường vuông góc với cạnh góc vuông để tạo ra ba đường thẳng song song cách đều.
Trong thực hành, người ta hay sử dụng lưới ô vuông và tính chất của các đường thẳng song song cách đều để vẽ hình rất hiệu quả (Đã từng bước giới thiệu từ chủ đề 2) và chia một đoạn thẳng thành phần bằng nhau.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Vẽ thêm các đường thẳng song song cách đều để
chứng minh quan hệ về độ dài
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường vuông góc để tạo ra các đường thẳng song song cách đều.
Áp dụng tính chất của các đường thẳng song song cách đều.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho có là trung điểm của , kẻ . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 82) 
Do theo giả thiết nên vẽ thêm thì 
 	(1)
Vì là trung điểm của nên 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra là ba đường thẳng song
 song cách đều nên nó chắn trên đường thẳng hai 
đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành và đường thẳng không có điểm nào chung với hình bình hành. Gọi là các đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 83)
Do cùng vuông góc với suy ra 
. Nên và là 
hai hình thang vuông.
Gọi là giao điểm của hai đường chéo và .
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành
, ta được:
	 	(1), 	(2).
Vẽ thêm thì (3) và (4) (do cùng vuông góc với ).
Từ (1) và (3) suy ra là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng hai đoạn liên tiếp bằng nhau là (5)
Từ (2) và (4) suy ra cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng cùng chắn trên đường thẳng hai đoạn liên tiếp bằng nhau là (6)
Từ (1) với (5) và (2) với (6) ta có là đường trung bình của hai hình thang vuông và .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang trên, ta được:
	.
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn , các đường cao . Gọi thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ và đến đường thẳng . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 84)
Vì là các đường cao của tam giác nên 
 do đó vuông tại 
vuông tại .
Gọi là trung điểm của , vẽ thì 
 là các trung tuyến ứng với cạnh huyền của và .
Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào 
hai tam giác vuông trên, ta được:
	 cân tại .
Từ giả thiết ta có tứ giác là hình thang vuông nên vẽ thêm thì (1) (vì cùng vuông góc với đường thẳng ) mà (2) (do ta vẽ).
Từ (1) và (2) suy ra là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là (3).
Áp dụng tính chất về đường cao ứng với cạnh đáy vào tam giác cân ta được (4).
Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4), ta được: .
BÀI TẬP
Hãy giải các bài tập sau bằng cách vẽ thêm đường thẳng song song cách đều.
Cho tam giác có là trung điểm của , lấy một điểm trên cạnh ( khác ). Gọi lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng . Chứng minh rằng .
Cho tam giác trung tuyến . Trên lấy một điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng . Kết quả trên thay đổi thế nào nếu . Hãy nêu bài toán tổng quát.
Cho tam giác trọng tâm .
Một đường thẳng đi qua cắt hai cạnh . Gọi thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng . Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài .
Nếu đường thẳng nằm ngoài tam giác và là chân đường vuông góc kẻ từ đến thì các độ dài liên hệ với nhau như thế nào? Hãy chứng minh.
DẠNG 2. Cho một điểm di chuyển trên một đường,
tìm xem một điểm khác phụ thuộc vào điểm đó di chuyển
trên đường thẳng song song nào
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định điểm di chuyển.
Xác định điểm, đường thẳng hoặc tam giác cố định để tìm đoạn có độ dài không đổi.
Sử dụng tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho điểm ở ngoài đường thẳng và có khoảng cách đến bằng . Trên lấy một điểm bất kì. Gọi là một điểm đối xứng với điểm qua điểm . Hỏi khi điểm di chuyển trên đường thẳng thì điểm di chuyển trên đường nào?
Lời giải (hình 85)
Kẻ và thì là khoảng cách từ điểm 
 cố định đến đường thẳng cố định nên 
không đổi. là khoảng cách từ đến đường thẳng .
 Khi di chuyển trên thì điểm cũng di chuyển theo.
Áp dụng tính chất của hai điểm đối xứng qua tâm và hai góc đối đỉnh, ta được:
	 (trường hợp cạnh huyền góc nhọn).
Nên .
Như vậy điểm cách đường thẳng cố định một khoảng không đổi nên di chuyển trên đường thẳng và cách một khoảng bằng .
Ví dụ 2. Cho góc vuông . Trên tia lấy điểm sao cho , trên tia lấy một điểm bất kì. Gọi là trung điểm của . Hỏi khi điểm di chuyển trên tia thì điểm di chuyển trên đường nào?
Lời giải (hình 86)
Vì điểm của góc cố định nên không đổi. 
Khi điểm di chuyển trên tia thì trung điểm của 
cũng di chuyển theo.
Khi điểm di chuyển trên tia đến vị trí trùng với thì 
điểm di chuyển đến vị trí trùng với điểm là trung điểm 
của cố định nên điểm cũng cố định và .
Nối với trung điểm của thì là đường trung tuyến 
ứng với cạnh huyền của tam giác vuông .
Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền và giả thiết vào tam giác vuông , ta được:
	.
Điều này chứng tỏ là đường trung trực của đoạn cố định.
Vậy điểm di chuyển trên tia thuộc đường trung trực của .
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông ở . Trên cạnh lấy một điểm bất kì, kẻ . Gọi là trung điểm của .
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Khi điểm di chuyển trên cạnh thì điểm 
 di chuyển trên đường nào?
Điểm ở vị trí nào trên cạnh thì có độ dài nhỏ nhất?
Lời giải (hình 87)
Từ giả thiết suy ra . Tứ giác có ba góc
vuông nên nó là hình chữ nhật.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình chữ nhật ta được hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do là trung điểm của theo giả thiết nên đi qua hay thẳng hàng.
Kẻ thì vuông tại do tam giác vuông cho trước nên đường cao cố định.
Gọi lần lượt là trung điểm của và .
Nối thì và lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông và .
Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông nên, ta được
	 cách đều hai đầu đoạn thẳng nên là đường trung trực của đường cao cố định. Do đó khi điểm di chuyển trên cạnh thì điểm di chuyển trên đoạn là đường trung bình của tam giác vuông .
Áp dụng định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên vào đường vuông góc , đường xiên thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Vậy điểm ở vị trí chân đường cao thì có độ dài nhỏ nhất.
BÀI TẬP
Cho tam giác , trên cạnh lấy một điểm bất kì. Qua kẻ . Hỏi khi điểm di chuyển trên cạnh thì trung điểm của di chuyển trên đường nào?
Cho tam giác cân tại . Các điểm theo thứ tự di động trên các cạnh sao cho . Hỏi trung điểm của di chuyển trên đường nào?
Cho đoạn thẳng cố định, điểm di động trên đường thẳng song song với và cách một khoảng bằng . Hỏi trọng tâm của tam giác di chuyển trên đường nào?