Giáo án môn Đại số Lớp 8 - Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta lét

Chương
3
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 2: ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA LÉT
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lí đảo
Định lí 1: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.
GT
KL
2. Hệ quả của định lý Ta-lét
Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.
GT
KL
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
Bước 1: xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ quả của định lý Ta-lét.
Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm.
Ví dụ 1. Tính trong các trường hợp sau
a) 	b) 
Lời giải
a) (đvđd).
b) (đvđd).
Ví dụ 2. Cho tam giác vuông tại , , cm, cm, cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng và .
Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì . 
,
 cm.
Lại có tam giác vuông tại . Tính được 
Dạng 2: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác.
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta-lét để chứng minh các đoạn thẳng song song.
Ví dụ 3. Cho hình thang . Gọi trung điểm của các đường chéo và lần lượt là . Chứng minh rằng , và song song với nhau.
Lời giải
Gọi giao điểm của hai đường chéo là . Vì nên 
.
Suy ra .
Từ và . 
Suy ra .
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có hay .
Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra mà (do là hình thang) nên .
Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau
Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 4. Cho tam giác có cm. Trên đường cao lấy các điểm sao cho . Qua vẽ các đường thẳng .
a) Tính độ dài các đoạn thẳng và .
b) Tính diện tích tứ giác , biết rằng diện tích của tam giác là cm.
Lời giải
a) Ta có .
Suy ra (cm).
Ta có .
Suy ra (cm).
b) Vì nên .
Suy ra nên . 
Suy ra 
Ví dụ 5. Cho hình thang . Đường thẳng song song với đáy cắt các cạnh bên và các đường chéo lần lượt tại . Chứng minh
a) .	b) .
Lời giải
a) Ta có .
b) Ta có .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác có cạnh . Trên cạnh lấy điểm và sao cho . Từ kẻ các đường thẳng song song với cắt theo thứ tự tại . Tính theo độ dài các đoạn thẳng và .
Lời giải
Áp dụng định lý Ta-lét ta có .
Tương tự ta có .
Bài 2. Cho hình thang cân có hai đường chéo và cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Biết rằng , đáy lớn cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng .	b) Chứng minh .
Lời giải
a) Vì nên .
Suy ra nên .
Vậy .
b) Vì nên 
 suy ra .
Vậy . 
Bài 3. Cho hình thang cân . Đường thẳng song song với đáy cắt các cạnh bên và các đường chéo lần lượt tại . Chứng minh
a) .	b) .
Lời giải
a) Ta có .
b) Ta có suy ra .
Bài 4. Tam giác , đường cao . Đường thẳng song song với , cắt các cạnh , và đường cao theo thứ tự tại các điểm , , . Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải
a) .
b) .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Tính trong các trường hợp sau
a) 	b) 
Lời giải
a) (đvđd).
b) (đvđd).
Bài 6. Cho tam giác , cm, cm, cm, cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng và .
Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì . Suy ra 
 cm. 
 cm.
Bài 7. Cho tam giác có điểm trên cạnh sao cho . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh song song với .
Lời giải
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
.
Mặt khác .
Suy ra . Vậy .
Bài 8. Cho tam giác , đường cao . Đường thẳng song song với , cắt các cạnh và đường cao theo thứ tự tại các điểm .
a) Chứng minh .
b) Cho và diện tích tam giác là cm. Tính diện tích tam giác .
Lời giải
a) Ta có .
b) Vì nên .
Suy ra
.
Bài 9. Cho hình thang với có hai đường chéo , cắt nhau tại và đường thẳng qua song song với đáy cắt các cạnh bên tại và theo thứ tự tại và . Chứng minh .
Lời giải
Xét có nên
theo định lí Ta-lét ta có . 	(1)
Xét có nên theo định lí Ta-lét ta có
 .	(2) 
Xét có nên theo định lí Ta-lét ta có .	(3) 
Từ , , suy ra .
Suy ra .
--- HẾT ---