Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 5: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Có đáp án)

 ĐS8-C1-CD5-CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
Phương pháp:Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta làm như sau: Chia mỗi hạng tử của A cho 
 B rồi cộng các kết quả với nhau.
Bài 1: Thực hiện phép tính
 xy
a) 2xy3 4x2 y2 : xy b) 3x2 y2 x3 y2 5x2 y :
 2
c) 5x4 y2 x3 y2 2x2 y : x2 y d) xy 3 3 xy 2 z 2 xy 5 : yx 2
Giải
a) Ta có:
 2xy3 4x2 y2 : xy 2xy3 : xy 4x2 y2 : xy 2y2 4xy
 xy
b) Ta có: 3x2 y2 x3 y2 5x2 y :
 2
 2 2 xy 2 2 xy 3 xy 2
 3x y : x y : 5x y : 6xy 2x y 10x
 2 2 2 
c) Ta có: 5x4 y2 x3 y2 2x2 y : x2 y 
 5x4 y2 : x2 y x3 y2 : x2 y 2x2 y : x2 y 5x2 y xy 2
d) Ta có: xy 3 3 xy 2 z 2 xy 5 : yx 2
 xy 3 3 xy 2 z 2 xy 5 : xy 2
 xy 3 : xy 2 3 xy 2 z : xy 2 2 xy 5 : xy 2 
 xy 3z 2 xy 3
Bài 2: Thực hiện phép tính
a) 3 x y 2 2 x y 3 : y x 2 b) 2 x y 3 x2 y2 2xy : x y 
c) 4 x 3y 3 : 3x 9y d) x3 27y3 : 3y x 
e) 18x4 y3 24x3 y4 12x3 y3 : 3x2 y3 f) 4 x y 5 2 x y 3 3 x y 2 : y x 2
Giải
a) Ta có: 3 x y 2 2 x y 3 : y x 2
 3 x y 2 2 x y 3 : x y 2 3 x y 2 : x y 2 2 x y 3 : x y 2 3 2 x y 
b) Ta có: 2 x y 3 x2 y2 2xy : x y 
 2 x y 3 x y 2 : x y 
 2 x y 3 : x y x y 2 : x y 
 2 x y 2 x y 
 3 3 4 2
c) Ta có: 4 x 3y : 3x 9y 4 x 3y :3 x 3y x 3y 
 3
d) Ta có: x3 27y3 : 3y x x 3y x2 3xy 9y2 : x 3y 
 x2 3xy 9y2 
e) Ta có: 18x4 y3 24x3 y4 12x3 y3 : 3x2 y3 
 18x4 y3 : 3x2 y3 24x3 y4 : 3x2 y3 12x3 y3 :3x2 y3 6x2 8xy 4x
f) Ta có: 4 x y 5 2 x y 3 3 x y 2 : y x 2
 4 x y 5 2 x y 3 3 x y 2 : x y 2
 4 x y 5 : x y 2 2 x y 3 : x y 2 3 x y 2 : x y 2
 4 x y 3 2 x y 3
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA VẬN DỤNG THẤP VÀ VẬN DỤNG
Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp:
Bài 1: Thực hiện phép chia:
a) 3x 3 5x 2 9x 15 : 3x 5 b) 5x 4 9x 3 2x 2 4x 8 : x 1 
c) 5x 3 14x 2 12x 8 : x 2 d) x 4 2x 3 2x 1 : x 2 1 
Bài 2: Thực hiện phép chia:
a) x 3 2x 2 15x 36 : x 4 
b) 2x 4 2x 3 3x 2 5x 20 : x 2 x 4 
c) 2x 3 11x 2 18x 3 : 2x 3 
Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia:
Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia: a) 5x 2 3x 3 15 9x : 5 3x b) 4x 2 x 3 20 5x : x 4 
c) x 2 6x 3 26x 21 : 3 2x d) 2x 4 13x 3 15 5x 21x 2 : 4x x 2 3 
Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:
a) 13x 41x 2 35x 3 14 : 5x 2 
b) 16x 2 22x 15 6x 3 x 4 : x 2 2x 3 
c) 6x 2x 3 5 11x 2 : x 2x 2 1 
Dạng 3: Tìm x, biết:
 2
 4 3 3 2 2 1 
a) 4x 3x : x 15x 6x : 3x 0 b) x x : 2x 3x 1 : 3x 1 0
 2 
c) 42x 3 12x : 6x 7x x 2 8 d) 25x 2 10x : 5x 3 x 2 4
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:
a) 24x 5 9x 3 15x 2 : 3x
b) 5x 4 12x 3 13x 2 : 2x 
c) 8x 5 x 3 2x 2 : 2x 2
d) 16x 6 21x 4 35x 2 : 7x 2 
Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia:
Bài 1: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
a) x 2 2x 1 : x 1 
b) 8x 3 27 : 2x 3 
c) 2x 4 8x 2 8 : 4 2x 2 
d) 125 8x 3 : 4x 10 
Bài 2: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
a) x 8 2x 4y 4 y 8 : x 2 y2 
b) 64x 3 27 : 16x 2 12x 9 
c) x 3 9x 2 27x 27 : x 2 6x 9 
Dạng 6: Tìm đa thức M biết: a) x 3 5x 2 x 5 x 5 .M
b) x 2 4x 3 .M 2x 4 13x 3 14x 2 15x
c) 2x 6 x 4 2x 2 1 M . 2x 2 1 
d) x 2 x 1 .M x 4 x 3 4x 2 5x 3 
Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:
a) A x 3 9x 2 17x 25 a và B x 2 2x 3
 b) A x 4 7x 3 10x 2 a 1 x b a và B x 2 6x 5
LỜI GIẢI CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Thực hiện phép chia:
Bài 1: Thực hiện phép chia:
a) 3x 3 5x 2 9x 15 : 3x 5 x 2 3
b) 5x 4 9x 3 2x 2 4x 8 : x 1 5x 3 14x 2 12x 8
c) 5x 3 14x 2 12x 8 : x 2 5x 2 4x 4
d) x 4 2x 3 2x 1 : x 2 1 x 2 2x 1
Bài 2: Thực hiện phép chia:
a) x 3 2x 2 15x 36 : x 4 x 2 6x 9 
b) 2x 4 2x 3 3x 2 5x 20 : x 2 x 4 2x 2 5 
c) 2x 3 11x 2 18x 9 : 2x 3 x 2 4x 3 
Dạng 2: Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi tính:
Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:
a) 5x 2 3x 3 15 9x : 5 3x b) 4x 2 x 3 20 5x : x 4 
 3x 3 5x 2 9x 15 : 3x 5 x 3 4x 2 5x 20 : x 4 
 x 2 3 x 2 5
c) x 2 6x 3 26x 21 : 3 2x d) 2x 4 13x 3 15 5x 21x 2 : 4x x 2 3 
 6x 3 x 2 26x 21 : 2x 3 2x 4 13x 3 21x 2 5x 15 : x 2 4x 3 
 3x 2 4x 7 2x 2 5x 5
Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia: a) 13x 41x 2 35x 3 14 : 5x 2 
 35x 3 41x 2 13x 14 : 5x 2 
 7x 2 11x 7
b) 16x 2 22x 15 6x 3 x 4 : x 2 2x 3 
 x 4 6x 3 16x 2 22x 15 : x 2 2x 3 
 x 2 4x 5
c) 6x 2x 3 5 11x 2 : x 2x 2 1 
 2x 3 11x 2 6x 5 : 2x 2 x 1 
 x 5
Dạng 3: Tìm x, biết:
 2
 2 1 
 b) x x : 2x 3x 1 : 3x 1 0
 2 
 4 3 3 2 
a) 4x 3x : x 15x 6x : 3x 0 1 1 
 x 3x 1 0
 ( 4x 3) (5x 2) 0 
 2 4 
 x 1 0 5 3
 x 0
 x 1 2 4
 3
 x 
 10
c) 42x 3 12x : 6x 7x x 2 8 d) 25x 2 10x : 5x 3 x 2 4
 7x 2 2 (7x 2 14x) 8 0 5x 2 3x 6 4 0
 14x 6 0 8x 4 0
 6 1
 x x 
 14 2
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:
 b) 5x 4 12x 3 13x 2 : 2x
a) 24x 5 9x 3 15x 2 : 3x 
 4 2 5 3 2 13 
 3x. 8x 3x 5x : 3x 2x . x 6x x : 2x 
 2 2 
 8x 4 3x 2 5x
 5 13
 x 3 6x 2 x
 2 2 c) 8x 5 x 3 2x 2 : 2x 2 d) 16x 6 21x 4 35x 2 : 7x 2 
 2 3 1 2 2 16 4 2 2
 2x . 4x x 1 : 2x 7x x 3x 5 : 7x 
 2 7 
 1 16
 4x 3 x 1 x 4 3x 2 5
 2 7
Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép:
Bài 1: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
 2
a) x 2x 1 : x 1 b) 8x 3 27 : 2x 3 
 2
 x 1 : x 1 2x 3 . 4x 2 6x 9 : 2x 3 
 x 1 4x 2 6x 9
 3
 4 2 2 d) 125 8x : 4x 10 
c) 2x 8x 8 : 4 2x 
 5 2x . 25 10x 4x 2 : 2 2x 5 
 2 x 4 4x 2 4 : 2 2 x 2 
 2 
 2 2x 5 . 25 10x 4x : 2 2x 5
 2 2 
 2 x : 2 x
 25 10x 4x 2 : 2
 2 x 2 
 25 2 
 5x 2x 
 2 
Bài 2: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
a) x 8 2x 4y 4 y 8 : x 2 y2 
 2 3 2
 x 4 y 4 : x 2 y2 b) 64x 27 : 16x 12x 9 
 2 3
 2 2 3 2
 2 2 2 2 4x 3 : 16x 12x 9 
 x y : x y 
 2 2
 2 4x 3 16x 12x 9 : 16x 12x 9 
 x 2 y2 x 2 y2 : x 2 y2
 4x 3
 2
 x 2 y2 x 2 y2 
c) x 3 9x 2 27x 27 : x 2 6x 9 
 3 2
 x 3 : x 3 
 x 3
Dạng 6: Tìm đa thức M biết:
a) x 3 5x 2 x 5 x 5 .M
 M x 3 5x 2 x 5 : x 5 
 M x 3 5x 2 x 5 : x 5
 M x 2 x 5 x 5 : x 5
 M x 5 x 2 1 : x 5
 M x 2 1 b) x 2 4x 3 .M 2x 4 13x 3 14x 2 15x
 M 2x 4 13x 3 14x 2 15x : x 2 4x 3 
 M x 2 4x 3 . 2x 2 5x : x 2 4x 3 
 M 2x 2 5x
c) 2x 6 x 4 2x 2 1 M . 2x 2 1 
 M 2x 6 x 4 2x 2 1 : 2x 2 1 
 M 2x 6 x 4 2x 2 1 : 2x 2 1
 M 2x 2 1 . x 3 1 : 2x 2 1 
 M x 3 1
d) x 2 x 1 .M x 4 x 3 4x 2 5x 3
 M x 4 x 3 4x 2 5x 3 : x 2 x 1 
 M x 2 x 1 . x 2 2x 3 : x 2 x 1 
 M x 2 2x 3
Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:
a) A x 3 9x 2 17x 25 a và B x 2 2x 3
Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a 4 . Vì A chia hết cho B nên 
 a 4 0 a 4
 b) A x 4 7x 3 10x 2 a 1 x b a và ?i
Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a 2 x a b 5 . Vì A chia hết cho 
 B nên a 2 x a b 5 0 với mọi giá trị x.
 a 2 0 a 2
Hay 
 a b 5 0 b 3
D.CÁC DẠNG BÀI TỔNG HỢP VẬN DỤNG CAO
PHIẾU BÀI MINH HỌA NÂNG CAO
Bài 1. Xác định a, b sao cho 2x3 ax b chia cho x 1 thì dư 6 , chia cho x 2 dư 21.
Bài 2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x, x 1 , x 2 , x 3 được dư lần lượt là 10; 
12; 4; 1.
Bài 3. Đặt x2 z a; y2 zx b, z2 xy c .Chứng minh rằng: ax by cza b c Bài 4. Tìm số dư của phép chia biểu thức x 1 x 3 x 5 x 7 2020 cho đa thức 
 x2 8x 12 
Bài 5. Cho x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: A 3xn z y 3yn x z 3zn y x 
chia hết cho B x y 3 y z 3 z x 3 với n là số nguyên lớn hơn 1.
Bài 6. Tìm các số nguyên a và b để đa thức A x x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức
 B x x2 3x 4 
Bài 7. Tìm a và b để f x x4 ax2 b chia hết cho x2 3x 2 
Bài 8. Cho đa thức P x ax2 bx c . Biết P(x) chia cho x 1 dư 3, P(x) chia cho x dư 1 và P(x) 
chia cho x 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c.
 (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT Chuyên, tỉnh Nam Định, năm học 2015 - 2016)
Bài 9. Çho x2 4x 1 0 .Tính giá trị biểu thức B x5 3x4 3x3 6x2 20x 2025 
Bài 10. Cho đa thức P x ax2 bx c .
Tìm a, b, c biết rằng P 0 26; P 1 3; P 2 2020 
Bài 11. Tìm phần dư trong phép chia sau:
a) f x x100 x99 x98 ... x 1 chia cho g x x 1 ;
b) f x x100 x99 x98 ... x 1 chia cho g x x2 1 ;
c) f x 100x100 99x99 98x98 ... 2x2 x 1 chia cho g x x 1 ;
d) f x x2 x9 x1945 3 chia cho x2 x 1 
Bài 12. 
a) Xác định hệ số a, b để f x x3 2x2 ax b chia hết cho g x x2 x 1 .
b) Tìm đa thức dư trong phép chia P x x161 x37 x13 x5 x 2020 cho đa thức Q x x2 1 .
Bài 13. Tìm phần dư của đa thức f x chia cho đa thức g x x2 2x 3 biết rằng f x chia 
cho x 1 và x 3 có số dư lần lượt là 45 và 165 .
Bài 14. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa thức C x3 3x2 3x 1 chia hết cho giá trị 
của đa thức D x2 x 1 
Bài 15. Xác định a, b sao cho f x 6x4 7x3 ax2 3x 2 chia hết cho g x x2 x b .
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI NÂNG CAO
Bài 1. Xác định a, b sao cho 2x3 ax b chia cho x 1 thì dư 6 , chia cho x 2 dư 21.
 Hướng dẫn giải – đáp số Theo định lý Bézout ta có: f 1 6; f 2 21 
 2 1 3 a 1 b 6 a b 4 (1)
 2.23 a.2 b 21 2a b 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3a 9 a 3;b 1 
Bài 2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x, x 1 , x 2 , x 3 được dư lần lượt là 10; 
12; 4; 1.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Theo định lý Bézout ta có:
 P 0 10; P 1 12; P 2 4; P 3 1 
Dùng phương pháp nội suy Newton.
Ta đặt: P x d cx bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 0 ta được P 0 d , suy ra d 10 .
 P x 10 cx bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 1 ta được P 1 10 c , suy ra c 2 .
 P x 10 2x bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 2 ta được P 2 10 4 2b , suy ra b 5 .
 P x 10 2x 5x x 1 ax x 1 x 2 
 5
Cho x 3 ta được P 3 10 6 30 6a , suy ra 14 6a 1 a .
 2
 5
Vậy P x 10 2x 5x x 1 x x 1 x 2 
 2
 5 25
Rút gọn ta được: P x x3 x2 12x 10 
 2 2
Bài 3. Đặt x2 z a; y2 zx b, z2 xy c .
Chứng minh rằng: ax by cza b c 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét ax by cz x2 yz x y2 zx y z2 xy z 
 x3 xyz y3 xyz z3 xyz 
 x3 3x2 y 3xy2 y3 3x3 y 3xy3 3xyz 
 x y 3 z3 3xy x y z x y z x y 2 x y z z2 3xyz 
 x y z x2 y2 z2 xy xz yz 
 x y z a b c 
Suy ra ax by cz chia hết cho a b c 
Bài 4. Tìm số dư của phép chia biểu thức x 1 x 3 x 5 x 7 2020 cho đa thức 
 x2 8x 12 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Cách 1. Ta có: f x x 1 x 3 x 5 x 7 2020 
 x2 8x 7 x2 8x 15 2020 
Đặt x2 8x 12 y f y y 5 y 3 2020
 f y y2 2y 2005 f y : y dư 2005
 f x chia cho x2 8x 12 dư 2005
Cách 2. g x x2 8x 12 
Ta có: g x x2 8x 12 x 2 x 6 
Gọi đa thức thương là q x đa thức dư là ax b , thì:
 f x g x .q x ax b 
Xét x x 2 , ta có: f 2 0 2a b 2a b 2005 (1)
Xét x 6 , ta có: f 6 0 6a b 6a b 2005 (2)
 a 0
Từ (1) và (2) suy ra 
 b 2005
Vậy đa thức dư là 2005.
Bài 5. Cho x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
 A 3xn z y 3yn x z 3zn y x chia hết cho B x y 3 y z 3 z x 3 với n là số 
nguyên lớn hơn 1.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có B 3 x y y z z x 
Xét x y A 0 A x y 
Xét y z A 0 A y z 
Xét x z A 0 A z x A x y y z z x mà A3