Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 3: Rút gọn phân thức (Có đáp án)

 ĐS8-C2-CD3. RÚT GỌN PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của 
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Rút gọn phân thức
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
Bước 2. Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.
Bài 1: Rút gọn phân thức
 17xy3 z4 y2 xy x2 25
A B C 
 34x3 y2 z 4xy 7y2 5x x2
 x2 xz xy yz 45x 3 x y2 x2
D E G 
 x2 xz xy yz 15x x 3 2 x3 3x2 y 3xy2 y3
Bài 2: Rút gọn phân thức
 ax4 a4 x x3 x2 6x 2a2 2ab
A B C 
 a2 ax x2 x3 4x ac ad bc bd
 x a 2 4x2 y 2x x2 y 2 x2 3x 2
D E F 3 
 a2 9x2 6ax x 2y y2 x 2 x 1 Bài 3: Rút gọn phân thức
 x3 5x2 6x x2 3xy 2y2 a b 2 c2
A 2 B 3 2 2 3 C 
 4x 10x 4 x 2x y xy 2y a b c
 a2 b2 c2 2ab b c 3 c a 3 a b 3
D 2 2 2 F 
 a b c 2ac a2 b c b2 c a c2 a b 
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và 
CD2.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
 3 3x 6
a) 
 2x 3 2x2 x 6
 2 2x2 6x
b) 
 x 4 x3 7x2 12x
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
 x5 1
a) x4 x3 x2 x 1 
 x 1
 2x2 xy y2 x y
b) 
 2x2 3xy y2 x y
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của 
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
 2 2 2 2 2 2
 x y z x y z a b c 
Bài 6: Cho 0 . Rút gọn biểu thức 
 a b c ax by cz 2
Bài 7: Cho ax by cz 0 . Rút gọn phân thức ax2 by2 cz2
A 
 bc y z 2 ac x z 2 ab x y 2
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của 
phân thức;
Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho 
không còn các ẩn ( x,y đề bài yêu cầu không phụ thuộc )
Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x .
 x2 y2
A 
 x y ay ax 
 2ax 2x 3y 3ay
B 
 4ax 6x 9y 6ay
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y .
9x2 1 3xy 3x 2y 2 1
 ; x ; y 1 
1 3x y 1 3
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
 x y x2 y2
Bài 10: Cho x y 0 .Chứng minh rằng 
 x y x2 y2 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
Bài 1: 
 17xy3 z4 yz3 y2 xy x2 25
A B C 
 34x3 y2 z 2x2 4xy 7y2 5x x2
 y x y y x x 5 x 5 x 5
 y 4x 7y 4x 7y x x 5 x
 x2 xz xy yz 45x 3 x 3 y2 x2
D E G 3 2 2 3
 x2 xz xy yz 15x x 3 2 3 x x 3x y 3xy y
 x z x y x y x y x y x y
 x z x y x y x y 3 x y 2
Bài 2: 
 ax4 a4 x x3 x2 6x 2a2 2ab
A B C 
 a2 ax x2 x3 4x ac ad bc bd
 ax x3 a3 x x2 x 6 2a a b 
 a2 ax x2 x x2 4 a c d b c d 
 ax x a a2 ax x2 2a a b 
 x x 2 x 3 
 2 2 
 a ax x x x 2 x 2 c d a b 
 ax x a x 3 2a
 x 2 c d
 x a 2 4x2 y 2x x2 y 2 x2 3x 2
D E F 3
 a2 9x2 6ax x 2y y2 x 2 x 1
 x a 2x x a 2x x 1 x 2 
 xy 2 x y 2 
 2 2 2
 a 6ax 9x x 1 x x 1 
 xy 2 y x 2 
 3x a a x x 2 
 2 xy x 2 y 2 
 3x a x2 x 1
 xy y 2 x 2 
 a x 
 1
 3x a Bài 3: 
 x3 5x2 6x x2 3xy 2y2 2 2
A a b c
 2 B 3 2 2 3 C 
 4x 10x 4 x 2x y xy 2y a b c
 x x2 5x 6x x y x 2y a b c a b c 
 2 2x2 5x 2 x2 x 2y y2 x 2y a b c
 a b c
 x x 2 x 3 x y x 2y 
 2 2x 1 x 2 x 2y x2 y2 
 x x 3 x y x 2y 
 2 2x 1 x 2y x y x y 
 x 2y 
 x 2y x y 
 a2 b2 c2 2ab b c 3 c a 3 a b 3
D 2 2 2 F 
 a b c 2ac a2 b c b2 c a c2 a b 
 a2 2ab b2 c2
 Mau a2 b c b2 c a c2 a b 
 a2 2ac c2 b2
 2 2 2 2 2
 2 2 a b c b c b a ac bc
 a b c
 2 2 2
 2 2 a b c bc b c a b c
 a c b 
 a b c a b c b c a a b c a b 
 a b c a b c b c a c a b 
 a b c b c 3 c a 3 a b 3
 F 
 a b c a b b c c a 
 Ta có nhận xét 
 Nếu x y z 0 x3 y3 z3 3xyz 
 Đặt b c x;c a y;a b z thì 
 x y z 0 
 x3 y3 z3 3xyz
 F 3 
 xyz xyz Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
 3 3x 6
a) 
 2x 3 2x2 x 6
 3x 6 3 x 2 3
VP VT
 2x2 x 6 x 2 2x 3 2x 3
 2 2x2 6x
b) 
 x 4 x3 7x2 12x
 2x2 6x 2x x 3 2x x 3 2
VP VT
 x3 7x2 12x x x2 7x 12 x x 4 x 3 x 4
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
 x5 1
a) x4 x3 x2 x 1 
 x 1
Thực hiện phép chia đa thức
x5 1 x 1 x4 x3 x2 x 1 
 2x2 xy y2 x y
b) 
 2x2 3xy y2 x y
 2x2 xy y2 2x2 2xy xy y2 x y 2x y x y
VT 
 2x2 3xy y2 2x2 2xy xy y2 x y 2x y x y
VT VP dpcm
Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
 x y z
Bài 7: Cho 0 . rút gọn biểu thức
 a b c
 x2 y2 z2 a2 b2 c2 
 ax by cz 2
 x y z
Đặt k 0 x ka; y kb; z kc
 a b c x2 y2 z2 a2 b2 c2 
 ax by cz 2
 k 2a2 k 2b2 k 2c2 a2 b2 c2 
 aka bkb ckc 2
 2
 k 2 a2 b2 c2 
 2
 k 2 a2 b2 c2 
 1
Bài 8: Cho ax by cz 0 . rút gọn phân thức
 ax2 by2 cz2
A 
 bc y z 2 ac x z 2 ab x y 2
Áp dụng hằng đẳng thức x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 
ax by cz 0 ax by cz 2 0 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2 axby axcz bycz 0
 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2 axby axcz bycz 1 
Biến đổi mẫu thức
bc y z 2 ac x z 2 ab x y 2
 bcy2 bcz2 acx2 acz2 abx2 aby2 2 abxy acxz bcyz (2)
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng
 bcy2 acx2 c2 z2 bcz2 abx2 b2 y2 acz2 aby2 a2 x2 
 c by2 ax2 cz2 b cz2 ax2 by2 a cz2 by2 ax2 
 cz2 by2 ax2 a b c 
 1
Vậy A 
 a b c
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x . x2 y2
A 
 x y ay ax 
 x y x y 
 a x y y x
 x y x y 
 a x y x y 
 1
 a
 2ax 2x 3y 3ay
B 
 4ax 6x 9y 6ay
 a 1 2x 3y 
 2x 3y 2a 3 
 a 1
 2x 3
Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, y 
9x2 1 3xy 3x 2y 2 1
 ; x ; y 1
1 3x y 1 3
 3x 1 3x 1 3x y 1 2 y 1 
 3x 1 y 1
 3x 2 y 1 
 3x 1 
 y 1
 3x 1 3x 2
 1
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
 x y x2 y2
Bài 11:cho x y 0 .chứng minh rằng 
 x y x2 y2
Do x y 0 nên x y 0 
Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có
x y x y x y x2 y2 x2 y2
 (1)
x y x y x y x y 2 x2 2xy y2 Mặt khác vì x y 0 nên x2 2xy y2 x2 y2 
 x2 y2 x2 y2
 (2)
Vậy x2 2xy y2 x2 y2
 (1)(2) dpcm
B.PHIẾU TỰ LUYỆN 
Dạng 1: Rút gọn phân thức.
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau.
 3 3
 14x5 y3 z2 25x2 y x 1 3x 5 x 60xy 3x 2 
a) b) c) d) 
 21x2 y4 z 30xy x 1 12 x 5 3 45xy2 2 3x 
Bài 2: Rút gọn các phân thức sau.
 2
 6x 12 y 2x x xy3 yx3 48y 12y2 3y3
a) b) c) d) 
 24x2 48x x 2y y2 x2 xy y3 64
Bài 3: Rút gọn các phân thức sau.
 5 x 3 3x 3 3x 5 x2 xy x y 2y3 y2 2y 1
a) b) c) d) 
 x2 4x 3 25 9x2 x2 xy x y y3 3y2 y 3
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức.
 2
 b2 2b 1 b 1 x a 4x2 a x x2 3x 2 x 2
a) b) c) 
 3b3 3b2 3b2 a2 9x2 6ax a 3x x3 1 x2 x 1
Bài 5: Chứng minh đẳng thức.
 xy x 2y 2 y 1 2x2 3xy y2 1
a) 2 b) 3 2 2 3 
 4 4x x x 2 2x x y 2xy y x y 
 4xy2 4x2 y x3 2xy x2 2y x
Bài 6: Cho hai phân thức P và Q với x 0; x 1; x 2y
 4x3 8x2 y 4x 4x2
Chứng minh rằng P = Q. Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước.
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức.
 3m2 2m n2 7n 6
a) A tại m 8 b) B tại n 1000001 
 9m2 12m 4 n3 6n2 n 6
Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính.
 a2 b c 2 a b c 
C 
 a b c a c 2 b2 
Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số.
 x2 y2 5kx 5x 3y 3ky 3
a) M b) N (với k là hằng số khác )
 x y 3x 3y 25kx 15x 9y 15ky 5
 x4 x3 x 1
Bài 10: Cho phân thức A 
 x4 x3 2x2 x 1
a) Thu gọn biểu thức A.
b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.
Dạng 5: Bài toán nâng cao.
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên.
 3 3u2 2u 1 1
a) với u 2 b) với u 
 u 2 3u 1 3
 x2 2x 2019
Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A với x 0 .
 x2
 3x2 9x 17
b) Tìm giá trị lớn nhất của B 
 3x2 9x 7
 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Rút gọn phân thức.