Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 7: Luyện tập phép cộng phân thức (Có đáp án)

 1/1
 0
 ĐS8-C2-CD7.LUYỆN TẬP PHÉP CỘNG PHÂN THỨC
 Dạng 1: Thực hiện phép tính.
 Bài 1: Thực hiện phép tính.
 1 2x 1
 a, . 
 x2 3x 2 x3 4x2 4x x2 5x 6
 1 1 x 2
 b, .
 2x 3 2x 3 2x2 x 3
 1 1 1 x
 c, .
 x2 x 2 x2 x 2 (x 1)2 (x 3)
 Bài 2: Thực hiện phép tính.
 1 1 1 1 1 1
 . 
 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16
 Dạng 2: Đơn giản biểu thức.
 Bài 3: Đơn giản biểu thức sau.
 1 1 1
 . 
 a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b)
 Bài 4: Cho a b c 0 . Rút gọn biểu thức:
 1 1 1
 .
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
 Dạng 3: Tìm các số a,b, c, d thỏa mãn điều kiện cho trước.
 Bài 5: Hãy tìm giá trị của a, b để có các đẳng thức sau:
 5x a b
 a, .
 (x 2)(x 3) x 2 x 3
 5x 31 a b
 b, .
 (x 5)(x 2) x 5 x 2
 3x 5 a b
 c, .
 (x 1)2 x 1 (x 1)2
 8x 1 a b
 d, .
 (x 3)2 x 3 (x 3)2
 1 a b
 e, . 
 x(x 1)(x 2) x(x 1) (x 1)(x 2) 2/1
 0
 Bài 6: Xác định các số hữu tỷ a,b, c sao cho:
 9x2 16x 4 a b c
 a, .
 x3 3x2 2x x x 1 x 2
 2x2 x 1 a b c
 b, . 
 (x 1)(x 2)2 x 1 x 2 (x 2)2
 Bài 7: Xác định các số hữu tỷ a,b, c, d sao cho:
 x3 a b cx d
 . 
 x4 1 x 1 x 1 (x2 1)
 Dạng 4: Chứng minh biểu thức.
 b2 3 5b 1 b 6
 Bài 8: Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức luôn dương với 
 (b 2)4 (2 b)4 (b 2)4
 mọi b 2.
 Bài 9: Với a,b, c là 3 số khác nhau. Chứng minh tổng sau bằng 0. 
 1 1 1
 .
 (a b)(b c) (c a)(a b) (b c)(c a)
 Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 Bài 10:
 2x2 16x 50
 a, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A . 
 x2 8x 22
 2x2 16x 43
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B .
 x2 8x 22
 HƯỚNG DẪN
 Dạng 1: Thực hiện phép tính.
 Bài 1: Thực hiện phép tính.
 1 2x 1
 a, 
 x2 3x 2 x3 4x2 4x x2 5x 6 3/1
 0
 1 2x 1
 x2 2x x 2 x(x2 4x 4) x2 3x 2x 6
 1 2x 1
 x(x 2) (x 2) x(x 2)2 x(x 3) 2(x 3)
 1 2x 1
 (x 2)(x 1) x(x 2)2 (x 3)(x 2)
 x(x 2)(x 3) 2x(x 1)(x 3) x(x 1)(x 2)
 x(x 1)(x 2)2 (x 3) x(x 1)(x 2)2 (x 3) x(x 1)(x 2)2 (x 3)
 x(x 2)(x 3) 2x(x 1)(x 3) x(x 1)(x 2)
 x(x 1)(x 2)2 (x 3)
 x3 5x2 6x 2x3 8x2 6x x3 3x2 2x
 x(x 1)(x 2)2 (x 3)
 2x
 x(x 1)(x 2)2 (x 3)
 2
 .
 (x 1)(x 2)2 (x 3) 
 1 1 x 2
 b, 
 2x 3 2x 3 2x2 x 3
 1 1 x 2
 2x 3 2x 3 2x2 x 3
 1 1 x 2
 2x 3 2x 3 2x2 2x 3x 3
 1 1 x 2
 2x 3 2x 3 2x(x 1) 3(x 1)
 (2x 3)(x 1) (2x 3)(x 1) (x 2)(2x 3)
 (2x 3)(2x 3)(x 1) (2x 3)(2x 3)(x 1) (2x 3)(2x 3)(x 1)
 (2x 3)(x 1) (2x 3)(x 1) (x 2)(2x 3)
 (2x 3)(2x 3)(x 1)
 2x2 x 3 2x2 5x 3 2x2 x 6 2x2 7x 12
 .
 (2x 3)(2x 3)(x 1) (2x 3)(2x 3)(x 1)
 1 1 1 x
 c, 
 x2 x 2 x2 x 2 (x 1)2 (x 3) 4/1
 0
 1 1 1 x
 x2 2x x 2 x2 2x x 2 x2 2x 1 x 3
 1 1 1 x
 x(x 2) (x 2) x(x 2) (x 2) x2 2x x 2
 1 1 1 x
 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) (1 x)(x 1)(x 2)
 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2) (x 1)(x 1)(x 2)(x 2) (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
 x2 x 2 x2 x 2 x3 3x 2
 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
 x3 2x2 3x 6
 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
 (x2 3)(x 2)
 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
 x2 3
 .
 (x 1)(x 1)(x 2)
 Bài 2: Thực hiện phép tính.
 1 1 2 4 8 16
 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16
 1 1 2 4 8 16
 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16
 2 2 4 8 16
 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16
 4 4 8 16
 1 x4 1 x4 1 x8 1 x16
 8 8 16
 1 x8 1 x8 1 x16
 16 16
 1 x16 1 x16
 32
 .
 1 x32
 Dạng 2: Đơn giản biểu thức.
 Bài 3: Đơn giản biểu thức sau.
 1 1 1
 a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b)
 Ta có: 5/1
 0
 1 1
 a(a b)(a c) b(b c)(b a)
 b(b c) a(a c)
 ab(a b)(b c)(a c)
 b2 bc a2 ac
 ab(a b)(b c)(a c)
 (a b)( a b c)
 ab(a b)(b c)(a c)
 a b c
 (a b)
 ab(b c)(a c)
 Vậy: 
 1 1 1
 a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b)
 a b c 1
 ab(b c)(a c) c(c a)(c b)
 ac bc c2 ab
 abc(a c)(b c)
 (a c)(b c)
 abc(a c)(b c)
 1
 (a c,b c)
 abc
 Bài 4: Cho a b c 0 . Rút gọn biểu thức:
 1 1 1
 .
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
 Do a b c 0 a b c a2 2ab b2 c2
 a2 b2 c2 2ab
 2 2 2
 Nên b c a 2bc
 2 2 2
 a c b 2ac
 Vậy 
 1 1 1
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 6/1
 0
 1 1 1 
 2ab 2bc 2ca 
 a b c
 2abc
 Dạng 3: Tìm các số a,b, c, d thỏa mãn điều kiện cho trước.
 Bài 5: Hãy tìm giá trị của a, b để có các đẳng thức sau:
 5x a b
 a, 
 (x 2)(x 3) x 2 x 3
 5x a(x 3) b(x 2)
 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3)
 5x x(a b) 3a 2b
 (x 2)(x 3) (x 2)(x 3)
 a b 5 a 10
 .
 3a 2b 0 b 15
 5x 31 a b
 b, 
 (x 5)(x 2) x 5 x 2
 5x 31 a(x 2) b(x 5)
 (x 5)(x 2) (x 5)(x 2)
 5x 31 x(a b) 2a 5b
 (x 5)(x 2) (x 5)(x 2)
 a b 5 a 8
 .
 2a 5b 31 b 3
 3x 5 a b
 c, 
 (x 1)2 x 1 (x 1)2
 3x 5 a(x 1) b
 (x 1)2 (x 1)2
 3x 5 ax a b
 (x 1)2 (x 1)2
 a 3 a 3
 .
 a b 5 b 8
 8x 1 a b
 d, 
 (x 3)2 x 3 (x 3)2 7/1
 0
 8x 1 a(x 3) b
 (x 3)2 (x 3)2
 8x 1 ax 3a b
 (x 3)2 (x 3)2
 a 8 a 8
 .
 3a b 5 b 19
 1 a b
 e, 
 x(x 1)(x 2) x(x 1) (x 1)(x 2)
 1 a(x 2) bx
 x(x 1)(x 2) x(x 1)(x 2)
 1 x(a b) 2a
 x(x 1)(x 2) x(x 1)(x 2)
 1
 a 
 a b 0 2
 .
 2a 1 1
 b 
 2
 Bài 6: Xác định các số hữu tỷ a,b, c sao cho:
 9x2 16x 4 a b c
 a, 
 x3 3x2 2x x x 1 x 2
 9x2 16x 4 a(x 1)(x 2) bx(x 2) cx(x 1)
 x(x 1)(x 2) x(x 1)(x 2)
 9x2 16x 4 x2 (a b c) ( 3a 2b c)x 2a
 x(x 1)(x 2) x(x 1)(x 2)
 a b c 9 a 2
 3a 2b c 16 b 3 .
 2a 4 c 4
 2x2 x 1 a b c
 b, 
 (x 1)(x 2)2 x 1 x 2 (x 2)2
 2x2 x 1 a b c
 (x 1)(x 2)2 x 1 x 2 (x 2)2
 2x2 x 1 a(x 2)2 b(x 1)(x 2) c(x 1)
 (x 1)(x 2)2 (x 1)(x 2)2 
 2x2 x 1 x2 (a b) ( 4a b c)x (4a 2b c)
 (x 1)(x 2)2 (x 1)(x 2)2 8/1
 0
 4
 a 
 9
 a b2 9 
 14
 4a b c 1 b . 
 9
 4a 2b c 1 
 7
 c 
 3
 Bài 7: Xác định các số hữu tỷ a,b, c, d sao cho: 
 x3 a b cx d
 x4 1 x 1 x 1 (x2 1)
 x3 a(x 1)(x2 1) b(x 1)(x2 1) (cx d)(x 1)(x 1)
 (x 1)(x 1)(x2 1) (x 1)(x 1)(x2 1)
 x3 x3 (a b c) x2 (a b d) x(a b c) (a b d)
 (x 1)(x 1)(x2 1) (x 1)(x 1)(x2 1)
 1
 a 
 4
 a b c 1 
 1
 a b d 0 b 
 4 .
 a b c 0
 1
 c 
 a b d 0 
 2
 d 0
 Dạng 4: Chứng minh biểu thức.
 b2 3 5b 1 b 6
 Bài 8: Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức luôn dương với 
 (b 2)4 (2 b)4 (b 2)4
 mọi b 2.
 Ta có:
 b2 3 5b 1 b 6
 (b 2)4 (2 b)4 (b 2)4
 b2 3 5b 1 b 6
 (b 2)4
 b2 4b 10 (b 2)2 6
 .
 (b 2)4 (b 2)4
 Ta thấy (b 2)2 6 luôn dương với mọi b 2 
 (b 2)4 luôn dương với mọi b 2
 Vậy biểu thức luôn dương với mọi b 2. 9/1
 0
 Bài 9: Với a,b, c là 3 số khác nhau. Chứng minh tổng sau bằng 0. 
 1 1 1
 .
 (a b)(b c) (c a)(a b) (b c)(c a)
 Ta có: 
 1 1
 (a b)(b c) (c a)(a b)
 c a b c
 (a b)(b c)(c a)
 b a
 (a b)(b c)(c a)
 1
 .
 (b c)(c a)
 1 1 1 1 1
 Nên 0.
 (a b)(b c) (c a)(a b) (b c)(c a) (b c)(c a) (b c)(c a)
 Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 Bài 10:
 Bài 10: 
 1
 a) Sau khi biến đổi biểu thức A 2 ta có thể trình bày là:
 (x 4)2 6
 2 2
 Ta có : x 4 0 x x 4 6 6 x 
 1 1 6
 x 1 x
 2 2
 x 4 6 6 x 4 6
 6
 2 2 1 3 x
 2
 x 4 6
 Hay A 3 x
 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 4 0 x=4
 Vậy Max A 3 x 4 
 1
 b) Sau khi biến đổi biểu thức B 2 ta có thể trình bày là:
 (x 4)2 6
 2 2
 Ta có : x 4 0 x x 4 6 6 x 10/
10
 1 1 1 1
 x x
 2 2
 x 4 6 6 x 4 6 6
 1 1 11
 2 2 x
 2
 x 4 6 6 6
 11
 B x
 Hay 6
 2
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 4 0 x=4
 11
 Vậy Min B x 4 
 6