Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức (Có đáp án)

 ĐS8-HKII-C3-CD3- PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các 
mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định 
chính là nghiệm của phương trình đã cho.
 Chú ý. Nếu A(x)= 0 tại x = x1 hoặc x = x2 thì
 A(x)¹ 0 khi x ¹ x1 và x ¹ x2
II.BÀI TẬP MINH HỌA
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN
Phương Pháp
Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
 3x - 2 6x + 1
a. = ;
 x + 7 2x - 3
 x + 1 x - 1 4
b. - = .
 x - 1 x + 1 x 2 - 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
 6 2 18
a. + = - 1;
 x - 5 x - 8 (x - 5)(8 - x)
 3 1 9
b. - = ;
 x + 1 x - 2 (x + 1)(x - 2)
 x 2 - x x 2 7x 2 - 3x
c. - = .
 x + 3 x - 3 9- x 2
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
 1 3 5
a. - = ;
 2x - 3 x (2x - 3) x
 3 2 1
b. - = .
 (x - 1)(x - 2) (x - 1)(x - 3) (x - 2)(x - 3)
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
 æ ö
 1 ç1 ÷ 2
a. 2 + = ç + 2÷(x + 1);
 x èçx ø÷ æ ö2 æ ö2
 ç 1÷ ç 1÷
b. çx + 1+ ÷ = çx - 1- ÷ .
 èç x ø÷ èç x ø÷
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
 1 3x 2 2x
a. - = ;
 x - 1 x 3 - 1 x 2 + x + 1
 13 1 6
b. + = .
 (x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3)
Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2 .
 3x - 1 x - 3
a. A = + ;
 3x + 1 x + 3
 10 3x - 1 7x + 2
b. B = - - .
 3 4x + 12 6x + 18
LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
 3x - 2 6x + 1
c. = ;
 x + 7 2x - 3
 x + 1 x - 1 4
d. - = .
 x - 1 x + 1 x 2 - 1
Lời giải
 3x - 2 6x + 1
a. = . (1)
 x + 7 2x - 3
 3
ĐKXĐ của phương trình (1) là x ¹ và x ¹ - 7 .
 2
Mẫu số chung (MSC) của phương trình là (x + 7)(2x - 3). Khi đó:
 (3x - 2)(2x - 3) (6x + 1)(x + 7)
(1) Û =
 (x + 7)(2x - 3) (x + 7)(2x - 3)
 Û 6x 2 - 9x - 4x + 6 = 6x 2 + 42x + x + 7
 1
 Û 56x = - 1 Û x = - .
 56
 1 1
So với ĐKXĐ ta thấy x = - thỏa mãn, vậy x = - là nghiệm của phương trình đã cho.
 56 56
 x + 1 x - 1 4
b. - = . (2)
 x - 1 x + 1 x 2 - 1
ĐKXĐ của phương trình (2) là x ¹ ± 1.
Mẫu số chung của phương trình là (x - 1)(x + 1). Khi đó:
 2
 (x + 1) - (x - 1) 4
(2) Û =
 (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1)
 Û x 2 + 2x + 1- x 2 + 2x - 1 = 4
 Û 4x = 4 Û x = 1.
So với ĐKXĐ ta thấy giá trị x = 1 không thỏa mãn nên bị loại. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
 6 2 18
a. + = - 1;
 x - 5 x - 8 (x - 5)(8 - x)
 3 1 9
b. - = ;
 x + 1 x - 2 (x + 1)(x - 2)
 x 2 - x x 2 7x 2 - 3x
c. - = .
 x + 3 x - 3 9- x 2
Lời giải
a. ĐKXD của phương trình là x ¹ 5,x ¹ 8 .
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là (x - 5)(x - 8).
Với điều kiện đó phương trình trở thành
 6(x - 8)+ 2(x - 5)+ 18 + (x - 5)(x - 8) = 0 .
Phương trình tương đướng với x (x - 5) = 0 .
Phương trình cuối có hai nghiệm x = 0 và x = 5 .
So với điều kiện thì giá trị x = 5 bị loại.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 .
b. ĐKXĐ của phương trình là x ¹ - 1,x ¹ 2.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là (x + 1)(x - 2).
Với điều kiện đó phương trình trở thành 3(x - 2)- x - 1 = 9, hay 2x = 16 .
Phương trình này có ngiệm x = 8 , giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của 
phương trình đã cho.
c. ĐKXĐ của phương trình là x ¹ ± 3.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là (x - 3)(x + 3) = x 2 - 9.
Với điều kiện đó phương trình trở thành
(x 2 - x)(x - 3)- x 2 (x + 3)+ 7x 2 - 3x = 0.
Biến đổi phương trình trở thành 0 = 0.
Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị x thỏa mãn điều kiện nên nghiệm của 
phương trình đã cho là mọi x ¹ ± 3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
 1 3 5
a. - = ;
 2x - 3 x (2x - 3) x
 3 2 1
b. - = .
 (x - 1)(x - 2) (x - 1)(x - 3) (x - 2)(x - 3)
Lời giải
 3
a. ĐKXĐ của phương trình là x ¹ 0,x ¹ .
 2 Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là x (2x - 3).
Với điều kiện đó phương trình trở thành x - 3- 5(2x - 3) = 0, hay 9x = 12 .
 4
Phương trình có nghiệm x = , giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương 
 x
trình đã cho.
b. ĐKXĐ của phương trình là x ¹ 1,x ¹ 2,x ¹ 3.
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là (x - 1)(x - 2)(x - 3).
Với điều kiện có phương trình trở thành 3(x - 3)- 2(x - 2) = x - 1, hay 0x = 4. Phương trình 
cuối vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
 æ ö
 1 ç1 ÷ 2
a.2 + = ç + 2÷(x + 1);
 x èçx ø÷
 æ ö2 æ ö2
 ç 1÷ ç 1÷
b.çx + 1+ ÷ = çx - 1- ÷ .
 èç x ø÷ èç x ø÷
Lời giải
a. ĐKXD của phương trình là x ¹ 0 .
 æ ö
 2 ç1 ÷
Với điều kiện đó phương trình trở thành x ç + 2÷= 0 , hay x (1+ 2x) = 0 .
 èçx ø÷
 1 1
Phương trình có nghiệm x = 0 và x = - . Chỉ có giá trị x = - thỏa mãn điều kiện nên nó 
 2 2
là nghiệm của phương trình đã cho.
b. ĐKXD của phương trình là x ¹ 0 .
 æ ö2 æ ö2
 ç 1÷ ç 1÷
Với điều kiện đó phương trình trở thành çx + 1+ ÷ - çx - 1- ÷ = 0.
 èç x ø÷ èç x ø÷
 æ ö
 ç 2÷
Biến đổi phương trình trở thành 2x ç2 + ÷= 0, hay x + 1 = 0.
 èç x ø÷
Phương trình có nghiệm x = - 1, giá trị đó thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương 
trình đã cho.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
 1 3x 2 2x
a. - = ;
 x - 1 x 3 - 1 x 2 + x + 1
 13 1 6
b. + = .
 (x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3)
Lời giải
 1 3x 2 2x
a. - = .
 x - 1 x 3 - 1 x 2 + x + 1
 æ ö2
 3 2 2 ç 1÷ 3
Ta có x - 1 = (x - 1)(x + x + 1),x + x + 1 = çx + ÷ + > 0 nên ĐKXD của phương trình là 
 èç 2ø÷ 4
 x ¹ 1. Với điều kiện đó, MSC là x 3 - 1 = (x - 1)(x 2 + x + 1). Quy đồng mẫu số, ta có 
 1 3x 2 2x
 - =
 x - 1 x 3 - 1 x 2 + x + 1
 x 2 + x + 1- 3x 2 2x (x - 1)
 Û =
 (x - 1)(x 2 + x + 1) (x - 1)(x 2 + x + 1)
 Û 4x 2 - 3x - 1 = 0 Û (4x + 1)(x - 1) = 0
 1
 Û x = 1;x = - .
 4
 1
So với ĐKXĐ giá trị x = 1 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - .
 4
 13 1 6
b. + = .
 (x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3)
 2
ĐKXĐ của phương trình là x ¹ ± 3;x ¹ - . Với điều kiện này, ta có
 7
 13 1 6
 + =
 (x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3)
 13(x + 3)+ (x + 3)(x - 3) 6(2x + 7)
 Û =
 (x - 3)(2x + 7)(x + 3) (x - 3)(2x + 7)(x + 3)
 Û 13x + 39 + x 2 - 9 = 12x + 42
 Û x 2 + x - 12 = 0 Û (x - 3)(x + 4) = 0
 Û x = 3;x = - 4.
So với ĐKXĐ giá trị x = 3 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 4 .
Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2 .
 3x - 1 x - 3
a.A = + ;
 3x + 1 x + 3
 10 3x - 1 7x + 2
b.B = - - .
 3 4x + 12 6x + 18
Lời giải
 1
a. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức A là x ¹ - 3,x ¹ - .
 3
Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành:
 (3x - 1)(x + 3)+ (x - 3)(3x + 1)
 A =
 (3x + 1)(x + 3)
 (3x 2 + 8x - 3)+ (3x 2 - 8x - 3)
 =
 (3x - 1)(x + 3)
 6x 2 - 6
 = .
 (3x - 1)(x + 3)
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có: 6x 2 - 6
 = 2 , hay 6x 2 - 6 = 2(3x + 1)(x + 3).
 (3x - 1)(x + 3)
 3
Tức là 6x 2 - 6 = 6x 2 + 20x + 6, hay 20x = - 12, nghĩa là x = - .
 5
Giá trị này của c thỏa mãn điều kiện đặt ra.
 3
Vậy với x = - thì biểu thức A có giá trị bằng 2.
 5
b. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức B là x ¹ - 3 .
Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức B trở thành:
 40(x + 3)- 3(3x - 1)- 2(7x + 2)
 B =
 12(x + 3)
 40x + 1120- 9x + 3- 14x - 4 17(x + 7)
 = = .
 12(x + 3) 12(x + 3)
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có:
 17(x + 7) 47
 = 2 , hay 7x = 47, tức là x = .
 12(x + 3) 7
Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện đặt ra.
 47
Vậy với x = thì biểu thức B có giá trị bằng 2.
 7
B.DẠNG NÂNG CAO
 (x2 - x- 6)(x- 5) (x2 - x- 6)(x- 4)
Ví dụ1. Cho A(x)= và B(x)=
 x(x2 + 2x + 2) 3x3 + 6x2 + 6x
a) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau;
 A(x)
b) Tìm x để = 5
 B(x)
Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x:
 x + 2m x + 5
 - 1= + 1 (với m là hằng số).
 x- 5 2m- x
a) Giải phương trình với m = 5;
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 10;
c) Giải phương trình với tham số m.
Ví dụ 3. Giải các phương trình:
 2 æ3x- 2 ö 2 æ3x- 2 ö
a) (2x + 9x- 4)ç + 1÷= (x + 11x + 20)ç + 1÷
 èç8- 9x ø÷ èç8- 9x ø÷
 x 2x + 2 5 x + 7
b) - = -
 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7 æ 1 1 ö 5a(a + 3x) x
Ví dụ 4. Cho phương trình xç + ÷= - với a là hằng số.
 èçx + a x- aø÷ 4(x2 - a2 ) x- a
a) Tìm a để phương trình trên có nghiệm là nghiệm của phương trình 
 3 2 - 29
 - = ;
 x- 5 x + 5 25- x2
b) Giải phương trình với a = 6.
Ví dụ 5. Giải phương trình
 x3 3x2
a. x3 + + - 2 = 0
 (x- 1)3 x- 1
 1 1 1 1 1
b. + + + =
 x2 - 5x + 6 x2 - 7x + 12 x2 - 9x + 20 x2 - 11x + 30 8
 HƯỚNG DẪN DẠNG BÀI NÂNG CAO
 (x2 - x- 6)(x- 5) (x2 - x- 6)(x- 4)
Ví dụ1. Cho A(x)= và B(x)=
 x(x2 + 2x + 2) 3x3 + 6x2 + 6x
c) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau;
 A(x)
d) Tìm x để = 5
 B(x)
Lời giải
 (x2 - x- 6)(x- 5) (x2 - x- 6)(x- 4)
a) Để A(x) = B(x) thì =
 x(x2 + 2x + 2) 3x(x2 + 2x + 2)
ĐKXĐ: x(x2 + 2x + 2)¹ 0 và 3x3 + 6x2 + 2x ¹ 0 hay 3x(x2 + 2x + 2)¹ 0
 2
Do x2 + 2x + 2 = (x + 1) + 1¹ 0, " x nên ĐKXĐ là x ¹ 0 .
Từ phương trình trên suy ra: 3(x2 - x- 6)(x- 5)= (x2 - x- 6)(x- 4)
 Û (x2 - x- 6)(3x- 15)- (x2 - x- 6)(x- 4)= 0
 Û (x2 - x- 6)(3x- 15- x + 4)= 0
 éx- 3 = 0 éx = 3
 ê ê
 Û x- 3 x + 2 2x- 11 = 0 Û êx + 2 = 0 Û êx = - 2
 ( )( )( ) ê ê
 ê ê
 ë2x- 11= 0 ëx = 5,5
Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ Vậy với x = - 2; x = 3; x = 5,5 thì A(x) = B(x).
 A(x) (x2 - x- 6)(x- 5) (x2 - x- 6)(x- 4)
b) = 5 nghĩa là : = 5
 B(x) x(x2 + 2x + 2) 3x3 + 6x2 + 6x
 (x2 - x- 6)(x- 5) 3x(x2 + 2x + 2)
Hay là . = 5 (*)
 x(x2 + 2x + 2) (x2 - x- 6)(x- 4)
 2
Do x2 + 2x + 2 = (x + 1) + 1¹ 0, " x , nên ta có
 3x(x2 - x- 6)(x- 5) 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)
(*)Û = 5 = 5
 x(x2 - x- 6)(x- 4) x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
ĐKXĐ: x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ 4
Từ ĐKXĐ và phương trình trên suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0
 Û 3x- 15- 5x + 20 = 0 Û 2x = 5 Û x = 2,5 thỏa mãn ĐKXĐ.
 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)
 Nhận xét: Từ = 5 suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0
 x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
Ta có thể hiểu như sau: Do x ¹ 0; x ¹ 2; x ¹ 3 ; nên x(x- 2)(x- 3)¹ 0 . Do đó chia cả tử và 
 3(x- 5)
mẫu cho số khác 0 ta có = 5 và với x ¹ 4 ta được phương trình tương đương 
 (x- 4)
 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0
Hoặc có thể hiểu như sau:
 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)
Từ = 5với x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ 4 ta có:
 x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)= 5x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
 é ù
 Û x(x + 2)(x- 3)ë3(x- 5)- 5(x- 4)û= 0
 Û 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0 do x(x + 2)(x- 3)¹ 0
Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x:
 x + 2m x + 5
 - 1= + 1 (với m là hằng số).
 x- 5 2m- x
d) Giải phương trình với m = 5;
e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 10;
f)Giải phương trình với tham số m. Lời giải
 x + 2m x + 5 x + 2m x + 5
 - 1= + 1Û + = 2
 x- 5 2m- x x- 5 x- 2m
 x + 10 x + 5
a)---------------------------Khi m = 5 ta có: + = 2 (1)
 x- 5 x- 10
Với ĐKXĐ x ¹ 5 và x ¹ 10 thì
từ (1)Þ x2 - 100+ x2 - 25 = 2x2 - 30x + 100
 Û 30x = 225 Û x = 7,5 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 10+ 2m 15
b)Nếu x = 10 ta có ( + = 2 (2)
 5 10- 2m
Với ĐKXĐ m ¹ 5 (2)Þ 100 - 4m2 + 75 = 100- 20m
 Û 4m2 - 20m- 75 = 0
 é2m- 15 = 0 ém = 7,5
 Û (2m- 15)(2m + 5)= 0 Û ê Û ê
 ëê2m + 5 = 0 ëêm = - 2,5
c) Điều kiện của nghiệm nếu có là x ¹ 5 và x ¹ 2m
 x + 2m x + 5
Biến đổi phương trình + = 2 thành
 x- 5 x- 2m
(x + 2m)(x- 2m)+ (x + 5)(x- 5)= 2(x- 5)(x- 2m)
 Û x2 - 4m2 + x2 - 25 = 2x2 - 4mx- 10x + 20m
 Û 4mx + 10x = 4m2 + 20m + 25 Û 2x(2m + 5)= (2m + 5)2 (*)
 2m + 5
Nếu m ¹ - 2,5 thì x = . Giá trị này là nghiệm của phương trình nếu
 2
 2m + 5
 ¹ 2m Þ 2m + 5 ¹ 4m Û m ¹ 2,5
 2
 2m + 5
và ¹ 5 Þ 2m + 5 ¹ 10 Þ m ¹ 2,5
 2
 Nếu m = - 2,5 thì (*) có dạng 0x = 0 . Phương trình nghiệm đúng " x ¹ ± 5
 2m + 5
Kết luận: Nếu m ¹ ± 2,5 phương trình có nghiệm duy nhất là x =
 2
Nếu m = 2,5 phương trình vô nghiệm;
Nếu m = - 2,5 phương trình nghiệm đúng " x ¹ ± 5 Nhận xét: Câu b) có cách giải khác như sau:
 10+ 2m 15
 + = 2 Þ 100- 4m2 + 75 = 100- 20m
 5 10- 2m
 Û 100 = 4m2 - 20m + 25
 é2m- 5 = 10 é2m = 15 ém = 7,5
 Û 102 = (2m- 5)2 Û ê Û ê Û ê
 ëê2m- 5 = - 10 ëê2m = - 5 ëêm = - 2,5
Ví dụ 3. Giải các phương trình:
 2 æ3x- 2 ö 2 æ3x- 2 ö
c) (2x + 9x- 4)ç + 1÷= (x + 11x + 20)ç + 1÷
 èç8- 9x ø÷ èç8- 9x ø÷
 x 2x + 2 5 x + 7
d) - = -
 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7
Lời giải
a) Hai vế có nhân tử chung. Ta chuyển vế rồi đưa về dạng A(x).B(x)= 0
 8 2 æ3x- 2 ö
ĐKXĐ: x ¹ . Biến đổi phương trình thành (x - 2x- 24)ç + 1÷= 0
 9 èç8x + 9 ø÷
 éx = - 4
 Với x2 - 2x- 24 = 0 Û (x + 4)(x- 6)= 0 Û ê
 ëêx = 6
 3x- 2
 Với + 1= 0 Û 3x- 2+ 8- 9x = 0 Û x = 1
 8- 9x
Cả ba giá trị trên x đều thỏa mãn ĐKXĐ nên tập nghiệm của phương trình là S = {- 4;1;6}
b) Các mẫu số khá phức tạp nên không dễ tìm ĐKXĐ. Nếu ta chuyển vế rồi cộng, trừ 
các phân thúc cùng mẫu ta thấy xuất hiện nhân tử chung là (x- 5)
Từ đó có cách giải sau: Biến đổi phương trình về dạng:
 x- 5 x- 5
 - = 0
 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7
 æ 1 1 ö (x- 5)(4- 4x)
 Û (x- 5)ç - ÷= 0 Û = 0
 èç2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7ø÷ (2x2 - 5x + 3)(2x2 - 9x + 7)
Xét tử số (x- 5)(4- 4x)= 0 Û x = 1 hoặc x = 5.
 Với x = 1 thì 2x2 - 9x + 7 = 0 Þ phương trình không xác định.
 Với x = 5 thì (2x2 - 5x + 3)(2x2 - 9x + 7)= 28.12 ¹ 0 .