Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân (Có đáp án)

 ĐS8-C4-CD 2. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN
A. BÀI GIẢNG
1. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN VỚI SỐ LƯỢNG
Ví dụ 1. a. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức 2 3 với 5091 thì được bất đẳng thức nào?
 b. Dự đoán kết quả khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức 2 3 với số c dương thì được bất 
 đẳng thức nào?
 Giải
Ta có ngay:
 2.5091 3.5091 10182 15273 (đúng) và dự đoán được rằng 2c 3c với c dương.
Tính chất 1: Với ba số a, b và c 0 , ta có:
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đăng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức 
 mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ 2. Điền dấu thích hợp ( ) vào ô vuông:
 a. ( 15,2).3,5 □ (-15,08).3,5 
 b. 4,15.2,2 □ (-5,3).2,2
 Giải
a. Ta có ngay cách điền:
 ( 15,2).3,5 < (-15,08).3,5
Vì luôn có 15,2 15,08 và bất đẳng thức trên được hình thành khi nhân cả hai vế của nó với 
3,5 0 .
b. Ta có ngay cách điền:
 4,15.2,2 > (-5,3).2,2
Vì luôn có 4,15 5,3 và bất đẳng thức trên được hình thành khi nhân cả hai vế của nó với 2,2 0
2. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN SỐ ÂM.
Ví dụ 3. a. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức 2 3 với -345 thì được bất đẳng thức nào?
 b. Dự đoán kết quả khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức 2 3 với số c âm thì được bất đẳng 
thức nào?
 Giải Ta có ngay: 2.( 345) 3.( 345) 690 1035, sai.
Tức là dấu bất đẳng thức cần đổi chiều về dạng 690 1035 và dự đoán được rằng 2c 3c với c âm.
Tính chất 2.: Với ba số a, b và c 0 , ta có:
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 a b
 ▪ Nếu a b thì a.c b.c và .
 c c
 Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới 
 ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ 4. Cho 4a 4b , hãy so sánh a và b.
 Giải
Bằng cách chia hai bất đẳng thức với -4, ta được a b .
Ví dụ 5. Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác 0 thì sao?
 Giải
 Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác 0 thì:
 ▪ Dấu bất đẳng thức không thay đổi nếu a 0 .
 ▪ Dấu bất đẳng thức đổi chiều nếu a 0 .
3. TÍNH CHẤT BẮC CẦU CỦA THỨ TỰ
 Tính chất: Với ba số a, b và c, nếu a b và b c thì a c
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 
 a. ( 6).5 ( 5).5
 b. ( 6).( 3) ( 5).( 3)
 c. ( 2003).( 2005) ( 2005).2004
 d. -3x2 0
Hướng dẫn: Sử dụng liên hệ giữa thứ tự với phép nhân.
 Giải
a. Ta có bất đẳng thức
 ( 6).5 ( 5).5
Là đúng bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức 6 5 với 5 0 .
b. Ta có bất đẳng thức
 ( 6).( 3) ( 5).( 3) Là sai bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức 6 5 với 3 0 .
c. Ta có bất đẳng thức
 ( 2003).( 2005) ( 2005).2004
Là sai bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức 2003 2004 với 2005 0 .
d. Ta có bất đẳng thức
 3x2 0
Là đúng bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức x2 0 với 3 0 .
Ví dụ 2. a. So sánh ( 2).3 và -4,5.
 b. Từ kết quả câu a), hãy suy ra các bất đẳng thức sau:
 ( 2).30 45; ( 2).3 4,5 0
Hướng dẫn: Lựa chọn bất đẳng thức cơ sở đúng để biến đổi.
 Giải
a. Ta luôn có 2 1,5 nên bằng cách nhân cả hai vế với 3, ta được:
 ( 2).3 4,5 . (1)
b. Ta xây dựng:
 ▪ Bất đẳng thức ( 2).30 45được hình thành bằng cách nhân hai vế của (1) với 10.
 ▪ Bất đẳng thức ( 2).3 4,5 0 được hình thành bằng cách cộng hai vế của (1) với 4,5
Ví dụ 3. Cho a b , hãy so sánh:
 2a và 2b; 2a và a b ; -a và –b
Hướng dẫn: Sử dụng các phép biến đổi tương đương cho bất đẳng thức ban đầu.
 Giải
Ta lần lượt thấy: 
 a b 2a 2b , bằng cách nhân cả hai vế với 2.
 a b 2a a b , bằng cách cộng cả hai vế với a.
 a b a b , bằng cách nhân cả hai vế với -1.
Ví dụ 4. Số a là số âm hay dương nếu:
 12a 15a? 4a 3a? 3a 5a?
Hướng dẫn: Sử dụng phép so sánh hai bất đẳng thức đầu cuối.
 Giải
Ta có: 
 12 15 4 3 3 5
 a 0 a 0 a 0
 12a 15a 4a 3a 3a 5a
Ví dụ 5. Hãy xác định dấu của số a, biết:
 a
 a. 6a 3a b. a 
 2 Giải
a. Ta viết lại:
 6a 3a 6.a 3.a
 Tức là, bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức đúng 6 3 với a.
 Vậy, từ sự cùng chiều của hai bất đẳng thức suy ra a 0 .
b. Ta viết lại:
 a 1
 a 1.a .a
 2 2
 1
 Tức là, bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức đúng 1 với a.
 2
 Vậy, từ sự ngược chiều của hai bất đẳng thức suy ra a 0
Ví dụ 6. Cho a b , chứng tỏ:
 a. 3a 1 3b 1 b. 2a 5 2b 5
 Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức cơ sở để biến đổi.
 Giải
Ta có: 
 a b 3a 3b 3a 1 3b 1
 a b 2a 2b 2a 5 2b 5
Ví dụ 7. Cho bất đẳng thức m 0 . Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 
1
 0 .
m
 Giải
Với bất đẳng thức giả thiết:
 1
 m 0 nhân cả hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
 m2
 1 1 1
 m. 0. 0
 m2 m2 m
Ví dụ 8. Cho a b , chứng tỏ:
 a. 2a 3 2b 3 b. 2a 3 2b 5
 Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức cơ sở để biến đổi.
 Giải
Ta có: a b 2a 2b 2a 3 2b 3 (1)
 3 5 2b 3 2b 5 (2)
Từ (1) và (2) theo tính chất bắc cầu suy ra 2a 3 2b 5
Ví dụ 9. Cho a b , chứng minh rằng 2a 3 2b 6 .
 Giải Với bất đẳng thức giả thiết:
 a b
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2, ta được:
 2a 2b
Tiếp tục, cộng cả hai vế của bất đẳng thức với -3, ta được:
 2a 3 2b 3 (1)
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức đúng 3 6 với 2b, ta được:
 2b 3 2b 6 (2)
Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy ra:
 2a 3 2b 6 , đpcm
Ví dụ 10. Cho ABC . Các khẳng định sau là đúng hay sai?
 a. µA Bµ Cµ 1800 b. µA Bµ 1800
 c. Bµ Cµ 1800 µA Bµ 1800
 Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức đúng µA Bµ Cµ 1800 , µA, Bµ,Cµ 0
 Giải
a. Sai b. Đúng c. Sai vì không thể có dấu “=” d. Sai.
Ví dụ 11. Chứng minh:
 a. 4.( 2) 14 4( 1) 14
 b. ( 3).2 5 ( 3).( 5) 5
 Hướng dẫn: Cần lựa chọn đúng bất đẳng thức cơ sở để biến đổi.
 Giải
a. Từ bất đẳng thức:
 2 1 4.( 2) 4.( 1) 4( 2) 14 4.( 1) 14 , đpcm.
b. Từ bất đẳng thức:
 2 5 ( 3).2 ( 3).( 5) ( 3).2 5 ( 3).( 5) 5 , đpcm.
Ví dụ 12. So sánh a và b nếu:
 a. a 5 b 5 b. 3a 3b
 c. 5a 6 5b 6 d. 2a 3 2b 3
 Giải
a. Ta có biến đổi:
 a 5 b 5 a b
b. Ta có biến đổi:
 3a 3b a b
c. Ta có biến đổi:
 5a 6 5b 6 5a 5b a b d. Ta có biến đổi:
 2a 3 2b 3 2a 2b a b
Ví dụ 13. Cho a b , hãy so sánh:
 a. 2a 1 và 2b 1 b. 2a 1 và 2b 3
 Giải
a. Ta có biến đổi: 
 a b 2a 2b 2a 1 2b 1 (1)
b. Ta có: 
 1 3 2b 1 2b 3 (2)
Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy ra 2a 1 2b 3
Ví dụ 14. Cho a b 0 , hãy chứng tỏ rằng:
 a. a2 ab b. a3 b3
 Giải
a. Với bất đẳng thức giả thiết:
 a b
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với a 0 , ta được:
 a2 ab , đpcm. (1)
b. Với bất đẳng thức giả thiết:
 a b (*)
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với a2 0 , ta được:
 a3 a2b (2)
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với b 0 , ta được:
 ab b2 (3)
Từ (1) và (3) suy ra: a2 b2 (4)
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (4) với b 0 , ta được:
 a2b b3 (5)
Từ (2) và (5) suy ra a3 b3 , đpcm.
Chú ý: Bất đẳng thức a2 ab vẫn đúng với điều kiện:
 a b và a 0 (hoặc a b và a 0 ).
 Bất đẳng thức a3 b3 vẫn đúng với điều kiện . a b
 1 1
Ví dụ 15. Cho a b 0 , hãy chứng tỏ rằng .
 a b
 Giải
 1
Từ giả thiết a,b 0 suy ra: ab 0 0 .
 ab 1
Với bất đẳng thức giả thiết: a b nhân cả hai vế của bất đẳng thức với , ta được:
 ab
 1 1 1 1 1 1
 a. b. , đpcm.
 ab ab b a a b
Nhận xét: Ta có kết quả tổng quát hơn “Nếu a b thì
 1 1
 nÕu a,b 0
 a b
 ”.
 1 1
 nÕu a,b 0
 a b
Ví dụ 16. Cho a b và c d , hãy chứng tỏ rằng a c b d .
 Giải
Với bất đẳng thức giả thiết:
 a b
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số c, ta được:
 a c b c (1)
Với bất đẳng thức giả thiết:
 c d
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số b, ta được:
 b c b d (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a c b d , đpcm.
Nhận xét: 
1. Bất đẳng thức trên được phát biểu “Khi cộng theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta được một 
 bất đẳng thức mới cùng chiều với hai bất đẳng thức đã cho”
2. Ta còn có kết quả “Nếu 0 a b và 0 c d thì a.c b.d ”.
Ví dụ 17. Cho a, b bất kì, hãy chứng tỏ rằng:
 a2 b2
 a. a2 b2 2ab 0 . b. ab
 2
 Giải
a. Biến đổi tương đương bất đẳng thức:
 a2 b2 2ab 0 (a b)2 0 , luôn đúng.
b. Với bất đẳng thức giả thiết:
 a2 b2
 ab , nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2, ta được:
 2
 a2 b2 2ab .
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với 2ab , ta được:
 a2 b2 2ab 2ab 2ab (a b)2 0 , luôn đúng.
Nhận xét: 1. Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy ngay rằng “Để chứng minh một bất đẳng thức, ngoài việc sử dụng 
 các tính chất thứ tự với phép cộng và phép nhân chúng ta còn có thể sử dụng các phép biến đổi tương 
 đương để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một bất đẳng thức luôn đúng hoặc ngược lại (xuất phát 
 từ một bất đẳng thức đúng biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh)”.
 a2 b2
 2. Xuất phát từ kết quả ab , nếu đặt x a2 , y b2 (khi đó x, y 0 ) thì ta nhận được một bất 
 2
 đẳng thức dạng:
 x y
 xy , với x, y 0 .
 2
 Bất đẳng thức trên được gọi là Bất đẳng thức Côsi.
 PHIẾU TỰ LUYỆN 
Bài 1: Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
 x2
a) ( 13).( 5) ( 13).2; b) 0; 
 2
 3 5
c) .3 3. ; d) 7 + (- 3).5 > 7 + (- 5).(- 3). 
 5 3
Bài 2: Cho a > b , hãy so sánh:
a) - 3a + 4 và - 3b + 4 b) 2 + 3a và 2 + 3b 
c) 2a - 3 và 2b - 3 d) 2a - 4 và 2b + 5 
Bài 3: Số a là âm hay dương nếu:
a) - 8a > 4a; b) 6a £ 12a; c) - 6a ³ - 12a; d) - 5a > 15a 
Bài 4: So sánh a và b nếu:
a) 2a + 2018< 2b + 2018 b)2018a – 2019 ³ 2018b – 2019 
c- 2018 – 5a > - 2018 – 5b d)(m2 + 1)a - 9 £ (m2 + 1)b - 9 
Bài 5: Cho a, b, c, d, e thuộc ¡ . Chứng minh rằng: 
a) a2 – a + 1 > 0 b) (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+ 1 > 0 
c) (a + b)2 £ 2(a2 + b2) d) a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c). 
Bài 6: Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 2 3
 a b a2 b2 a3 b3 a b 
a) ab b) ; với a, b 0
 2 2 2 2 
c) a4 b4 a3b ab3 d) a4 3 4a
 a a a c
Bài 7: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu 1 thì (1). Áp dụng chứng minh các bất 
 b b b c
đẳng thức sau: a b c a b c d
a) 1 2 b) 1 2
 a b b c c a a b c b c d c d a d a b
Tự luyện
Bài 1: Số a là số âm hay dương nếu:
a)- 123a 346a 
c)(n - 67)a < (n - 68)a d)(n 2 + 87)a < (n 2 + 88)a 
Bài 2: Cho m bất kỳ, chứng minh :
a) m 3 m 4 b) 2m 5 2m 1 c) 7 3m 3 3 m 
Bài 3: Cho a b 0 chứng minh 1) a2 ab 2) ab b2 3) a2 b2
Bài 4: Cho x y hãy so sánh :
 x y
 a) 2x 1 và 2y 1 b) 2 3x và 2 3y c) 5 và 5
 3 3
Bài 5: Cho a b chứng minh :
 a) 2a 3 2b 3 b) 2a 5 2b 8 c) 7 3a 3 3 b 
Bài 6: Cho a, b bất kỳ, chứng minh :
 a2 b2
1) a2 b2 2ab 0 2) ab 3) a2 b2 ab 0 .
 2
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: a) Khẳng định đúng vì 65 > - 26 b) Khẳng định đúng vì x 2 ³ 0" x Î ¡ 
 9
c) Khẳng định đúng. vì < 5 d) Khẳng định sai vì - 8 < 22 
 5
Bài 2: a) a > b Û - 3a < - 3b Û - 3a + 4 < - 3b + 4
b) a > b Û 3a > 3b Û 3a + 2 > 3b + 2
c) a > b Û 2a > 2b Û 2a - 3 > 2b - 3 
d) 2a - 4 < 2b - 4 < 2b + 5 
Bài 3: HD:a) - 8 4a khi và chỉ khi a < 0 
b) a > 0 c) a > 0 d) a < 0
Bài 4: a) a < b b)a ³ b c) a < b d) a £ b
 1 3 3
Bài 5: a) (a - )2 + ³ > 0, " a
 2 4 4
b)(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)+ 1 = (a2 + 5a + 4).(a2 + 5a + 5) + 1
 1 3
Đặt a2 + 5a + 4 = t , ta được t (t + 1)+ 1 = t 2 + t + 1 = (t + )2 + > 0, " t.
 2 4
c)(a + b)2 £ 2(a2 + b2)
Áp dụng BĐT Bunhia ta có: (a + b)2 = (1.a + 1.b)2 £ (12 + 12)(a2 + b2) = 2(a2 + b2) Dấu “=” xảy ra khi a = b 
d) a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c).
 2
Ta có : a2 - 2a + 1 = (a – 1) ³ 0 Þ a2 + 1 ³ 2a 
Tương tự: b2 + 1 ³ 2b; c2 + 1 ³ 2c 
Nên: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 
Bài 6: HD:
 2 2
 æa + bö (a - b)2 a2 + b2 æa + bö (a - b)2
a) ç ÷ - ab = ³ 0; - ç ÷ = ³ 0
 èç 2 ø÷ 4 2 èç 2 ø÷ 4
 3
b) (a + b)(a - b)2 ³ 0 
 8
c) (a3 - b3)(a - b) ³ 0
d) (a - 1)2(a2 + 2a + 3) ³ 0
 a
Bài 7: HD: 1 a b
 b
 a a + c
 (a – b)c < 0 Þ ac < bc Þ ac + ab < bc + ab Þ a.(b + c) < b(a + c) Þ < 
 b b + c
 a a a c b b b a
 a) Sử dụng (1), ta được: ; ; 
 a b c a b a b c a b c b c a b c
 c c c b
 .
a b c c a a b c
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
 a a a
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: 
 a b c d a b c a c
 b b b c c c
Tương tự: ; ;
 a b c d b c d b d a b c d c d a a c
 d d d
a b c d d a b d b
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.