Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Có đáp án)

 ĐS8-C4-CD4. BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. BÀI GIẢNG
1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa: Bất phương trỡnh dạng:
ax b 0, ax b 0, ax b 0, ax b 0,
Với a và b là hai số đó cho và a 0 , được gọi là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn.
2. HAI QUY TẮC BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRèNH
a.Quy tắc chuyển vế
Với cỏc bất đẳng thức, ta cú thể biến đổi:
a b c a b c 0 chuyển vế và đổi dấu.
Và với cỏc bất phương trỡnh chỳng ta cũng cú được quy tắc như vậy, cụ thể:
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trỡnh từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu 
hạng tử đú.
Sử dụng quy tắc trờn, bước đầu chỳng ta cú thể giải được một vài bất phương trỡnh đơn giản, thớ dụ sau 
sẽ minh họa điều này.
Vớ dụ 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế giải cỏc bất phương trỡnh sau và hóy biểu diễn tập nghiệm của nú 
trờn trục số:
a. x 3 4 b. 3x 2x 2
 Giải
a. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trỡnh về dạng:
x 3 4 x 4 3 x 1.
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 1 và ta cú biểu diễn:
b. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trỡnh về dạng:
3x 2x 2 3x 2x 2 x 2 .
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 2 và ta cú biểu diễn:
Vớ dụ 2. Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
a. x 12 21 b. 2x 3x 5
 Giải
a. Ta cú biến đổi: x 12 21 x 21 12 x 9 .
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 9 .
b. Ta cú biến đổi: 2x 3x 5 3x 2x 5 x 5 Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 5
b. Quy tắc nhõn với một số
Với cỏc bất đẳng thức, ta cú thể biến đổi:
 1
2a 4b 2 1 2b 1 nhõn cả hai vế với 0 (hoặc chia cả hai vế cho 2 0 )
 2
 1
 3a 6 a 2 nhõn cả hai vế với 0 (hoặc chia cả hai vế cho 3 0 ).
 3
Và với cỏc bất phương trỡnh chỳng ta cũng cú được quy tắc như vậy, cụ thể:
Quy tắc nhõn với một số: Khi nhõn (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trỡnh với cựng một số khỏc 0, 
ta phải:
1. Giữ nguyờn chiều của bất phương tỡnh nếu số đú dương.
2. Đổi chiều của bất phương trỡnh nếu số đú õm.
Sử dụng quy tắc trờn, bước đầu chỳng ta cú thể giải được một vài bất phương trỡnh đơn giản, thớ dụ sau 
sẽ minh họa điều này.
Vớ dụ 3. Sử dụng quy tắc nhõn với một số giải cỏc bất phương trỡnh sau và hóy biểu diễn tập nghiệm của 
nú trờn trục số:
 1
a. 3x 6 b. x 2
 2
 Giải
a. Sử dụng quy tắc nhõn với một số, biến đổi phương trỡnh về dạng:
3x 6 x 2
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 2 và ta cú biểu diễn:
b. Sử dụng quy tắc nhõn với một số, biến đổi phương trỡnh về dạng:
 1
 x 2 x 4
 2
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 4 và ta cú biểu diễn:
Vớ dụ 4. Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
a. 2x 24 b. 3x 27
 Giải
a. Ta cú biến đổi:
2x 24 x 12
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 12 b. Ta cú biến đổi:
 3x 27 x 9
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 9
Chỳ ý: Tiếp theo, chỳng ta minh họa việc sử dụng đồng thời hau quy tắc biến đổi bất phương trỡnh để 
bước đầu làm quen với việc giải một bất phương trỡnh.
Vớ dụ 5. Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trỡnh để giải cỏc bất phương trỡnh sau:
a. 3x x 8 b. x2 2x x2 4
 Giải
a. Sử dụng lần lượt cỏc quy tắc, biến đổi bất phương trỡnh về dạng:
3x x 8 2x 8 x 4
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 4
b. Sử dụng lần lượt cỏc quy tắc, biến đổi bất phương trỡnh về dạng:
x2 2x x2 4 x2 2x x2 4 x 2
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 2
Nhận xột: 
1. Trong lời giải cỏc bất phương trỡnh trờn, chỳng ta đó thừa nhận rằng kết quả “Từ một bất phương 
trỡnh, dựng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhõn, ta luụn nhận được một bất phương trỡnh mới tương 
đương với bất phương trỡnh đó cho”.
2. Cũng chớnh nhờ những quy tắc này mà việc chứng minh một bất đẳng thức sẽ đơn giản hơn rất nhiều 
– Điều này chỳng ta sẽ gặp lại trong chủ đề chuyờn sõu về bất đẳng thức ở cuối chương.
3. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn dạng:
ax b 0, a 0
Được giải như sau: ax b 0 ax b
 b
▪ Với a 0 , ta được x 
 a
 b
▪ Với a 0 , ta được x 
 a
Vớ dụ 6. Giải bất phương trỡnh 4x 8 0 và biểu diễn tập nghiệm trờn trục số.
 Giải
Ta cú biến đổi: 
 4x 8 0 4x 8 x 2
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x 2 và ta cú biểu diễn: B. BÀI TẬP MINH HỌA
Dạng 1: Điều kiện để một bất phương trỡnh là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn
Vớ dụ 1. Tỡm điều kiện của tham số m để bất phương trỡnh sau là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn:
a. (m2 2m)x2 mx 3 0 b. mx (m 1)y 4 0
 Giải
a. Để bất phương trỡnh (m2 2m)x2 mx 3 0 là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:
 m2 2m 0 m(m 2) 0 m 0 hoặc m 2
 m 2
 m 0 m 0 m 0
Vậy, với m 2 bất phương trỡnh đó cho là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn x.
b. Để bất phương trỡnh mx (m 1)y 4 0 là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn cú hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nú là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:
 m 0 m 0
 m 1
 m 1 0 m 1
Trường hợp 2: Nú là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:
 m 0 m 0
 m 0
 m 1 0 m 1
Kết luận:
▪ Với m 1 bất phương trỡnh đó cho là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn x.
▪ Với m 0 bất phương trỡnh đó cho là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn y.
Dạng 2: Giải bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn
Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh (theo quy tắc chuyển vế):
a. x 5 3 b. x 2x 2x 4
c. 3x 4x 2 d. 8x 2 7x 1
 Giải
a. Ta cú:
x 5 3 x 3 5 x 8
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x 8
b. Ta cú:
x 2x 2x 4 x 2x 2x 4 x 4
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x 4
c. Ta cú:
 3x 4x 2 3x 4x 2 x 2
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x 2
d. Ta cú:
8x 2 7x 1 8x 7x 1 2 x 3 Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x 3
Vớ dụ 2. Giải cỏc phương trỡnh (theo quy tắc nhõn):
a. 0,3x 0,6 b. - 4x 12 c. x 4 d. 1,5x 9
 Giải
 1 1 0,6
a. Ta cú: 0,3x 0,6 0,3x. 0,6. x x 2 .
 0,3 0,3 0,3
Vậy, nghiệm của bất phương tỡnh là x 2 .
 1 1 
b. Ta cú: 4x 12 ( 4x). 12. x 3.
 4 4 
Vậy, nghiệm của bất phương tỡnh là x 3.
c. Ta cú: x 4 ( x)( 1) 4.( 1) x 4 .
Vậy, nghiệm của bất phương tỡnh là x 4
 1 1
d. . Ta cú: 1,5x 9 1,5x. ( 9). x 6 .
 1,5 1,5
Vậy, nghiệm của bất phương tỡnh là x 6.
Vớ dụ 3. Giải cỏc bất phương trỡnh sau và hóy biểu diễn tập nghiệm của nú trờn trục số:
a. 2x 3 0 b. 3x 4 0
c. 4 3x 0 d. 5 2x 0
 Giải
a. Ta cú biến đổi: 
 3
2x 3 0 2x 3 x 
 2
 3
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x và ta cú biểu diễn.
 2
b. Ta cú biến đổi: 
 4
3x 4 0 3x 4 x 
 3
 4
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x và ta cú biểu diễn.
 3
c. Ta cú biến đổi: 
 4
4 3x 0 3x 4 x 
 3
 4
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x và ta cú biểu diễn.
 3 d. Ta cú biến đổi: 
 5
5 2x 0 2x 5 x 
 2
 5
Vậy, nghiệm của bất phương trỡnh là x và ta cú biểu diễn.
 2
Vớ dụ 4. Giải bất phương trỡnh:
(m2 1)x m4 1, với m là tham số
Hướng dẫn: Biến đổi bất phương trỡnh về dạng ax b rồi đỏnh giỏ dấu của a.
 Giải
Biến đổi tương đương bất phương trỡnh về dạng:
(m2 1)x m4 1 (*)
Vỡ m2 1 luụn dương với mọi m nờn khi chia cả hai vế của bất phương trỡnh (*) cho m2 1 thỡ chiều 
của bất phương trỡnh khụng thay đổi, cụ thể ta được:
 m4 1 (m2 1)(m2 1)
x m2 1 x m2 1
 m2 1 m2 1
Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm x m2 1.
Vớ dụ 5. Cho bất phương trỡnh:
(m2 2m)x 1 m
Giải bất phương trỡnh trong mỗi trường hợp sau:
a. m 1 b. m 2 c. m 3 d. m 0
 Giải
a. Với m 1, bất phương trỡnh cú dạng:
(12 2.1)x 1 1 x 0 x 0
Vậy, với m 1 bất phương trỡnh cú nghiệm x 0 .
b. Với m 2 , bất phương trỡnh cú dạng:
(22 2.2)x 1 2 0x 1, luụn đỳng.
Vậy, với m 2 bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x.
c. Với m 3 , bất phương trỡnh cú dạng:
 2
(32 2.3)x 1 3 3x 2 x 
 3
 2
Vậy, với m 3 bất phương trỡnh cú nghiệm x .
 3
d. Với m 0 , bất phương trỡnh cú dạng:
0.x 1 0 1 0 , mõu thuẫn.
Vậy, với m 0 bất phương trỡnh vụ nghiệm. Vớ dụ 6. Kiểm tra xem giỏ trị x 2 cú là nghiệm của bất phương trỡnh sau khụng?
a. x 2x2 3x3 4x4 5 2x2 3x3 4x4 6
b. ( 0,001)x 0,003
 Giải
a. Ta cú:
x 2x2 3x3 4x4 5 2x2 3x3 4x4 6
 x 5 6 x 1
Vậy x 2 là nghiệm của bất phương trỡnh.
b. Ta cú:
( 0,001)x 0,003 x 3
Vậy x 2 khụng phải là nghiệm của bất phương trỡnh.
Vớ dụ 7. Đố: Tỡm sai lầm trong cỏc lời giải sau:
a. Giải bất phương trỡnh 2x 23.
Ta cú: 2x 23 x 23 2 x 25
 3
b. Giải bất phương trỡnh x 12
 7
 3 7 3 7 
Ta cú: x 12 . x 12. x 28
 7 3 7 3 
 Giải
a. Phộp tương đương: 2x 23 x 23 2 là sai
Ta sửa lại như sau:
 1 1 23
 2x 23 2x. 23. x 
 2 2 2
 3 7 3 7 
b. Phộp tương đương x 12 . x 12. là sai.
 7 3 7 3 
Ta sửa lại như sau:
 3 7 3 7 
 x 12 . x 12. x 28
 7 3 7 3 
Vớ dụ 8. Tỡm x sao cho: 
a. Giỏ trị của biểu thức 2x 5 khụng õm.
b. Giỏ trị của biểu thức 3x khụng lớn hơn giỏ trị của biểu thức 7x 5 .
 Giải
a. Theo đề bài ta cú:
 5
2x 5 0 x .
 2 5
Vậy với x thỏa món điều kiện đầu bài.
 2
b. Theo đề bài ta cú:
 5
 3x 7x 5 4x 5 x .
 4
 5
Vậy với x thỏa món điều kiện đầu bài.
 4
 2x 3
Vớ dụ 9. Tỡm x để A 0, biết A 1 
 2
 Giải
Trước tiờn ta đi rỳt gọn biểu thức A:
 2x 3 2 2x 3 2x 1
A 1 
 2 2 2
Để A 0, ta phải cú: 
 2x 1 1
 0 2x 1 0 2x 1 x 
 2 2
 1
Vậy, với x thỏa món điều kiện đầu bài.
 2
Chỳ ý: Ta cũng cú thể giải trực tiếp, cụ thể:
 2x 3 2x 3
A 0 1 0 1 2x 3 2
 2 2
 1
 2x 2 3 x 
 2
Vớ dụ 10. Một người cú số tiền khụng quỏ 70 000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giỏ 2000 
đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đú cú bao nhiờu tờ giấy bạc loại 5000 đồng?
 Giải
Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5000 đồng ( 0 x 15 , đơn vị: tờ).
Do đú, số giấy bạc loại 2000 đồng là: 15 x (tờ).
Theo đề bài, ta cú bất phương trỡnh:
 40
5000.x (15 x).2000 70000 3000x 40000 x x 13,3
 3
Vỡ x là nguyờn dương, nờn x nhận được cỏc giỏ trị từ 1 đến 13.
Vậy, số tờ giấy bạc mệnh giỏ 5000 đồng là một trong cỏc số nguyờn từ 1 đến 13. PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:Hóy xột xem cỏc bất phương trỡnh sau cú là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn hay khụng?
 1 x2
a) 0x 8 0; b) x 6 0; c) x 0; d) 4 0. 
 3 5
 x 5 1 7x 2
e) 3 x 3 0; f) 0; g) 2 0; h) 0. 
 4 2 x 3
Bài 2: Chứng minh cỏc bất phương trỡnh sau là bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn với mọi giỏ trị của 
tham số m:
a) (m2 3)x 1 0; b) m2 m 4 x 2m 3 
Bài 3: Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
 1 3x 5 x 2
a) 2x 8 0; b) 9 3x 0; c) 5 x 1; d) x 1 
 3 2 3
Bài 4: Giải cỏc bất phương trỡnh sau và biểu diễn tập nghiệm trờn trục số.
 x 2 x 17 2x 1 x 4 3x 1 x 4
a) x 2 b) 
 3 2 3 4 6 12
Bài 5: Giải cỏc bất phương trỡnh 
a) x2 3x 1 2(x 1) x(3 x)
b) (x 1)2 x2 (x 1)2 x 2 2
c) (x2 1)(x 6) (x 2)3
Bài 6: Giải cỏc bất phương trỡnh và biểu diễn tập nghiệm trờn trục số.
 x - 1 7x + 3 2x + 1 3 - 2x
a) - Ê + 
 2 15 3 5
 2x + 1 2x 2 + 3 x (5 - 3x) 4x + 1
b) - > - 
 - 3 - 4 - 6 - 5
 4x - 2 1- 5x
c) - x + 3 Ê 
 3 4
 x + 4 x + 3 x - 2
d) - x - 5 ³ - 
 5 3 2
 5x 2 - 3 3x - 1 x (2x + 3)
e) + < - 5 
 5 4 2
 5x - 2 2x 2 - x x (1- 3x) 5x
f) - > - 
 - 3 - 2 - 3 - 4
 2x + 1 1
g) 2x + > 3x - 
 2 5
 5x x x
h) x - - 3 > - 
 6 3 6 Bài 7: Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
 x 2 x 5 x 3 x 6 x 2 x 1 2x 1 2x 3
a) b) .
 6 3 5 2 1007 1008 2017 2015
Bài 8: Giải cỏc bất phương trỡnh ẩn x sau:
 x + 2004 x + 2005 x + 2006 x + 2007
a) + < +
 2005 2006 2007 2008
 x - 2 x - 4 x - 3 x - 5
b) + < +
 2002 2000 2001 1999
 x - ab x - bc x - ac
c) + + > a + b + c, (a, b, c > 0)
 a + b b + c a + c
Bài 9: Giải cỏc bất phương trỡnh và biểu diễn tập nghiệm trờn trục số.
 x 1 x 2 2x 1
a) 1 1` b) x 1 1 2x 4
 6 2 3
 1 2 5 x 1 2x
Bài 10: Cho biểu thức A 2 : 2
 1 x x 1 1 x x 1
a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn A
b) Tỡm x để A > 0 
Bài 11: Một người cú số tiền khụng quỏ 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giỏ: loại 
2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đú cú bao nhiờu tờ giấy bạc loại 5000 đồng? 
Bài 12: Một người đi bộ một quóng đường dài 18 km trong khoảng thời gian khụng nhiều hơn 4 giờ. 
Lỳc đầu người đú đi với vận tốc 5 km/h, về sau đi với vận tốc 4 km/h. Xỏc định độ dài đoạn đường mà 
người đú đó đi với vận tốc 5 km/h.
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:a) Khụng, vỡ hệ số của ẩn x là 0
b) Cú c) Cú.
d) Khụng, vỡ x2 là ẩn bậc hai chữ khụng phải bậc một.
e) Khụng, vỡ ẩn x nằm trong dấu giỏ trị tuyệt đối.
f) Khụng, vỡ dấu "=" thể hiện đú là phương trỡnh.
h) Khụng, vỡ ẩn x nằm ở mẫu số.
h) Cú.
Bài 2: ta chỉ ra hệ số a ạ 0 
 ộổ ử2 ự
 2 2 ờỗ 1ữ 15ỳ
a) m + 3 > 0" m ẻ Ă b) - (m + m + 4) = - ờỗm + ữ + ỳ< 0" m ẻ Ă 
 ờốỗ 2ứữ 4 ỳ
 ở ỷ
Bài 3: a) 2x 8 0 2x 8 x 4 .
b) 9 3x 0 3x 9 x 3 .
 1 1
c) 5 x 1 x 4 x 12 .
 3 3