Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 1: Tứ giác (Có đáp án)

 HH8-C1-CD1.TỨ GIÁC
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
* Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đú bất kỳ hai đoạn thẳng nào 
cũng khụng nằm trờn một đường thẳng.
* Tứ giỏc lồi là tứ giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào 
của tứ giỏc.
* Chỳ ý: Khi núi đến tứ giỏc mà khụng chỳ thớch gỡ thờm, ta hiểu đú là tứ giỏc lồi.
a) Tứ giỏc lồi b) Tứ giỏc khụng lồi
a) Tứ giỏc khụng lồi b) Khụng phải tứ giỏc
* Định lý: Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng 3600.
* Mở rộng: Tổng bốn gúc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giỏc bằng 3600.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN
Dạng 1. Tớnh số đo gúc
Phương phỏp giải: Sử dụng định lý tổng bốn gúc trong một tứ giỏc. Kết hợp cỏc kiến thức đó học về 
tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, toỏn tổng hiệu... để tớnh ra số đo cỏc gúc.
Bài 1. Cho tứ giỏc ABCD biết àA: Bà :Cà : Dà = 4:3:2:1.
a) Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc ABCD. b) Cỏc tia phõn giỏc của Cà và Dà cắt nhau tại E. Cỏc đường phõn giỏc của gúc ngoài tại cỏc đỉnh C và D 
cắt nhau tại F. Tớnh Cã ED và Cã FD.
Bài 2. Tớnh số đo cỏc gúc Cà và Dà của tứ giỏc ABCD biết àA = 120°, Bà = 90° và Cà 2Dà.
Dạng 2. Tỡm mối liờn hệ giữa cỏc cạnh, đường chộo của tứ giỏc
Phương phỏp giải: Cú thể chia tứ giỏc thành cỏc tam giỏc để sử dụng bất đẳng thức tam giỏc.
Bài 3. Cho tứ giỏc ABCD. Chứng minh:
a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chộo;
b) Tổng hai đường chộo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giỏc ấy.
Bài 4. Cho tứ giỏc ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giỏc. Chứng minh:
a) MA + MB + MC + M D≥ A B + CD;
 1
b) MA + MB + MC + MD ≥ (AB + BC + CD + DA).
 2
Dạng 3.Tổng hợp
Bài 5. Cho tứ giỏc ABCD cú AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giỏc ABCD trong trường hợp này là tứ giỏc 
cú hỡnh cỏnh diờu).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tớnh Bà, Dà biết àA = 100°, Cà = 60°.
Bài 6. Tứ giỏc ABCD cú àA Bà 500. Cỏc tia phõn giỏc của Cà, Dà cắt nhau tại I và Cã ID = 1150. Tớnh 
cỏc gúc àA, Bà .
Bài 7.
a) Chứng minh trong một tứ giỏc cú hai đường chộo vuụng gúc, tổng bỡnh phương của hai cạnh đối này 
bằng tổng cỏc bỡnh phương của hai cạnh đối kia.
b) Tứ giỏc ABCD cú AC vuụng gúc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm. Tớnh độ dài CD.
Bài 8. Cho tứ giỏc ABCD cú àA Bà và BC = AD. Chứng minh:
a) ∆DAB = ∆CBA, từ đú suy ra BD = AC;
b) ãADC Bã CD; c) AB // CD.
Bài 9. Cho tứ giỏc ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Cỏc tia phõn giỏc của Eà và Fà cắt nhau tại 
I. Chứng minh
 ãABC ãADC
a) Eã IF ;
 2
b) Nếu Bã AD 1300 và Bã CD 500 thỡ IE  IF.
HƯỚNG DẪN
 Bài 1. a) Sử dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau. 
 àA 1440 , Bà 1080 ,Cà 720 , Dà 360
 b) Sử dụng tổng ba gúc trong tam giỏc tớnh được 
 Cã ED 1260 .
 Chỳ ý hai phõn giỏc trong và ngoài tại mỗi gúc 
 của một tam giỏc thỡ vuụng gúc nhau, cựng với 
 tổng bốn gúc trong tứ giỏc, ta tớnh được 
 Cã FD 540
 Bài 2. HS tự chứng minh:
 Dà 500 , Cà 1000
 Bài 3.
 a) Sử dụng tớnh chất tổng hai cạnh trong một tam 
 giỏc thỡ lớn hơn cạnh cũn lại cho cỏc tam giỏc 
 OAB, OBC,OCD và ODA.
 b) Chứng minh tổng hai đường chộo lớn hơn nửa 
 chu vi tứ giỏc sử dụng kết quả của a).
 Chứng minh tổng hai đường chộo nhỏ hơn chu 
 vi tứ giỏc sử dụng tớnh chất tổng hai cạnh trong 
 một tam giỏc thỡ lớn hơn cạnh cũn lại cho cỏc 
 tam giỏc ABC, ADC, ABD và CBD.
 Bài 4. a) HS tự chứng minh
b) Tương tự 2A a)
Bài 5.
a) HS tự chứng minh
b) Sử dụng tổng bốn gúc trong tứ giỏc và chỳ ý 
Bà Dà
Bài 6. Tớnh tổng Cà Dà
Bài 7
a) Sử dụng Pytago
b) Áp dụng a)
Bài 8.
a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh
c) Sử dụng a), b) và tổng bốn gúc trong tứ giỏc
Bài 9.
a) Gọi IF  CD N
Theo định lý về gúc ngoài của tam giỏc
 Eà
VNIE cú Fã IE Fã NE ;
 2
 Eà
VDNF cú Fã NE Dà ;
 2
 Eà Fà
Vậy Fã IF Dà (1) .
 2
 ADE cú
à 0 à à
E 180 (D A1); à 0 à à
 VDFC cú F 180 (D C1);
 à à 0 à à à
 E F 360 (2D A1 C1)
 à à à à à à à à à
 A1 B1 C1 D (2D A1 C1) B1 D;
 Bà Dà Dà Bà
 Thay vào (1) được Eã IF Dà 1 1
 2 2
 (ĐPCM)
 b) Áp dụng a).
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Dạng 1.Tớnh số đo gúc
Bài 1. Chứng minh rằng trong một tứ giỏc, tổng hai gúc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai gúc trong 
tại hai đỉnh cũn lại.
Bài 2. Cho tứ giỏc ABCD cú À+ Bà= 220° . Cỏc tia phõn giỏc ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. 
Tớnh số đo của gúc CKD.
Bài 3. Tứ giỏc ABCD cú À= Cà. Chứng minh rằng cỏc đường phõn giỏc của gúc B và gúc D song 
song với nhau hoặc trựng nhau.
Bài 4. Cho tứ giỏc ABCD cú AD = DC = CB ; Cà= 130° ; Dà= 110° . Tớnh số đo gúc A, gúc B.
Dạng 2.So sỏnh cỏc độ dài
Bài 5. Cú hay khụng một tứ giỏc mà độ dài cỏc cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?
Bài 6. Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6 . Tớnh độ dài 
AD.
Bài 7. Chứng minh rằng trong một tứ giỏc tổng hai đường chộo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn 
chu vi của tứ giỏc.
Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng, bất kỡ hai điểm nào 
cũng cú khoảng cỏch lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đó cho cú khoảng cỏch lớn hơn 14.
Bài 9. Cho tứ giỏc ABCD cú độ dài cỏc cạnh là a , b , c , d đều là cỏc số tự nhiờn. Biết tổng 
S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giỏc 
bằng nhau. Dạng 3. Bài toỏn giải bằng phương trỡnh tụ màu
Bài 10. Cú chớn người trong đú bất kỡ ba người nào cũng cú hai người quen nhau. Chứng minh rằng 
tồn tại một nhúm bốn người đụi một quen nhau. HƯỚNG DẪN
Bài 1. ã Trường hợp hai gúc ngoài tại hai đỉnh kề nhau (h.1.5)
 à ả ả ả
Gọi C1 , D1 là số đo hai gúc trong; D2 , D2 là số đo hai gúc ngoài tại 
hai đỉnh kề nhau là C và D. Ta cú:
ả ả à ả à ả
C2 D2 180 C1 180 D1 360 C1 D1 . (1)
 à à à ả
Xột tứ giỏc ABCD cú: A B 360 C1 D1 . (2)
 ả ả à à
Từ (1) và (2) suy ra: C2 D2 A B .
ã Trường hợp hai gúc ngoài tại hai đỉnh đối nhau (h.1.6)
 ả ả à à
Chứng minh tương tự, ta được A2 C2 B D
Bài 2. (h.1.7)
Ta cú: Cã Dx Dã Cy àA Bà 220 . (bài 1.1).
 Cã Dx Cã Dy
 110. Do đú Dả Cả 110 .
 2 2 2
 ã ả ả
Xột CKD cú: CKD 180 D2 C2 180 110 70
Bài 3. (h.1.8)
Xột tứ giỏc ABCD cú: Bà Dà 360 àA Cà 360 2Cà .
 à ả ả ả à ả à à ả à
Vỡ B1 B2 , D1 D2 nờn B1 D1 180 C B1 D1 C 180 . 
(1)
 à ả à
Xột BCM cú B1 M1 C 180 . (2)
 ả ả
Từ (1) và (2) suy ra D1 M1 . Do đú DN // BM .
Bài 4. (h.1.9)
Vẽ đường phõn giỏc của cỏc gúc Cà và Dà chỳng cắt nhau tại E. 110 130
Xột ECD cú Cã ED 180 60.
 2
 ADE CDE (c.g.c) ãAED Cã ED 60 .
 BCE DCE (c.g.c) Bã EC Dã EC 60.
Suy ra ãAEB 180 do đú ba điểm A, E, B thẳng hàng
Vậy Bã AD Eã AD ã ECD 65 . Do đú ãABC 360 65 110 130 55 .
Bài 5. (h.1.10)
Giả sử tứ giỏc ABCD cú CD là cạnh dài nhất.
Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh cũn lại (1).
Thật vậy, xột ABC ta cú: AC AB BC .
Xột ADC cú: CD AD AC . Do đú CD AD AB BC .
Ta thấy nếu cỏc cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thỡ khụng thỏa món điều kiện (1) nờn khụng cú tứ giỏc nào mà 
cỏc cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10.
Bài 6. (h.1.11)
Gọi O là giao điểm của hai đường chộo.
Xột AOB , COD vuụng tại O, ta cú:
AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2 .
Chứng minh tương tự, ta được:
BC 2 AD2 OB2 OC 2 OD2 OA2 .
Do đú: AB2 CD2 BC 2 AD2 .
Suy ra: 32 62 6,62 AD2 AD2 9 36 43,56 1,44 AD 1,2 . Bài 7. (h1.12)
Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC và BD của tứ giỏc ABCD.
Gọi độ dài cỏc cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng 
bất đẳng thức tam giỏc ta được:
OA OB a; OC OD c .
Do đú OA OC OB OD a c hay AC BD a c . (1)
Chứng minh tương tự, ta được: AC BD d b . (2)
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
 a b c d
2 AC BD a b c d AC BD 
 2
Xột cỏc ABC và ADC ta cú: AC a b; AC c d
 2AC a b c d . (3)
Tương tự cú: 2BD a b c d . (4)
Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2 AC BD 2 a b c d 
 AC BD a b c d .
Từ cỏc kết quả trờn ta được điều phải chứng minh.
Bài 8. Trước hết ta chứng minh một bài toỏn phụ: 
Cho ABC , àA 90 . Chứng minh rằng BC 2 AB2 AC 2 .
 Giải (h.1.13).
Vẽ BH  AC . Vỡ àA 90 nờn H nằm trờn tia đối của tia AC.
Xột HBC và HBA vuụng tại H, ta cú:
BC 2 HB2 HC 2 AB2 HA2 HA AC 2
 AB2 HA2 HA2 AC 2 2HA.AC AB2 AC 2 2HA.AC .
Vỡ HA.AC 0 nờn BC 2 AB2 AC 2 ( dấu “=” xảy ra khi H  A tức là 
khi ABC vuụng). Vận dụng kết quả trờn để giải bài toỏn đó cho
Trường hợp tứ giỏc ABCD là tứ giỏc lồi (h.1.14)
Ta cú: àA Bà Cà Dà 360 .
Suy ra trong bốn gúc này phải cú một gúc lớn hơn hoặc bằng 90 , giả sử àA 90 .
Xột ABD ta cú BD2 AB2 AD2 102 102 200 suy ra BD 200 , do đú BD 14 .
Trường hợp tứ giỏc ABCD là tứ giỏc lừm (h.1.15)
Nối CA, Ta cú: ãACD ãACB Bã CD 360.
Suy ra trong ba gúc này phải cú một gúc lớn hơn hoặc bằng 120 .
Giả sử ãACB 120 , do đú ãACB là gúc tự
Xột ACB cú AB2 AC 2 BC 2 102 102 200 .
Suy ra AB 200 AC 14 .
Vậy luụn tồn tại hai điểm đó cho cú khoảng cỏch lớn hơn 14.
Bài 9. (h.1.16)
Ta chứng minh bằng phương phỏp phản chứng.
Giả sử khụng cú hai cạnh nào của tứ giỏc bằng nhau.
Ta cú thể giả sử a < b < c < d .
Ta cú: a + b + c > BD + c > d .
Do đú a + b + c + d > 2d . Ta đặt a + b + c + d = S thỡ S > 2d . (*)
Ta cú: SMa ị S = ma (m ẻ N) (1)
SMb ị S = nb (n ẻ N) (2)