Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 6: Luyện tập đường trung bình của tam giác, hình thang (Có đáp án)

 HH9-C1-CD6. LUYỆN TẬP ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG
 PHIẾU LUYỆN TẬP SỐ 1
Bài 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi G là 
trọng tâm của tam giác BCD . Chứng minh AG chia đôi MN .
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có chụ vi là 4a . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AB, BC ,CD, DA . Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn 
thẳng có độ dài không lớn hơn a .
 1
Bài 3: Cho tam giác ABC , BC = 6cm . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AB . Vẽ 
 3
DE / /BC (E Î AC). Tính độ dài DE .
Bài 4: Cho hình thang ABCD , AB là đáy nhỏ. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của 
AD, BC , BD và AC .
a) Chứng minh rằng bốn điểm M , N, P, Q thẳng hàng.
 CD- AB
b) Chứng minh PQ / /CD và PQ =
 2
c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN
Bài 5: Trong hình sau, mỗi cạnh của tam giác màu xanh là đường trung bình tương ứng của 
các cạnh tam giác màu trắng. Hãy tính IK, EF .
Bài 6: Ở hình sau, cho biết MN là đường trung bình của tam giác ABC , EF là đường trung 
bình của hình thang QWNM . Biết BC 20cm , EF 3x ,QW x . Tính x .
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Chứng minh 
rằng tứ giác BMNC là hình thang. Bài 8: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. 
Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt 
các cạnh AB, AC . Gọi A ', B ', C ' thứ tự là hình 
chiếu của A, B, C lên đường thẳng d . Chứng 
minh rằng BB '+ CC ' = 2AA ' .
Bài 9: Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Gọi I là 
trung điểm của AM , D là giao điểm của BI và AC. 
 1
 a) Chứng minh: AD DC .
 2
 b) So sánh độ dài BD và ID .
Bài 10: Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó 
vuông góc với nhau và đường cao bằng10 cm .
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1: 
Gọi O là giao điểm của AG và MN
Gọi H là trung điểm của BG
Theo tính chất của trọng tâm, ta có: BH = HG = GN
Xét DABG có MH là đường trung bìnhÞ MH / / AG
Xét DHMN có AG / /MH và NG = GH nên ON = OM
Vậy AG chia đôi MN .
Bài 2: Gọi M là trung điểm của BD
 AB
Xét DABD có HM là đường trung bình nên HM =
 2
 CD
Xét DBDC có MF là đường trung bình nên MF =
 2
 AB + CD
Xét ba điểm M , H , F có HF £ MH + MF =
 2
 AD + BC
Chứng minh tương tự, ta được: EG £ .
 2
 AB + CD + AB + CD 4a
Vậy HF + EG £ = = 2a
 2 2
Suy ra một trong hai đoạn HF, EG có độ dài không lớn hơn a .
Bài 3: 
Gọi F là trung điểm của DB . Khi đó: 
AD = DF = FB
Vẽ FH / /BC (H Î AC)
Xét DAFH có DE / /FH và AD = DF 
nên AE = EH
Xét hình thang DECB có FH / /BC và DF = FB nên EH = HC
Ta đặt DE = x
 1
Ta có DE là đường trung bình của DAFH Þ DF = FH Þ FH = 2x
 2 Ta có FH là đường trung bình của hình thang DECB 
 DE + BC x + 6
Þ FH = Þ 2x = Þ x = 2 (cm)
 2 2
Vậy DE = 2(cm).
Bài 4: 
a) Xét DABD có MP là đường trung bình 
Þ MP / / AB Þ MP / /CD
Xét DADC có MQ là đường trung bình 
Þ MQ / /CD
Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình Þ MN / /CD
Qua điểm M có các đường thẳng MP, MQ, MN cùng song song với CD nên các đường 
thẳng trùng nhau, suy ra bốn điểm M , N, P,Q thẳng hàng.
 CD AB CD- AB
b) Ta có MN / /CD nên PQ / /CD ; PQ = MQ- MP = - =
 2 2 2
 AB AB CD- AB
c) Ta có MP = NQ = ;MP = PQ Û =
 2 2 2
Û AB = CD- AB Û 2AB = CD (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ)
 1 1 1
Bài 5: Ta có: IK MN DE .24 8cm .
 2 4 4
EF 2MP 4HG 4.4,5 18cm .
Bài 6: Theo tính chất đường trung bình của hình thang QWNM ta có:
 QW MN x MN
EF 3x MN 5x .
 2 2
Mặt khác, vì MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên:
 1 1
MN BC 5x .20 x 2. 
 2 2
Bài 7: Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC trong tam giác nhọn ABC nên suy ra 
MN là đường trung bình của tam giác MN∥ BC MNCB là hình thang. Bài 8: 
 A Gọi N là hình chiếu của M trên d .
 Xét tứ giác BB 'C 'C có BB '/ / CC ' (cùng vuông góc d )
 C'
 A' I N Þ BB 'C 'C là hình thang.
B'
 M là trung điểm BC và MN / / BB '/ / CC ' (cùng vuông 
 góc d )
 B M C
 Þ MN là đường trung bình của hình thang Þ BB 'C 'C
 ¢ ¢
Þ BB + CC = 2MN (1)
 ¢ ¢
Chứng minh được DAA I = DMNI (g.c.g) Þ AA = MN (2)
Từ (1) ; (2) suy ra BB¢ + CC¢ = 2AA ¢ 
Bài 9: 
a) Qua M kẻ MN∥ BD .
Trong AMN , có I là trung điểm của AM , ID∥ MN AD DN .
Trong BCD , có M là trung điểm của BC , MN∥ BD ND NC .
 1
 AD DN NC AD DC .
 2
 BD 2MN 
b) Ta có:  BD 4ID .
 MN 2ID 
Bài 10: Gọi giao điểm của AC và BD là G . Đường thẳng đi qua G vuông góc với AB; CD lần 
lượt tại E và F .
Theo tính chất đoạn chắn ta có EF AH 10cm .
Ta chứng minh được BCD ADC (c.c.c); BCA ADB (c.c.c) 
 B· DC ·ACD; B· AC ·ABD
 ABG; CDG cân tại G .
Mà GE;GF là đường cao của ABG; CDG nên nó đồng thời là đường trung tuyến ứng với 
AB;CD .
Xét ABG; CDG vuông tại G có GE;GF là đường trung tuyến.
 1 1
 GE AB;GF CD (Do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 2 2
bằng nửa cạnh huyền)
 1 1 1 1
 GE GF AB CD AB CD EF AB CD 
 2 2 2 2
 1
Mà MN AB CD (vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD )
 2
Suy ra: EF MN 10cm .
 PHIẾU LUYỆN TẬP SỐ 2
Bài 1. Cho tam giác ABC có độ dài BC 12cm và M là trung điểm của cạnh AB . Tia 
Mx song song với BC cắt AC tại N . Chứng minh:
 a. N là trung điểm của cạnh AC .
 b. Tính độ dài đoạn thẳng MN .
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A , đường trung tuyến CM và BN . Trên tia đối của tia 
BA lấy điểm D sao cho BD AB . Chứng minh CD 2CM . 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC . Kẻ 
Ax / /BC cắt MN tại E . Chứng minh rằng: a. ME / / AB .
 b. AE MC .
Bài 4. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Tia 
BI cắt AC ở D . Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC ở E . Chứng minh:
 a. AD DE EC . 
 b. BD 4 ID .
Bài 5. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). E là trung điểm của AC , F là trung điểm của 
BD .đường thẳng FE / / AB cắt BD tại P , cắt BC tại Q .
 a. Chứng minh PB PD , QB QC .
 b. Cho AB 6 cm ; FE 5 cm . Tính các độ dài CD, EQ .
Bài 6. Cho hình thang vuông ABCD , có Aµ Dµ 90 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 
các cạnh BC , AD . Chứng minh:
 a. Tam giác MAD là tam giác gì? Vì sao?
 b. M· AB M· DC .
Bài 7. Cho hình thang ABCD cân, đáy nhỏ AB và đáy lớn CD . Góc nhọn hợp bởi hai đường 
chéo AC, BD bằng 60 . Gọi M và N là hình chiếu của B và C lên AC và BD , P là 
trung điểm cạnh BC . Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
Bài 8. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD , AB CD ). Trên AD lấy M , N, P sao cho 
AM MN NP PD . Từ M , N, P dựng các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC 
lần lượt tại E, F,G . Chứng minh:
 a. Chứng minh BE EF FG GC .
 b. Chứng minh S ABD 4S ABE .
Bài 9. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD , AB CD ). Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 
AD và BC . Phân giác của góc A và góc B cắt MN theo thứ tự ở I và J . Chứng minh:
 a. Tam giác AIM ; BJN là tam giác cân.
 b. Tam giác AID BJC là tam giác vuông.
 1 1
 c. IM AD , JN BC
 2 2
 d. Cho AB 5cm;CD=18cm, AD=6cm,BC=7cm . Tính độ dài đoạn thẳng IJ .
Bài 10. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Vẽ đường thẳng d . qua trung 
điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC . Gọi A', B ',C ' lần lượt là hình chiếu của A, B,C lên 
đường thẳng d Tìm hệ thức liên hệ giữa AA', BB ',CC '. 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1. a. Xét tam giác ABC ta có:
 MN / /BC (gt)
 Mặt khác M là trung điểm của cạnh AB .
 Suy ra N là trung điểm cạnh AC .
b. Tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB , AC .
 MN là đường trung bình của tam giác ABC .
 1
 MN BC MN 6cm .
 2
Bài 2. 
Gọi N là trung điểm cạnh AC . Suy ra BN là đường trung tuyến của ABC .
Vì ABC là tam giác cân tại A nên dễ dàng chứng minh được BN CM . (1) 
Xét tam giác ACD có B, N lần lượt là trung điểm cạnh AD và AC .
 BN là đường trung bình của tam giác của ACD .
 1
 BN DC DC 2BN . (2)
 2 Từ (1) (2) suy ra CD 2CM .
Bài 3. 
Xét tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao.
Suy ra AM cũng là đường trung tuyến.
Ta có: ABC có M, N lần lượt là trung điểm cạnh BC và AC .
 MN là đường trung bình của tam giác ABC .
 MN / / AB
Mà M , N, E thẳng hàng nên ME / / AB .
b. Xét ANE và CNM có: 
 ·AEN C· MN ( so le trong)
 NA NC (gt).
 ·ANE C· NM ( đối đỉnh).
 ANE CNM c.g.c .
 AE MC ( cặp cạnh tương ứng).
Bài 4. a. Tam giác AME có I là trung điểm của AM , ID / /ME nên AD DE . (1)
Tam giác BCD có M là trung điểm của BC , ME / /BD nên DE EC . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD DE EC .
b, Tam giác AME có I, D lần lượt là trung điểm của AM , AE .
 ID là đường trung bình của tam giác AME .
 1
 ID ME (3)
 2
Tương tự ME là đường trung bình của tam giác BCD
 1
 ME BD (4)
 2
 1 1 1 1
Từ (3) (4) ta có: ID ME . BD BD .
 2 2 2 4
Suy ra BD 4 ID .
Bài 5.
Xét tam giác ADB có F là trung điểm của BD , FP / / AB nên P là trung điểm của AD .