Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 8: Hình bình hành (Có đáp án)

 HH8-C1-CD8. HÌNH BÌNH HÀNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
 Tứ giác ABCD là 
 hình bình hành
 AB / /CD
 AD / /BC
* Tính chất: Trong hình bình hành:
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
* Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình 
hành.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD .
 a) Chứng minh rằng AF / / CE .
 b) Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE . Chứng minh rằng: 
 DM MN NB. 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung 
điểm của OD và OB. 
 a) Chứng minh rằng AE / / CF . 
 1
 b) Gọi K là giao điểm của AE và DC . Chứng minh rằng DK KC .
 2
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD. 
 a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.
 b) Cho AD a, BC b. Tính chu vi của hình bình hành EFGH . 
Bài 4. Cho ABC , trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C 
cắt nhau tại D. CMR:
 a) BDCH là hình bình hành.
 · · 0
 b) BAC BDC 180 
 c) H , M , D thẳng hàng ( M là trung điểm của BC ).
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có E, F lần lượt là trung điểm AB, CD. 
 a) CMR: AF / / EC. 
 b) CMR: ED BF. 
 c) Gọi O là giao điểm của AC và BD . CMR: E, O, F thẳng hàng.
 d) AF cắt ED tại G, BF cắt EC tại H . CMR: G, O, H thẳng hàng.
 e) CMR: GH / / CD .
 f) Giả sử AB 4cm . Tìm GH ?
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD . Lấy N AB, M CD sao cho AN CM .
 a) CMR: AM / / CN . 
 b) CMR: DN BM. 
 c) CMR: AC, BD, MN đồng quy.
 HƯỚNG DẪN
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD .
 a) Chứng minh rằng AF / / CE .
 b) Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE . Chứng minh rằng: 
 DM MN NB. 
Hướng dẫn giải
 a)
 Ta có ABCD là hình bình hành nên
 AB CD (tc hbh).
 Mà E, F là trung điểm cuả AB và CD
 AB CF BE DF . Xét tứ giác AECF , có 
 AE CF
 AE PCF(doAB PCD)
 AECF là hình bình hành AF PEC .
 b) Gọi AC  BD O 
Xét ADC có DO;A F là trung tuyến; AF  DO M
 M là trọng tâm của ADC
 2 2
 DM DO BO(1)
 3 3
 (do DO BO)
 1 1
 OM DO BO(2)
 3 3
Xét ABC có: BO;CE là trung tuyến, BO CE N
 N là trọng tâm của ABC
 2
 BN BO(3)
 3
 1
 ON BO(4)
 3
 1 1 2
Từ (2) và (4) MN OM ON BO BO BO(5)
 3 3 3
Từ (1); (3) và (5) 
 DM BN MN (đpcm).
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung 
điểm của OD và OB. 
 a) Chứng minh rằng AE / / CF . 
 1
 b) Gọi K là giao điểm của AE và DC . Chứng minh rằng DK KC .
 2
Hướng dẫn giải a) AC  BD O DO BO
 E; F là trung điểm của DO và BO nên:
 DE EO OF FB
 Xét tứ giác AFCE , có:
 AC  EF O
 OA OC
 OE OF
 AFCE là hình bình hành (dhnb)
 AE PCF (tc hbh).
 b) Từ O kẻ OM PEK 
 Xét DOM có
 OM PEK
 Và E là trung điểm của DO 
 K là trung điểm của DM
 DK KM (1) 
 Xét CDK , có 
 OM / / AK và O là trung điểm của AC 
 M là trung điểm của KC
 CM KM (2) 
 Từ (1) và (2) DK KM CM 
 Mà KM CM KC
 1
 DK KC (đpcm).
 2
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD. 
 a) Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành.
 b) Cho AD a, BC b. Tính chu vi của hình bình hành EFGH . 
Hướng dẫn giải a) Xét ABD có F; E lần lượt là tủng điểm của AB; BD
 EF Là đường trung bình của ABD
 EF P AD(1)
 1
 EF AD(2)
 2
 Tương tự, ta có GH là đường trung bình của ACD
 GH P AD(3)
 1
 GH AD(4)
 2
 1 và 3 EF PGH 
  tứ giác GFEH là hình bình hành.
 2 và 4 EF GH  
 1 1
 b) Ta có: GH EF AD a 
 2 2
 1 1
Tương tự: FG HE BC b
 2 2
 1 1 
 Chu vi của tứ giác GFEH là: a b .2 a b
 2 2 .
Bài 4. Cho ABC , trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C 
cắt nhau tại D. CMR:
 a) BDCH là hình bình hành. 
 · · 0
 b) BAC BDC 180 
 c) H , M , D thẳng hàng ( M là trung điểm của BC ).
Hướng dẫn giải CH  AB
 a) Ta có  CH PBD(1) 
 BD  AB 
 BH  AC
 Lại có  BH PCD(2 )
 CD  AC 
 Từ (1) và (2) BHCD là hình bình hành.
 b) Tứ giác ABCD có:
 B· AC A· BD B· DC A· CD 360
 B· AC 90 B· DC 90 360
 B· AC B· DC 180(dpcm).
 c) Vì BHCD là hình bình hành nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường 
ta có: M là trung điểm của BC
 M là trung điểm của HD
 H;M ; D thẳng hàng.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có E, F lần lượt là trung điểm AB, CD. 
 a) CMR: AF / / EC. 
 b) CMR: ED BF. 
 c) Gọi O là giao điểm của AC và BD . CMR: E, O, F thẳng hàng.
 d) AF cắt ED tại G, BF cắt EC tại H . CMR: G, O, H thẳng hàng.
 e) CMR: GH / / CD .
 f) Giả sử AB 4cm . Tìm GH ?
Hướng dẫn giải a) Vì ABCD là hình bình hành nên 
 AB CD
 E; F Là trung điểm của AB;CD
 AE CF BE DF
 Xét tứ giác AECF có:
 AE PFC(do AB PCD)
 AE FC
 AECF Là hình bình hành (dhnb)
 AF PCE .
 b) Chứng minh tương tự ta có BEDF là hình bình hành ED BF .
 c) Có AC  BD O 
 O Là trung điểm của AC và BD (t/c hbh)
Ta có: EO là đường trung bình của ABC EO PBC
 OF Là đường trung bình của DBC OF PBC
 E;O; F Thẳng hàng ( tiền đề o’clit)
 d) Chứng minh được OG; là đường trung bình của EDF GO PDF GO PDC(1)
OH là đường trung bình của EFC OH PFC OH PDC(2)
Từ (1) và (2) OH  GO (tiền đề o’clit)
 O; H;G thẳng hàng.
 e) AB CD 4cm
 Chứng minh được GH là đường trung bình của DEC
 1 1
 GH DC .4 2cm
 2 2 .
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD . Lấy N AB, M CD sao cho AN CM .
 a) CMR: AM / / CN . 
 b) CMR: DN BM. 
 c) CMR: AC, BD, MN đồng quy.
Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác ABCD, có
 AN CM
 AN PCM (do AB PCD)
 ANCM Là hình bình hành
 AM PCN .
 b) Ta có: 
 BN AB AN
 DM DC CM
 Mà AB DC, AN CM
 BN DM
 Mà BN PDM (do AB PCD )
 BNDM là hình bình hành
 DN BM .
 c) Gọi AC  BD O(1) 
 O Là trung điểm của AC và BD
 Ta có ANCM là hình bình hành; O là trung điểm của đường chéo AC
 O Là trung điểm của MN
 O MN(2)
 Từ (1) và (2) AC, BD, MN đồng quy.
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học
1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:
 a) BE = DF và ·ABE C· DF; b) BE // DF.
2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M và 
N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:
a) ADM = CBN;
b) M· AC N· CA và IM//CN;
c) DM = MN = NB.
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
3. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng 
minh tứ giác AHCK là hình bình hành. 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường 
thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD 
lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.
5. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm 
của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng 
các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.
6. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm 
I sao cho AK = CI. Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng.
Dạng 4.Tổng hợp
7. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc 
B cắt CD ở F.
a) Chứng minh DE//BE.
b) Tứ giác DEBF là hình gì?
8. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F 
và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh:
a) Tam giác AED cân;
b) AD là phân giác của góc A.
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K 
là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh:
a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.
b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.
10. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với 
AC tại C cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
b) Tính số đo góc B· DC , biết B· AC = 60°.
11. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm 
M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh B· AD 2·AEM. HƯỚNG DẪN
1.
a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành BE = DF và 
 E· BF C· DF . 
Cách khác: AEB = CFD (c.g.c) suy ra BE = DF và ·ABE C· DF .
b) Vì BEDF hình bình hành ĐPCM.
2.a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành ADI = CBK (c-
c-c-) ADM = CBN (g-c-g)
b) Vì AKCI là hình bình hành ĐPCM.
c) Từ câu a) DM= NB. Mặt khác MN = NB (định lý 1 của đường 
trung bình), từ đó suy ra ĐPCM.
3. Ta chứng minh AH//CK, AH = CK ( AHD = CKB) AHCK 
là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Ta có AOK = COH OK =OH, DOE = BOF OE = OF 
 EHFK là hình bình hành.
 1
5. Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN = OB 
 2
DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh LMEF là hình bình 
hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng quy tại I.
6. Chứng minh được AKCI là hình bình hành ĐPCM.
7.a) Ta có ·AED E· DC và ·ABF E· DC DE / /BF (có góc ở vị 
trí đồng vị bằng nhau).
b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành.
8.a) Chứng minh BDEF là hình bình hành ED= BF = AE AED 
cân ở E.
b) Ta có B· AD D· AC (vì cùng bằng ·ADE ) AD là phân giác Â.
9. Tương tự bài 5.
10. a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
b) Tứ giác ABCD có ·ABD ·ACD 900 mà B· AC 600 nên 
 B· DC 1200