Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét (Có đáp án)

 HH8-C3-CD2- ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA 
 ĐỊNH LÍ TA-LÉT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 A
1. Định lí Ta-lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên 
hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó D E
song song với cạnh còn lại của tam giác.
 ì
 ï DABC
 ï B C
 í AD AE Þ DE PBC .
 ï = Hình 269
 îï DB EC
2. Hệ quả của định lí Ta-lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành 
một tam giác mới có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
 ì
 ï DABC AB AC BC
 íï Þ = = .
 ï BC PB ¢C ¢ AB ¢ AC ¢ B ¢C ¢
 îï
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác 
và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
 A
 C' B' a
 B' C' a A
 B C B C
 Hình 270a
II.BÀI TẬP MINH HỌA Hình 270b
A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
 DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Tính độ dài đoạn thẳng:
Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng.
Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.
2. Chia đoạn thẳng cho trước thành các phần bằng nhau cách sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét 
hoặc tính chất của đường thẳng song song cách đều. A
VÍ DỤ 9,5
Ví dụ 1. Tính các độ dài x,y trong hình 271. D E
 8
Lời giải
 28,5
a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DE PBC , ta được:
 BC AB x 28, 5
 = hay = B x C
 DE AD 8 9, 5 Hình 271a
 8.28, 5 456
 Û x = = » 31, 58 .
 9, 5 19
 B' 4,2 A '
b) Từ hình 271b ta thấy A¢B ¢PAB vì cùng vuông góc với AA¢.
 3
 O
 6 y
 C
 A x B
 Hình 271b AB AO
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho A¢B ¢PAB , ta được: = hay 
 A¢B ¢ A¢O
 x 6
 = Û x = 4,2.2 = 8, 4 .
 4,2 3
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác OAB vuông ở A , ta được:
 OB 2 = BA2 + AO2 hay y2 = 8, 42 + 62 = 106, 06 Þ y » 10, 32.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 8cm và DB = 4cm . Tính tỉ 
số khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC . B
Lời giải (hình 272) 4
Kẻ DH và BK cùng vuông góc với AC thì DH PBK và DH,BK D
 lần lượt là khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC . 8
 DH AD
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DH PBK thu được =
 BK AB A H K C
 DH 8 2 Hình 272
 hay = = .
 BK 12 3
Ví dụ 3. Hãy chia đoạn AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chia như 
vậy? Hãy nêu rõ cách làm.
Lời giải (hình 273)
Có hai cách chia một đoạn AB cho trước thành 5 phần bằng nhau.
Cách 1: Sử dụng hệ quả của định lí Ta-lét.
Kẻ đường thẳng a PAB .
Từ điểm C bất kì trên a , đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau: 1 1 1 1 1
 C D E F G H
 CD = DE = EF = FG = GH .
 t 10
Gọi O là giao điểm của AH và BC .
Vẽ các đường thẳng DO,EO,FO,GO cắt AB theo thứ tự ở I ,K ,L,M O
thì các điểm này chia đoạn AB thành 5 phần bằng nhau. Thật vậy:
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho CD ^ MB,GH PAI , ta được:
 A I K L M B
 CO CD HO HG
 = = = Hình 273a
 OB MB OA AI
 Þ MB = AI do CD = GH .
 x
Chứng minh tương tự, ta được: AI = IK = KL = LM = MB . G
Cách 2: Sử dụng tính chất của đường thẳng song song cách đều. F
Kẻ tia Ax , trên đó đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau: E
 D
 CD = DE = EF = FG = GH .
 C
Nối GB . Từ C,D,E,F kẻ các đường thẳng song song với GB , chúng cắt 
 AB lần lượt ở I ,K ,L,M thì CI , DK ,EL,EM ,GB lằ năm đường thẳng A I K L M B
song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng AB những đoạn Hình 273b
thẳng liên tiếp bằng nhau là AI = IK = KL = LM = MB .
 DẠNG 2. Chứng minh hệ thức hình học
PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng.
 Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng hay nhân theo vế các đẳng thức hình học.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD (AB PCD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng 
qua O song song với hai đáy cắt AD,BC lần lượt ở E và F . Chứng minh rằng OE = OF .
Lời giải (hình 274)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho EO PDC,OF PDC và AB PDC , A B
ta được:
 E F
 ïì EO AO O
 ï =
 ï DC AC
 ï OF BO EO OF
 íï = Þ = Þ EO = OF .
 ï DC BD DC DC D C
 ï Hình 274
 ï AO BO
 ï =
 îï AC BD
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD (AB PCD) . Một đường thẳng qua giao điểm O của hai đường 
 1 1 1
chéo và song song với hai đáy, cắt BC ở I . Chứng minh rằng + = .
 AB CD OI
Lời giải (hình 275)
 A B
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho OI PAB,OI PDC , ta được: 
 OI CI OI BI I
 = (1); = (2). O
 AB CB DC BC
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
 OI OI BI + IC BC 1 1 1 D C
 + = = = 1 Þ + = . Hình 275
 AB CD BC BC AB CD OI
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD (AB PCD,AB ¹ CD) có O là giao điểm của AC và BD , I là 
giao điểm của AD và BC . Đường thẳng IO cắt AB và CD theo thứ tự ở M vàN . Chứng minh 
rằng M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD . Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.
Lời giải (hình 276)
Đặt AM = a,MB = b,DN = c,NC = d .
Ta phải chứng minh a = b,c = d .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AM PCN,MB PND và AM PDN,MB PNC , ta được:
 ïì AM MO I
 ï =
 ï AM MB a b a c
 íï CN ON Þ = , hay = Þ = (1); 
 ï MB MO CN ND c d b d
 ï =
 îï ND ON A a M b B
 ïì AM IM
 ï =
 ï AM MB a b a d O
 íï DN IN Þ = , hay = Þ = (2).
 ï MB IM DN NC d c b c
 ï = D d N c C
 îï NC IN
 Hình 276
 æ ö2
 ça÷ cd a
Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được ç ÷ = = 1 Þ = 1 Þ a = b .
 èçbø÷ cd b Thay a = b vào (1) ta được c = d .
Nhận xét: Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm của hai cạnh bên, giao 
điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.
Đây chính là nội dung của: Bổ đề về hình thang.
 DẠNG 3. Chứng minh hai đường thẳng song song
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Sử dụng định lí Ta-lét, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
 Áp dụng định lí Ta-lét đảo, kết luận hai đường thẳng song song.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD lấy một điểm I . Qua I kẻ hai đường 
thẳng bất kì sao cho đường thứ nhất cắt AB,CD lần lượt ở E và F , đường thẳng thứ hai cắt 
 AD,BC theo thứ tự ở G và H . Chứng minh rằng GE PFH .
Lời giải (hình 277)
 ABCD là hình bình hành nên AB PCD và AD PBC , suy ra AE PFC,AG PHC .
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AE PFC và AG PHC , ta được:
 ïì EI AI A E B
 ï =
 ï IF IC EI GI
 í Þ = . G H
 ï GI AI IF IH I
 ï =
 îï IH IC
Điều này chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh IF,IH của tam giác D F C
 IHF và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, Hình 277
nên EG PHF (theo định lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD . Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD ở E . Đường 
thẳng qua B và song song với AD cắt AC ở G . Chứng minh rằng EG PCD . B
Lời giải (hình 278) A
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AE PBC và BG PAD , ta được: O
 OE OA OB OG E
 = (1); = (2). G
 OB OC OD OA
Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
 D C
 OE OB OA OG OE OG Hình 278
 . = . Þ = .
 OB OD OC OA OD OC
Điều này chứng tỏ đường thẳng EG cắt hai cạnh OD,OC của tam giác OCD và định ra trên hai 
cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên EG PDC (theo định lí Ta-lét đảo).
Ví dụ 3. Cho hình thang ABCD và điểm E trên cạnh bên BC . Qua C vẽ đường thẳng song song 
với AE cắt AD ở K . Chứng minh rằng BK PDE .
Lời giải (hình 279)
Gọi I ,M lần lượt là giao điểm của AE với BK và CK với AB .
 M A B
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AI PMK và IE PKC , thu được: I
 K
 ïì AI BI
 ï =
 ï AI IE AI MK
 íï MK BK Þ = Þ = (1).
 ï BI IE MK KC IE KC
 ï = E
 îï BK KC
 D C
 Hình 279 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho MA PDC , ta được:
 MK AK
 = (2).
 KC KD
 AI AK
Từ (1) và (2) suy ra = . Điều này chứng tỏ đường thẳng KI cắt hai cạnh AD,AE của tam 
 IE KD
giác ADE và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên KI PDE , hay 
 KB PDE (theo định lí Ta-lét đảo).
 DẠNG 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để chứng minhhệ thức hình học
 , tính tỉ số hai đoạn thẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Vẽ thêm đường thẳng song song.
 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.
 Biến đổi tỉ lệ thức.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC,I là một điểm trong tam giác, IA,IB,IC F A E
 NA PA IA
theo thứ tự cắt BC,CA,AB ở M ,N,P . Chứng minh rằng + = . P N
 NC PB IM I
Lời giải (hình 280)
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC . Đường thẳn này cắt BN,CP 
 B M C
lần lượt ở E và F .
 Hình 280
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AE PBC và FA PBC , ta được:
 NA EA PA AF
 = (1); = (2).
 NC BC PB BC
 NA PA IA
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được: + = .
 NC PB IM
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC , lấy D Î AB,E Î AC sao cho BD = CE . Gọi K là giao điểm của 
 KE AB
 DE và BC . Chứng minh rằng tỉ số = . A
 KD AC
Lời giải 
Đặt BD = CE = a .
 D
Cách 1: (hình 281) Kẻ DH PAC thì DH PEC . E
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DH PEC và DH PAC , a
ta được: B H C K
 Hình 281
 KE EC a
 = = (1);
 KD DH DH
 A
 DH BD a a AB
 = = Þ = (2).
 AC BA BA DH AC D I
 E
 KE AB
Từ (1) và (2) suy ra = . 
 KD AC a
Cách 2: (hình 282)
Kẻ DI PBC thì DI PCK . B C K
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho DI PCK và DI PBC , ta được: Hình 282 KE CE a CI BD a BA a
 = = (3); = = Þ = (4).
 KD CI CI CA BA BA CA CI A
 KE AB
Từ (3) và (4) suy ra = .
 KD AC
Cách 3: (hình 283) D
 E
Kẻ EM PAB thì EM PBD .
 a
 EM PBD
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho B M C K
và EM PAB , ta được: Hình 283
 KE EM EM CE EM a EM AB
 = = (5); = = Þ = (6).
 KD BD a CA AB CA a CA
 A
 KE AB
Từ (5) và (6) suy ra = .
 KD AC
Cách 4: (hình 284) 
 D
Kẻ EN PBC thì EN PBK . a N E
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho EN PBK và EN PBC , a
 C K
ta được: B
 Hình 284
 KE BN BN BN CE a BN BA
 = = (7); = = Þ = (8)
 KD BD a BA CA CA a CA
 KE AB
Từ (7) và (8) suy ra = .
 KD AC
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN
Bài 1: Tìm x trong hình
 M 3 N A
 2
 12
 O 24 16
 M N
 x
 x
 y
 5,2 B C
 P Q
 Biết MN / / PQ
 Hình 2 Hình 3
 Hình 1
Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB 
theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K. 
Chứng minh:
 AK HA AF AE AI
a) = ; b) + = . 
 BD DC BF CE ID
Bài 3: Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC và 
đường cao AH lần lượt tại B’, C’ và H’.
 AH ' B'C '
a) Chứng minh rằng 
 AH BC AH
Áp dụng: Cho biết AH ' = và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2. Hãy tính diện tích tam giác 
 3
 AB 'C ' .
Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK 
(M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC.
Bài 5: (Định lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R. 
 PB QC RA
Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thì . . = 1. 
 PC QA RB
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ 
đường thẳng song song với CB cắt AB tại H. Chứng minh rằng:
a) HE/ / BD 
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CD, cắt đường thẳng Ac tại I. Qua C kẻ đường thẳng song 
song với BA, cắt BD tại F. Chứng minh IF / / AD .
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB/ / CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và 
BD, K là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh IK / / AB 
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng EI = IK = KF. 
Bài 8: Cho ABC có AD là trung tuyến. Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, vẽ đường thẳng 
song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh :
a) ME + MF = 2AD 
b) ADMI là hình hình hành
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: 
 OP PQ
Hình 1. Trong tam giác ABC, OPQ, MN / /PQ ta có: ( hệ quả của định lí Ta-let)
 ON MN
 x 5,2 5,2.2 52
 x cm 
 2 3 3 15
Hình 2. Ta có: EF  AB; EF  QD Suy ra AB / /QD .
 OF FQ
Trong OQF,QF / /EB suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let)
 OE EB
 x 3,5 3.3,5
 x 5,25 cm 
 3 2 2
Hình 3.Áp dụng định lí Pytago trong AMN, µA 900 ta có: MN 2 AM 2 AN 2 162 122 MN 400 20 cm 
 AM AN
Trong AMN, MN / /BC suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let)
 AB AC
 16 12 24.12
 AC 18 cm ; NC 18 12 6 cm 
 24 AC 16
 AM MN
Trong AMN, MN / /BC suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let)
 AB BC
 16 20 24.20
 BC 30 cm 
 24 BC 16
 AI AK
Bài 2: a) AK / /BD 
 ID BD A
 H
 AI AH K
Từ AH / /DC 
 ID DC F
 AK AH
Do đó E
 BD DC I
 AK AH AK AH HK AI
b) Ta có: 
 BD DC BD DC BC ID
Ta chứng minh
 C
 AF AH AE AK B D
 (2); (3) 
 BF BC CE BC
 AE AF AI
Từ (1), (2), (3) ta có (đpcm)
 CE BF ID
Bài 3: 
 A
 d B' H' C'
 B H C
 AH ' AB '
 a) Trong ABH, B ' H '/ /BH suy ra (hệ quả của định lí Ta-let) (1)
 AH AB
 AH ' AC '
Trong ACH,C ' H '/ /CH suy ra ( hệ quả của định lí Ta-let) (2)
 AH AC AB ' AC '
Trong ABC, B 'C '/ /BC suy ra ( hệ quả của định lí Ta-let) (3)
 AB AC
 AH ' B'C '
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 
 AH BC
 AH ' B'C ' B 'C ' 1 1
b) Ta có: ( câu a); B 'C ' BC 
 AH BC BC 3 3
 1
 S AH '.B 'C '
 AB 'C ' 2 AH ' B 'C ' 1 1 67,5 2
Từ đó suy ra: = = . = Þ SAB 'C ' = SABC = = 9,5(cm ) 
 S 1 AH BC 9 9 9
 ABC AH.BC
 2
 AI AM
Bài 4: Từ IM / / BK và KN / / IC ta suy ra A
 AB AK
 AN AK N M
và .
 AI AC K
 I
 AN AM
Do đó MN / / BC .
 AB AC
 B C
Bài 5: 
 M A
 N
 R
 Q
 B
 P C
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR lần lượt tại N và M.
 QC BC
Ta chứng minh được: (1)
 AQ AN
 RA AM BP AN
 (2) ; (3)
 BR BC CP AM
 PB QC RA
Từ (1), (2), (3) suy ra   1 (đpcm)
 PC QA RB
Bài 6: AE AG ïü I B
 EG/ / DC Þ = ï
 ï AE AH A
 AD AC ýï Þ = Þ EH / / BD H
 a) AG AH ï AD AB
 GH / / BC Þ = ï
 AC AB þï
 O
 E
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD G
 D
 OI OB ïü C
 BI/ / DC Þ = ï
 ï OI OF
 OC OD ýï Þ = Þ AD / IF
 OC OF ï OA OD F
 AB/ /CF Þ = ï
 OA OB þï
Bài 7: 
 A B
 IM MD ïü
 AB/ / DMÞ = ï
 ï IM MK
 a) IA AB ýï Þ = Þ IK / / AB
 MK MC ï IA KB
 AB/ / MC Þ = ï E F
 KB AB þï I K
b) Ta có:
 D M C
 IE ID ïü
 AB/ / EI Þ = ï
 AB DB ï
 IK IM ï IE IK
 AB/ / IK Þ = ýï Þ = Þ EI = IK
 AB MA ï AB AB
 DI IM DI IM ï
 AB/ / DM Þ = Þ = ï
 BI IA BD AM þï
Tương tự IK = KF . Do đó EI = IK = KF .
 MF CM
Bài 8: a) MF / / AD 
 AD CD
 ME BM
 AD/ / ME 
 AD BD
 MF ME CM BM
 mà CD = BD (gt)
 AD AD CD BD
 MF + ME CM + BM BC
 Þ = = = 2 Þ ME + MF = 2AD
 AD CD CD
(đpcm)
b) ME + MF = 2AD (cmt) 
Mà ME + MF = FE + MF + MF = FE + 2MF = 2IF + 2MF = 2IM 
 AD IM 
  ADIM là hình bình hành
 AD / /IM 