Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 5: Tính chất đường phân giác của tam giác (Có đáp án)

 HH8-C3-CD5. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định lý
Trong tam giỏc, đường phõn giỏc của một gúc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai 
cạnh kề hai đoạn ấy.
 ABC  DB AB
 .
 ã ã 
 BAD CAD DC AC
2. Chỳ ý
* Định lý vẫn đỳng với đối với đường phõn giỏc gúc ngoài của tam giỏc.
 ABC AB AC  EB AB
  .
 ã ã
 BAE CAE  EC AC
* Cỏc định lý trờn cú định lý đảo
 DB AB
 AD là đường phõn giỏc trong của tam giỏc.
 DC AC
 EB AB
 AE là đường phõn giỏc ngoài của tam giỏc.
 EC AC
II. BÀI TẬP MINH HỌA
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN
 DẠNG 1. Tớnh độ dài đoạn thẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc, lập tỉ lệ thức giữa cỏc đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại 
số húa hỡnh học.
 Áp dụng định lớ Py-ta-go.
VÍ DỤ
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cú AB = 5cm,BC = 7cm và CA = 6cm . Tia phõn giỏc của gúc BAC 
 A
cắt cạnh BC ở E . Tớnh cỏc đoạn EB,EC .
Lời giải (hỡnh 286)
 5
Áp dụng tớnh chất của đường phõn giỏc AD vào tam giỏc ABC 6
và tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
 EB EC EB + EC BC C E D
 = = = , 
 BA CA BA + CA BA + CA Hỡnh 286
 EB EC 7 35 42
Hay = = ị EB = (cm);EC = (cm) .
 5 6 11 11 11
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A , đường phõn giỏc BD . Tớnh AB,BC biết AD = 4cm và 
 DC = 5cm .
Lời giải (hỡnh 287)
 A
Áp dụng tớnh chất của đường phõn giỏc BD vào tam giỏc ABC , ta được:
 4
 D
 ùỡ
 AB DA 4 ù AB = 4t 4t
 = = ị ớ (với t > 0). 5
 BC DC 5 ù BC = 5t
 ợù
Áp dụng định lớ Py-ta-go vào tam giỏc ABC vuụng ở A , ta được: B 5t C
 Hỡnh 287
 BC 2 = CA2 + AB 2 hay (5t)2 = 92 + (4t)2
 Û (3t)2 = 92 Û 3t = 9 Û t = 3 (vỡ t > 0).
Vậy AB = 12(cm);BC = 15(cm) .
Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC cú BC = 24cm,AC = 3AB . Tia phõn giỏc của gúc ngoài tại A cắt 
đường thẳng BC ở E . Tớnh độ dài EB .
Lời giải (hỡnh 288)
Áp dụng tớnh chất của đường phõn giỏc ngoài AE vào tam giỏc ABC , ta được:
 EB BA BA 1 EB EC
 = = = ị = .
 EC CA 3BA 3 1 3 A
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta được: 
 EB EC EC - EB BC 24
 = = = = = 12(cm)
 1 3 3- 1 2 2
 E B 24cmC
Vậy EB = 12cm . Hỡnh 288
 DẠNG 2.Tớnh tỉ số độ dài, tỉ số diện tớch hai tam giỏc
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc, lập tỉ lệ thức giữa cỏc đoạn thẳng.
 Sử dụng kĩ thuật đại số húa hỡnh học. Cụng thức và kết quả thu được từ cụng thức tớnh diện 
tớch tam giỏc.
VÍ DỤ
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC với đường trung tuyến AM . Tia phõn giỏc của gúc AMB cắt cạnh 
 A
 AB ở D , tia phõn giỏc của gúc AMC cắt cỏc cạnh AC ở E . Chứng minh rằng DE PBC .
Lời giải (hỡnh 289)
Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt BM = MC = a .
 D E
Áp dụng tớnh chất của đường phõn giỏc MD và ME vào hai tam giỏc 
 2 3
 AMB và AMC , ta được: 1 4
 B M C
 ùỡ AD AM AM
 ù = = Hỡnh 289
 ù AD AE
 ớù DB MB a ị = .
 ù AE AM AM DB EC
 ù = =
 ợù EC MC a
Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của tam 
giỏc ABC và định ra trờn hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nờn DE PBC (theo định 
lớ Ta-lột đảo).
Vớ dụ 2. 
a) Cho tam giỏc ABC với đường trung tuyến AM và phõn giỏc AD . Tớnh diện tớch tam giỏc 
 ADM biết AB = m,AC = n (n > m) .
b) Cho n = 7cm,m = 3cm . Hỏi diện tớch tam giỏc ADM chiếm bao nhiờu phần trăm diện tớch 
tam giỏc ABC ? A
Lời giải (hỡnh 290)
 S n
 ADM DM DM m
a) Ta cú = hay SADM = .S 
 SABC BC BC
(vỡ chung chiều cao kẻ từ A đến BC , với S = S ).
 ABC B D M C
Ta cũn phải tớnh tỉ số DM : BC . Hỡnh 290
Áp dụng tớnh chất của đường phõn giỏc AD vào tam giỏc ABC , 
ta được:
 ỡ
 DB BA m ù DB = mt
 = = ị ớù (với t > 0).
 DC CA n ù DC = nt
 ợù
 1 (m + n)t
Do đú BC = DB + DC = (m + n).t , nờn: BM = BC = .
 2 2
 (m + n)t - mt (n - m)t
 ị DM = BM - BD = = .
 2 2
 (n - m)t n - m
Suy ra tỉ số DM : BC = : (m + n)t = .
 2 2(m + n)
 n - m
Vậy S = .S .
 ADM 2(m + n)
 7 - 3
b) Với n = 7cm,m = 3cm thỡ S = .S = 0,2.S = 20%S .
 ADM 2(7 + 3)
Điều này chứng tỏ diện tớch tam giỏc ADM chiếm 20% diện tớch tam giỏc ABC .
 AD 2 EA 5
Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC , cỏc đường phõn giỏc BD và CE . Biết = ; = . Tớnh cỏc 
 BC 3 EB 6
cạnh của tam giỏc ABC , biết chu vi tam giỏc bằng 45cm .
Lời giải (hỡnh 291)
Áp dụng tớnh chất của cỏc đường phõn giỏc BD và CE vào tam giỏc ABC , ta được:
 ỡ A
 AB AD 2 4 ù AB = 4t
 = = = ị ớù (với t > 0); 
 BC BC 3 6 ù BC = 6t 2
 ợù 5
 D
 E
 ùỡ
 AC AE 5 ù AC = 5t
 = = ị ớ . 6 3
 BC EB 6 ù BC = 6t
 ợù
Từ giả thiết chu vi của tam giỏc ABC bằng 45cm , ta cú: B C
 Hỡnh 291
 45 = AB + BC + CA = 4t + 6t + 5t = 15t Û t = 3 .
Vậy AB = 12cm;BC = 18cm;CA = 15cm .
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN 
Bài 1: Tớnh độ dài x , y trong cỏc hỡnh vẽ sau:
 A
 A
 16 cm 
 24 cm 32 cm y 
 D B C
 C
 B 15 cm M x 
 Hỡnh 2
 Hỡnh 1
 Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú AB 4cm,AC 5cm,BC 6cm, cỏc đường phõn giỏc BD và 
CE cắt nhau ở I . 
a) Tớnh cỏc độ dài AD,DC. 
b) Tớnh cỏc độ dài AE,BE. 
Bài 3: Cho tam giỏc cõn ABC cú AB BC. Đường phõn giỏc gúc A cắt BC tại M , đường 
phõn giỏc gúc C cắt BA tại N. Chứng minh MN // AC. 
Bài 4: Cho ΔABC cú AD , BE , CF là cỏc đường phõn giỏc. Chứng minh rằng: 
 AE CD BF
 . . = 1.
 EC DB FA
Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Phõn giỏc của À và Dà cắt cỏc đường chộo BD và AC lần lượt 
tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD.
Bài 6: Cho ΔABC cú phõn giỏc AD , biếtAB = m,AC = n .
a) Tớnh tỉ số diện tớch của ΔABD và ΔACD theo m và n .
b) Vẽ phõn giỏc DE của ADB và vẽ phõn giỏc DFcủa ADC . Chứng minh rằng: 
 A F .CD.BE = A E .BD.CF .
Bài 7: Cho ΔABC , trung tuyến AM , đường phõn giỏc của à MB cắt AB ở D , đường phõn giỏc 
của à MC cắt AC ở E.
a) Chứng minh rằng DE / /BC.
b) Gọi I là giao điểm của AM và DE . Chứng minh rằng DI IE.
c) Tớnh DE , biết BC 30cm,AM 10cm.
d) ΔABC phải thờm điều kiện gỡ để ta cú DE AM?
e) Chứng minh rằng ΔABC cõn nếu biết MD ME .
Bài 8: Cho ∆ABC vuụng cõn tại A. Đường cao AH và đường phõn giỏc BE cắt nhau tại I. Chứng 
minh rằng: CE = 2.HI . 
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI CƠ BẢN 
Bài 1: 
 A
 A
 16 cm 
 24 cm 32 cm y 
 D B C
 C
 B 15 cm M x 
 Hỡnh 2
 Hỡnh 1
 MB AB
a) Xột ΔABC cú AM là đường phõn giỏc trong nờn: =
 MC AC
 15 24 3 15.4
Hay = = ị x = = 20( cm)
 x 32 4 3
 DB AB
b) Xột ΔABC cú AD là đường phõn giỏc ngoài nờn: (1)
 DC AC
 DB 1
Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nờn: (2)
 DC 2
 1 y
Từ (1) và (2) suy ra: y 8 cm 
 2 16
 AD BA 2 AD CD
Bài 2: a) Theo tớnh chất đường phõn giỏc: 1. 
 DC BC 3 2 3
Do đú, AD 2cm,CD 3cm. A
b) Ta cú: Theo tớnh chất đường phõn giỏc: 
 AE CA 5 AE EB 4
 . 
 EB CB 6 5 6 11 E D
 20 24 I
Do đú, AE cm,BE cm. 
 11 11 B
 C
 BM AB B
Bài 3: AM là phõn giỏc của À nờn . 
 CM AC
 BN BC
CN là phõn giỏc của Cà nờn . 
 AN AC N M
Lại cú: AB BC. 
 AB BC BN BM
Suy ra: MN // AC. 
 AC AC AN CM A C
Bài 4: Xột ΔABC , ỏp dụng tớnh chất đường phõn giỏc ta cú: 
 AE AB A
 (1)
 EC BC
 CD AC E
 (2) F
 DB AB
 BF BC
 (3)
 FA AC
 C
Nhõn (1), (2), (3) theo vế ta được: B D
 AE CD BF AB AC BC
 . . . . 1.
 EC DB FA BC AB AC
 Bài 5: Gọi O là giao điểm của BD và AC.
 AB BM
Xột tam giỏc ABD, phõn giỏc AM, ta cú: 
 AD DM
 CD CN
Tương tự, ; A D
 AD AN
 BM CN
Mà AB = CD , suy ra O
 DM AN
 M
Từ đú, ta cú: N
 BM CN BD CA DO AO
 1 1 B
 DM AN DM AN DM AN C
Suy ra MN / / AD. 
Bài 6: a) Vẽ đường cao AH của ABC .Vỡ ΔABC cú phõn giỏc AD nờn: 
 1
 .AH.BD A
 BD AB m S BD m
 = = . Vậy DABD = 2 = =
 CD AC n S 1 CD n
 DACD .AH.CD
 2
 AF AD
b) Ta cú: = (do DFlà phõn giỏc à DC ) B H D C
 CF CD
 BE BD A
 = (do DE là phõn giỏc à DB )
 AE AD
 F
 AF CD BE AD CD BD E
 ị . . = . . = 1
 CF BD AE CD BD AD
 ị AF.CD.BE = AE.BD.CF B H D C
Bài 7: a) Ta cú A
 BD MB
 (do MD là phõn giỏc của à MB )
 AD MA
 CE MC
 (do ME là phõn giỏc của à MC ) E
 AE MA D I
Mà M B = M C ( M là trung điểm của BC )
 C
 BD CE B M
 DE / /BC
 AD AE
b) Xột ABM và ACM lần lượt cú DI / /BM và EI / /CM .
 DI EI AI 
 Mà BM CM DI EI
 BM CM AM 
 BD MB BD IM BM IM
c) Ta cú: . Mà (do DI / /BM ) 
 AD MA AD AI AM AI
 BM AM
Ta lại cú: ( do DI / /BM )
 DI AI
 BM AI + IM IM BM AM + BM
 = = 1+ = 1+ =
 DI AI AI AM AM
 BM .AM 15.10 150
 ị DI = = = = 6
 AM + BM 10 + 15 25
 1
 ị ED = 2DI = 2.6 = 12 (do DI IE DE )
 2
d) Để DE AM ta cần tứ giỏc ADME là hỡnh chữ nhật 
Hay DM / /AE,EM / /AD,Bã AC 900
Khi Bã AC 900 thỡ AM MB MC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC )
 ABM, ACM cõn tại M
 MD  AB,ME  AC (đường phõn giỏc của tam giỏc cõn đồng thời là đường cao
Mà AB  AC . Suy ra DM / /AE,EM / /AD . Suy ra tứ giỏc ADME là hỡnh chữ nhật
Vậy ABC vuụng tại A thỡ DE AM .
e) Khi DM EM thỡ DME cõn tại M cú MI là trung tuyến ( DI IE ) nờn đồng thời là đường cao 
 MI  DE
Mà DE / /BC(cmt) nờn MI  BC
 ABC cú AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nờn là tam giỏc cõn.
 ã ã ã 1 à à 1 à 1 à ã
Bài 8: Ta cú AIE = BAH + ABI = (A + B) = 45° + B = 45° + C = AEI .
 2 2 2
Suy ra ∆AIE cõn tại A AI = AE (1).
 B
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc của ∆ABH và ∆BAC ta cú: 
 IH BH AB BH EC BC AB BC
 (2); (3)
 IA BA AI IH EA BA AE EC
 BH BC H
Từ (2) và (3) suy ra: (4)
 IH EC I
Vỡ ∆ABC vuụng cõn tại A nờn BC = 2.BH 
Từ đú kết hợp với (4) suy ra EC = 2.IH . A E C
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO
 Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú G là trọng tõm, BM là đường phõn giỏc. Biết rằng 
 GM  AC . Chứng minh rằng BM vuụng gúc với trung tuyến AD .
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC cú I là giao điểm của ba đường phõn giỏc. Đường thẳng qua I cắt cỏc 
đường thẳng BC,CA, AB lần lượt tại D, E, F sao cho D, E nằm cựng phớa đối với điểm I . Chứng 
 BC AC AB
minh rằng: .
 ID IE IF
Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trờn tia HC lấy điểm D sao 
cho HD = AH. Đường thẳng vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia 
 B G H D
AM cắt BC tại G. Chứng minh: . 
 B C A H H C
Vớ dụ 4. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của 
AB. Biết AB=6cm, AC=8cm. 
a) Vẽ AK là tia phõn giỏc của gúc Bã AC (K thuộc BC). Tớnh AK? 
b) Gọi E là hỡnh chiếu vuụng gúc của H lờn AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm 
của CN và HE. Chứng minh tứ giỏc NETH là hỡnh bỡnh hành.
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI NÂNG CAO
Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú G là trọng tõm, BM là đường phõn giỏc. Biết rằng 
 GM  AC . Chứng minh rằng BM vuụng gúc với trung tuyến AD .
 Giải
Cỏch 1. (Khụng dựng tớnh chất đường phõn giỏc). Gọi I là giao điểm của BM và AD, H là trung 
 1
điểm AC DH // AB và DH AB (vỡ DH là đường trung bỡnh ABC ).
 2
Lại cú GM // AB (cựng vuụng gúc với AC )
 GM // DH . Áp dụng hệ quả định lý ta-lột:
Xột ADH cú GM // DH
 GM AG 2 GM 2
 .
 DH AD 3 DH 3
 GI GM GH 1
Xột ABI cú GM // AB 
 AI AB BH 3
 GI AI A 3 3 3 2 AD
 AI .AG . .AD AI 
 AI 3 4 4 3 2
 I là trung điểm của AD .
 ABD cú BI vừa là đường phõn giỏc, vừa là đường trung tuyến, suy ra ABD cõn tại B nờn BI 
vừa là đường cao vừa là đường phõn giỏc. Do đú BM  AD .
 AM AG 2
Cỏch 2. ADH cú GM // DH 3.AM 2.AH AC AM MC 
 AH AD 3
hay MC 2.AM .
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc trong ABC , ta cú:
 BC MC BC
 2 AB BD.
 AB MA 2
Vậy ABD cõn tại B nờn BI vừa là phõn giỏc vừa là đường cao.
Do đú BM  AD
Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC cú I là giao điểm của ba đường phõn giỏc. Đường thẳng qua I cắt cỏc 
đường thẳng BC,CA, AB lần lượt tại D, E, F sao cho D, E nằm cựng phớa đối với điểm I . Chứng 
 BC AC AB
minh rằng: .
 ID IE IF
 Giải
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc trong và ngoài của tam giỏc, ta cú:
 BD BF CE CD AF AE
 ; ; 
 ID IF IE ID IF IE
 BC BD CD BF CE
Ta cú: (1)
 ID ID ID IF IE
 AC AE CE AF CE
Ta cú: (2)
 IE IE IE IF IE
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra:
 BC AC BF AF AB
 .
 ID IE IF IF IF
Bài 3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trờn tia HC lấy điểm D sao 
cho HD = AH. Đường thẳng vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia 
 B G H D
AM cắt BC tại G. Chứng minh: . 
 B C A H H C
Giải:
 B G H D
 B
 B C A H H C H
 B C A H H C H C G
 1 
 B G H D H D
 I D
 M
 A E C