Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 2: Thể tích của hình hộp chữ nhật (Có đáp án)

 HH8-C4-CD2 . THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
1. ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC.
Ví dụ 1: Quan sát hình hộp chữ nhật ở hình 84:
 - A A cĩ vuơng gĩc với AD hay khơng? Vì sao?
 - A A cĩ vuơng gĩc với AB hay khơng? Vì sao?
 Giải
Ta lần lượt cĩ:
- A A cĩ vuơng gĩc với AD, bởi ADD A là hình chữ nhật.
- A A cĩ vuơng gĩc với AB, bởi ABB A là hình chữ nhật.
 Tổng kết và mở rộng:
1. Khi đường thẳng A A vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau AD và AB trong mặt phẳng ABCD 
ta nĩi A A vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD và kí hiệu AA  ABCD .
2. Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng cịn lại thì người ta nĩi 
hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với nhau, ví dụ AA B B  ABCD bởi mặt phẳng AA B B chứa đường 
thẳng AA vuơng gĩc với ABCD .
 Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng tại điểm A thì nĩ vuơng gĩc với mọi 
đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng đĩ.
Ví dụ 2: Tìm trên hình 84:
 - Các đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD .
 - Các mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (A B C D ) .
 Giải
Ta lần lượt cĩ:
- Các đường thẳng A A , B B , C C , D D vuơng gĩc với mặt phẳng ABCD .
- Các mặt phẳng A ABB , B BCC , C CDD , D DAA vuơng gĩc với mặt phẳng A B C D .
2. CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT.
Với hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a, b, c ta cĩ: . Diện tích xung quanh:
 Sxq 2 a b c .
. Diện tích tồn phần:
 Stp Sxq 2Sd 2 a b c 2ab 2 ac bc ab .
. Thể tích:
 V abc .
Đặc biệt: Thể tích của hình lập phương cạnh a là:
 V a3 .
Ví dụ 3: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật biết ba kích thước bằng 3cm, 4cm, 5cm.
 Giải
Ta cĩ ngay: V 3.4.5 60cm3 .
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể 
tích của hình lập phương đĩ, biết:
 a) AB 6cm b) AC 4 2cm c) AC1 3 3cm
 Giải
a) Ta cĩ ngay:
 2 2 2
. Diện tích xung quanh: Sxq 4a 4.6 144cm .
 2 2 2
. Diện tích tồn phần: Stp 6a 6.6 216cm .
. Thể tích: V a3 63 216cm3 .
b) Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết số 
đo cạnh của nĩ.
Trong ABC vuơng cân tại B, ta cĩ:
 AC 2 AB2 BC 2 32 a2 a2 a 4cm .
Khi đĩ, hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cĩ:
 2 2 2
. Diện tích xung quanh: Sxq 4a 4.4 64cm
 2 2 2
. Diện tích tồn phần: Stp 6a 6.4 96cm
. Thể tích: V a3 43 64cm3 .
c) Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết số 
đo cạnh của nĩ.
Trong ACC1 vuơng tại C, ta cĩ: 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 C1 A AC C1C AB BC C1C 3a 27 3a a 3cm
Khi đĩ, hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cĩ: 2 2 2
. Diện tích xung quanh: Sxq 4a 4.3 36cm .
 2 2 2
. Diện tích tồn phần: Stp 6a 6.3 54cm
. Thể tích: V a3 33 27cm3 .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Dạng tốn 1: QUAN HỆ VUƠNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
VÍ DỤ 1: Hình 87.
 1. Gấp hình a) theo các nét đã chỉ ra thì cĩ được một hình hộp chữ nhật hay khơng?
 2. Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình b).
 a) Đường thẳng BF vuơng gĩc với mặt phẳng nào?
 b) Hai mặt phẳng AEHD và CGHD vuơng gĩc với nhau, vì sao?
 Hướng dẫn: Ta lần lượt:
 . Với câu 2), sử dụng các định nghĩa về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian.
 Giải
a) Ta cĩ: 
 ABFE và BCGF là các hình chữ nhật.
Suy ra, BF  AB và BF  BC .
Lại cĩ: 
 AB và BC đều thuộc ABCD và cắt nhau tại B.
Do đĩ:
 BF  ABCD .
Tương tự BF  EFGH .
Vậy, BF vuơng gĩc với hai mặt phẳng ABCD và EFGH .
b) Ta cĩ:
 AEHD  CGHD .
Lại cĩ, AD cùng vuơng gĩc với hai đường thẳng DC và DH  CGHD và AD  CGHD . Do đĩ:
 AD  CGHD .
Mà AD  AEHD .
Vậy, ta được AEHD  CGHD .
VÍ DỤ 2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 .
 a) Khi nối A1 với C và A với C1 thì hai đường thẳng A1C và AC1 cĩ cắt nhau hay khơng? Và nếu 
chúng cắt nhau thì cĩ thể vuơng gĩc với nhau được khơng? Vì sao?
 b) Đường thẳng AC song song với những mặt phẳng nào?
 c) Đường thẳng AC vuơng gĩc với những mặt phẳng nào?
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa về các mối quan hệ song song và vuơng gĩc.
 Giải
a) Ta cĩ:
 // // //
 AA1 BB1 CC1 AA1 CC1 .
 AA1C1C là hình bình hành
 A1C và AC1 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đưởng.
Giả sử A1C , AC1 vuơng gĩc với nhau, khi đĩ:
 AA1C1C là hình thoi AA1 A1C1 a a 2 , mâu thuẫn.
Vậy, A1C và AC1 khơng cĩ thể vuơng gĩc với nhau.
b) Ta cĩ:
 AC / / A1C1 A1B1C1D1 AC / / A1B1C1D1 .
 AC / / A1C1 A1C1B AC / / A1C1B .
 AC / / A1C1 A1C1D AC / / A1C1D .
Vậy, tồn tại 3 mặt phẳng A1B1C1D1 , A1C1B , A1C1D song song với AC.
c) Ta cĩ: 
 AC  BB1 vì BB1  ABCD 
 AC  BDD1B1 .
 AC  BD vì ABCD là hình vuông 
Vậy, cĩ đúng mặt phẳng BDD1B1 vuơng gĩc với AC.
VÍ DỤ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 .
 a) Hãy chỉ ra các đường thẳng trong hình hộp vuơng gĩc với mặt phẳng A1B1C1D1 .
 b) Hãy chỉ ra các mặt phẳng trong hình hộp vuơng gĩc với mặt phẳng BB1C1C . c) Tứ giác B1C1DA là hình gì? Vì sao?
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hình lập phương.
 Giải
a) Ta cĩ:
 AA  A B ,vì AA B B là hình chữ nhật
 1 1 1 1 1
 AA1  A1D1,vì AA1D1D là hình chữ nhật
 AA1  A1B1C1D1 .
Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ:
BB1  A1B1C1D1 CC1  A1B1C1D1 DD1  A1B1C1D1 
Vậy tồn tại 4 đường thẳng AA1,BB1,CC1,DD1 vuơng gĩc với mặt phẳng A1B1C1D1 
b) Ta cĩ :
 A1B1  BB1C1C 
 A1B1C1D1  BB1C1C .
 A1B1 A1B1C1D1 
 A1B1  BB1C1C 
 A1B1BA  BB1C1C .
 A1B1 A1B1BA 
 A1B1  BB1C1C 
 A1B1CD  BB1C1C .
 A1B1 A1B1CD 
 AB  BB1C1C 
 ABCD  BB1C1C .
 AB ABCD 
 AB  BB1C1C 
 ABC1D1  BB1C1C .
 AB ABC1D1 
 CD  BB1C1C 
 CDD1C1  BB1C1C .
 CD CDD1C1 
Vậy, tồn tại 6 mặt phẳng A1B1C1D1 , A1B1BA , A1B1CD , ABCD , ABC1D1 , CDD1C1 vuơng 
gĩc với mặt phẳng BB1C1C .
c) Vì ADD1 A1 là hình chữ nhật nên:
 // // //
 AD A1D1 B1C1 AD B1C1 B1C1DA là hình bình hành.
Mặt khác, ta cĩ:
 ·
 B1C1  CDD1C1 B1C1  C1D B1C1D 90 .
Vậy, hình bình hành B1C1DA cĩ một gĩc vuơng nên nĩ là hình chữ nhật. VÍ DỤ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 , biết AB a , BC b , AA1 c . Tìm mối liên hệ giữa 
các đại lượng a, b, c để tứ giác AA1C1C là hình vuơng.
 Hướng dẫn: Trước tiên, cần đi chứng tỏ AA1C1C là hình chữ nhật. Từ đĩ, thiết lập điều kiện 
AA1 AC , trong đĩ AC được tính bằng việc sử dụng hai lần định lí Py-ta-go.
 Giải
Ta cĩ:
 // // //
 AA1 BB1 CC1 AA1 CC1 .
 AA1C1C là hình bình hành.
Ta lại cĩ: 
 ·
 AA1  A1B1C1D1 AA1  A1C1 AA1C1 90 .
Khi đĩ, hình bình hành AA1C1C cĩ một gĩc vuơng nên nĩ là hình chữ nhật.
Để AA1C1C là hình vuơng điều kiện là:
 2 2 2 2 2 2 2
 AA1 AC AA1 AC AB BC c a b .
 2 2 2
Vậy, để AA1C1C là hình vuơng điều kiện là c a b .
Dạng tốn 2: DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP
VÍ DỤ 1: a) Tính các kích thước của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích 
của hình hộp này là 480m3.
 b) Diện tích tồn phần của một hình lập phương là 486m2. Thể tích của nĩ là bao nhiêu?
 Hướng dẫn: Ta lần lượt:
 . Với câu a), sử dụng tính chất tỉ lệ thức và cơng thức tính thể tích của hình hộp.
 . Với câu b), trước tiên sử dụng cơng thức tính diện tích tồn phần của hình lập phương để tính độ 
dài cạnh của nĩ.
 Giải
a) Gọi a, b, c là các kích thước của hình chữ nhật (đơn vị: cm).
Theo đề bài, ta cĩ:
 a b c a.b.c 480
 k k 3 8 k 2 .
 3 4 5 3.4.5 60
Suy ra a 6 ; b 8 ; c 10 .
Vậy các kích thước của hình hộp chữ nhật là; 
 a 6cm , b 8cm , c 10cm .
b) Hình lập phương cĩ 6 mặt là hình vuơng bằng nhau.
Gọi a là cạnh của hình vuơng (đơn vị: mét).
Ta cĩ, diện tích của hình vuơng là: a2 486 : 6 81 m2 a 9 m . Vậy, thể tích của khối lập phương là : V a3 93 729m3 .
 1
VÍ DỤ 2: Cho hình hộp chữ nhật cĩ chiều dài bằng 6cm, chiều rộng bằng chiều dài và chiều cao gấp 
 2
3 lần chiều rộng. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật đĩ.
 Hướng dẫn: Sử dụng các cơng thức cĩ sẵn sau khi cĩ được độ dài của ba kích thước hình hộp chữ 
nhật.
 Giải
 Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình chữ nhật, ta cần biết 
đầy đủ ba kích thước của nĩ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao, từ giả thiết ta cĩ:
 1
 a 6cm , b a 3cm , c 3b 9cm .
 2
Khi đĩ:
. Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:
 2
 Sxq 2 a b .c 162cm
. Diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật là:
 2
 Stp Sxq 2Sd 162 2.6.3 198cm
. Thể tích hình hộp chữ nhật là: 
 V a.b.c 162cm3 .
VÍ DỤ 3: Một cái thùng hình lập phương, cạnh 7dm, cĩ chứa nước với độ sâu của nước là 4dm. Người 
ta thả 25 viên gạch cĩ chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm, và chiều cao 0,5dm và thùng. Hỏi nước trong 
thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đêximet? (Giả sử tồn bộ gạch ngập trong nước và chúng 
hút nước khơng đáng kể)
 Giải
Thể tích của 25 viên gạch là: V 2.1.0,5 .25 25 dm3 .
Diện tích đáy thùng là 7.7 49 dm2 .
Chiều cao của nước dâng lên thêm khi bỏ gạch vào thùng là:
 V 25
 h 0,51 dm .
 S 9
Vậy, mực nước trong thùng cách miệng thùng là: 
 7 4 0,51 2,49 dm .
VÍ DỤ 4: Một bể nước hình chữ nhật cĩ chiều dài 2m. Lúc đầu bể khơng cĩ nước. Sau khi đổ vào bể 
120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m.
 a) Tính chiều rộng của bể nước.
 b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét?
 Giải 3
a) Lượng nước đổ vào bể lúc đầu là: V1 120.20 2400 lít 2,4 m .
 V 2,4
Diện tích đáy của bể là: S 1 3 m2 .
 h 0,8 
Đáy bể là hình chữ nhật nên Sđáy dài rộng .
 S 3
Suy ra, chiều rộng của đáy bể là: đáy 1,5 m .
 chiều dài 2
b) Lượng nước đổ vào bể cả hai lần là:
 V 120 60 .20 3600 lít 3,6 m3 .
 V 3,6
Vậy, chiều cao của bể là: h 1,2 m .
 S 3
VÍ DỤ 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , biết AC 2 2 cm . Tính diện tích xung quanh, diện 
tích tồn phần và thể tích của hình đĩ.
 Giải
 Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết 
số đo cạnh của nĩ.
 Giả sử hình lập phương cĩ cạnh bằng a.
 Trong ABC vuơng cân tại B, ta cĩ:
 AC 2 AB2 BC 2 8 a2 a2 a 2cm .
 Khi đĩ, hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cĩ:
 . Diện tích xung quanh:
 2 2 2
 Sxq 4a 4.2 16cm .
 . Diện tích tồn phần:
 2 2 2
 Stp 6a 6.2 24cm .
 . Thể tích: V a3 23 8cm3 .
 2
VÍ DỤ 6: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cĩ diện tích mặt chéo ACC1 A1 bằng 9 2 cm . Tính 
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình lạp phương đĩ.
 Giải
 Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết 
số đo cạnh của nĩ. Giả sử hình lập phương cĩ cạnh bằng a.
 Trong ABC vuơng cân tại B, ta cĩ: 
 AC 2 AB2 BC 2 a2 a2 2a2 AC a 2 .
 Diện tích mặt chéo ACC1 A1 được cho bởi:
 S AA1.AC 9 2 a.a 2 a 3cm .
 Khi đĩ, hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cĩ:
 . Diện tích xung quanh:
 2 2 2
 Sxq 4a 4.3 36cm .
 2 2 2
 . Diện tích tồn phần: Stp 6a 6.3 54cm .
 . Thể tích: V a3 33 27cm3 .
VÍ DỤ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 . Biết AB 4cm , AC 5cm và A1C 13cm . Tính 
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật đĩ.
 Giải
 Để tính được diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật, ta cần 
biết đầy đủ ba kích thước của nĩ là chiều dài, chiều rộng, chiều cao. Do vậy, ở đây cần tính thêm BC 
và AA1 .
 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC , ta được:
 BC 52 42 3 cm .
 Từ định nghĩa của hình hộp chữ nhật, ta cĩ:
 AA1  ABCD AA1  AC A1 AC vuơng tại A.
 Áp dụng định lí Py-ta-go vào A1 AC , ta được:
 2 2
 AA1 13 5 12 cm .
 Khi đĩ:
 . Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là: 
 2
 Sxq 2 AB BC .AA1 168cm
 . Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là:
 2
 Stp Sxq 2Sđ 168 2.4.3 192cm
 . Thể tích hình hộp chữ nhật là:
 3
 V AB.BC.AA1 144cm .
VÍ DỤ 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Biết AB 3cm , AA 6cm và S 30cm2 . Tính 
 1 1 1 1 1 AA1C1C
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật đĩ.
 Giải Ta cĩ:
 // // //
 AA1 BB1 CC1 AA1 CC1 AA1C1C là hình bình hành.
Ta lại cĩ:
 ·
 AA1  A1B1C1D1 AA1  A1C1 AA1C1 90 .
Khi đĩ, hình bình hành AA1C1C cĩ một gĩc vuơng nên nĩ là hình chữ nhật.
Gọi S là diện tích của hình chữ nhật AA1C1C , ta cĩ:
 S AA1.AC 30 6.AC AC 5cm .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC , ta được:
 BC 52 32 4cm .
Khi đĩ:
. Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là:
 2
 Sxq 2 AB BC .AA1 84cm
. Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật là:
 2
 Stp Sxq 2Sđ 84 2.3.4 108cm
 3
. Thể tích của hình hộp chữ nhật là: V AB.BC.AA1 72cm .
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ ( hình vẽ)
a) Kể tên những cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật.
b) Kể tên ba đường thẳng nào cắt nhau tại điểm A ?
c) Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng BP thì O 
cĩ là điểm thuộc đoạn thẳng NC khơng?
d) Nếu E là điểm thuộc cạnh AD thì E cĩ thể là điểm thuộc cạnh BN khơng?
e) Kể tên các đường thẳng song song với:  AM  AD  PQ
f) Kể tên các mặt phẳng song song với mặt phẳng (MNPQ) .
g) Đường thẳng BC song song với những mặt phẳng nào?
h) Đường thẳng DP song song với những mặt phẳng nào? Tại sao?
i) Hai mặt phẳng nào cắt nhau theo đường thẳng AM ?
j) Mặt phẳng (ABNM ) và mặt phẳng (MNPQ) cắt nhau theo đường thẳng nào?
k) Các cặp mặt phẳng nào song song với nhau ?
l) Mặt phẳng (BMP) song song song với mặt phẳng nào ? Tại sao?
m) Đường thẳng AM vuơng gĩc với những mặt phẳng nào?
n) Hai mặt phẳng (ABNM ) và (ADQM ) cĩ vuơng gĩc với nhau khơng? Tại sao?