Bài tập bồi dưỡng phần Cơ học Vật lí Lớp 8

PHẦN I – CÁC BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT
Phần này gồm có:
Các bài toán về chuyển động của vật và hệ vật
Các bài toán về vận tốc trung bình
Các bài toán về chuyển động tròn đều
Các bài toán về công thức cộng vận tốc.
Các bài toán về đồ thị chuyển động
A/ các bài toán về chuyển động của vật và hệ vật
1/ Hệ vật gồm các vật chuyển động với vận tốc cùng phương:
Phương pháp: sử dụng tính tương đối của chuyển động và công thức cộng vận tốc. trong trường hợp các vật chuyển động cùng chiều so với vật mốc thì nên chọn vật có vận tốc nhỏ hơn làm mốc mới để xét các chuyển động.
Bài toán: 
Trên một đường đua thẳng, hai bên lề đường có hai hàng dọc các vận động viên chuyển động theo cùng một hướng: một hàng là các vận động viên chạy việt dã và hàng kia là các vận động viên đua xe đạp. Biết rằng các vận động viên việt dã chạy đều với vận tốc v1 = 20km/h và khoảng cách đều giữa hai người liền kề nhau trong hàng là l1 = 20m; những con số tương ứng đối với hàng các vận động viên đua xe đạp là v2 = 40km/h và l2 = 30m. Hỏi một người quan sát cần phải chuyển động trên đường với vận tốc v3 bằng bao nhiêu để mỗi lần khi một vận động viên đua xe đạp đuổi kịp anh ta thì chính lúc đó anh ta lại đuổi kịp một vận động viên chạy việt dã tiếp theo?
Giải: Coi vận động viên việt dã là đứng yên so với người quan sát và vận động viên đua xe đạp.
Vận tốc của vận động viên xe đạp so với vận động viên việt dã là: Vx = v2 – v1 = 20 km/h.
Vận tốc của người quan sát so với vận động viên việt dã là: Vn = v3 – v1 = v3 – 20
Giả sử tại thời điểm tính mốc thời gian thì họ ngang nhau.
Thời gian cần thiết để người quan sát đuổi kịp vận động viên việt dã tiếp theo là: 
Thời gian cần thiết để vận động viên xe đạp phía sau đuổi kịp vận động viên việt dã nói trên là: 
Để họ lại ngang hàng thì t1 = t2. hay: Thay số tìm được: v3 = 28 km/h
2/ Hệ vật gồm các vật chuyển động với vận tốc khác phương
Phương pháp: Sử dụng công thức cộng vận tốc và tính tương đối của chuyển động:
Bài toán:
 Trong hệ tọa độ xoy ( hình 1), có hai vật nhỏ A và B 
chuyển động thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A cách 
vật B một đoạn l = 100m. 
Biết vận tốc của vật A là vA = 10m/s theo hướng ox, 
vận tốc của vật B là vB = 15m/s theo hướng oy.
	a) Sau thời gian bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động, 
hai vật A và B lại cách nhau 100m.
	b) Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B.
 Giải:
a/ Quãng đường A đi được trong t giây: AA1 = vAt
 Quãng đường B đi được trong t giây: BB1 = vBt
 Khoảng cách giữa A và B sau t giây: d2 = (AA1)2 + (AB1)2
 Với AA1 = VAt và BB1 = VBt
 Nên: d2 = ( v2A + v2B )t2 – 2lvBt + l2 (*)
 Thay số và biến đổi ra biểu thức : 325t2 – 3000t = 0
 Giải ra được: t 9,23 s
b/ - Xét phương trình bậc hai (*) với biến là t. Để (*) có
 nghiệm thì
 từ đó tìm được: 
- Rút ra được dmin = 
- Thay số tính được dmin 55,47 m
3/ Chuyển động lặp:
Phương pháp: Có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau:
Nếu vật chuyển động lặp không thay đổi vận tốc trên cả quá trình chuyển động thì sử dụng tính tương đối của chuyển động
Nếu vật tham gia chuyển động lặp có vận tốc thay đổi trên các quãng đường thì sử dụng phương pháp tỷ số quãng đường hoặc tính tương đối của chuyển động. 
Bài toán 1: Trên quãng đường dài 100 km có 2 xe 1 và 2 cùng xuất phát và chuyển động gặp nhau với vận tốc tương ứng là 30 km/h và 20 km/h. cùng lúc hai xe chuyển động thì có một con Ong bắt đầu xuất phát từ xe 1 bay tới xe 2, sau khi gặp xe 2 nó quay lại và gặp xe 1 và lại bay tới xe 2. Con Ong chuyển động lặp đi lặp lại tới khi hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của con ong là 60Km/h. tính quãng đường Ông bay?.
Giải: Coi xe 2 đứng yên so với xe 1. thì vận tốc của xe 2 so với xe 1 là V21 = V2 + V1 = 50 Km/h
 Thời gian để 2 xe gặp nhau là: t = = = 2 h
Vì thời gian Ong bay bằng thời gian hai xe chuyển động. Nên quãng đường Ong bay là:
 So = Vo t = 60.2 = 120 Km 
Bài toán 2: Một cậu bé đi lên núi với vận tốc 1m/s. khi còn cách đỉnh núi 100m cậu bé thả một con chó và nó bắt đầu chạy đi chạy lại giữa đỉnh núi và cậu bé. Con chó chạy lên đỉnh núi với vận tốc 3m/s và chạy lại phía cậu bé với vận tốc 5m/s. tính quãng đường mà con chó đã chạy từ lúc được thả ra tới khi cậu bé lên tới đỉnh núi?
Giải:
 vận tốc của cậu bé là v, vận tốc của con chó khi chạy lên là v1 và khi chạy xuống là v2 . giả sử con chó gặp cậu bé tại một điểm cách đỉnh núi là L thời gian giữa hai lần gặp nhau liên tiếp là T
Thời gian con chó chạy từ chỗ gặp cậu bé tới đỉnh núi là L/v1 thời gian con chó chạy từ đỉnh núi tới chỗ gặp cậu bé lần tiếp theo là (T-L/v1 ) và quãng đường mà con chó đã chạy trong thời gian này là v2(T – L/v1) . 
 quãng đường mà cậu bé đã đi trong thời gian T là vT nên: L = vT + v2 (T – )
 Hay T = 
Quãng đường con chó chạy cả lên núi và xuống núi trong thời gian T là:
 Sc = L + v2(T – ) thay giá trị của T từ trên ta được: Sc = L 
Quãng đường cậu bé đã đi trong thời gian T là: Sb = L 
Từ đó ta được Sc = Sb = 350 m. 
3/ Chuyển động có vận tốc thay đổi theo quy luật:
Phương pháp: 
+ Xác định quy luật của chuyển động 
+ Tính tổng quãng đường chuyển động. Tổng này thường là tổng của một dãy số.
+ Giải phương trình nhận được với số lần thay đổi vận tốc là số nguyên.
Bài toán 1: Một động tử xuất phát từ A trên đường thẳng hướng về B với vận tốc ban đầu V0 = 1 m/s, biết rằng cứ sau 4 giây chuyển động, vận tốc lại tăng gấp 3 lần và cứ chuyển động được 4 giây thì động tử ngừng chuyển động trong 2 giây. trong khi chuyển động thì động tử chỉ chuyển động thẳng đều. Sau bao lâu động tử đến B biết AB dài 6km?
Giải: cứ 4 giây chuyển động ta gọi là một nhóm chuyển động
Dễ thấy vận tốc của động tử trong các n nhóm chuyển động đầu tiên là: 
 30 m/s; 31 m/s; 32 m/s .., 3n-1 m/s , .., 
Quãng đường tương ứng mà động tử đi được trong các nhóm thời gian tương ứng là: 
 4.30 m; 4.31 m; 4.32 m; ..; 4.3n-1 m; .
Quãng đường động tử chuyển động trong thời gian này là: Sn = 4( 30 + 31 + 32 + .+ 3n-1) (m)
Hay: Sn = 2(3n – 1) (m)
Ta có phương trình: 2(3n -1) = 6000 Þ 3n = 3001. 
Ta thấy rằng 37 = 2187; 38 = 6561, nên ta chọn n = 7.
Quãng đường động tử đi được trong 7 nhóm thời gian đầu tiên là: 2.2186 = 4372 (m)
Quãng đường còn lại là: 6000 – 4372 = 1628 (m)
Trong quãng đường còn lại này động tử đi với vận tốc là ( với n = 8): 37 = 2187 (m/s)
Thời gian đi hết quãng đường còn lại này là: 
Vậy tổng thời gian chuyển động của động tử là: 7.4 + 0,74 = 28,74 (s)
Ngoài ra trong quá trình chuyển động. động tử có nghỉ 7 lần ( không chuyển động) mỗi lần nghỉ là 2 giây, nên thời gian cần để động tử chuyển động từ A tới B là: 28,74 + 2.7 = 42,74 (giây).
Bài toán 2: Một vật chuyển động xuống dốc nhanh dần. Quãng đường vật đi được trong giây thứ k là S = 4k - 2 (m). Trong đó S tính bằng mét, còn k = 1,2, tính bằng giây.
	 a/ Hãy tính quãng đường đi được sau n giây đầu tiên.
	 b/ Vẽ đồ thị sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian chuyển động.
Giải: a/ Quãng đường đi được trong n giây đầu tiên là: 
Sn = (4.1 – 2) + (4.2 – 2) + (4.3 – 2) + .+ (4.n -2) 
Sn = 4(1 + 2 + 3 + + n) – 2n 
Sn = 2n(n + 1) – 2n = 2n2
b/ Đồ thị là phần đường parabol Sn = 2n2 nằm bên phải trục Sn.
B/ Các bài toán về vận tốc trung bình của vật chuyển động.
Phương pháp: Trên quãng đường S được chia thành các quãng đường nhỏ S1; S2; ; Sn và thời gian vật chuyển động trên các quãng đường ấy tương ứng là t1; t2; .; tn. thì vận tốc trung bình trên cả quãng đường được tính theo công thức: VTB = 
Chú ý: Vận tốc trung bình khác với trung bình của các vận tốc.
Bài toán 1: Hai bạn Hoà và Bình bắt đầu chạy thi trên một quãng đường S. Biết Hoà trên nửa quãng đường đầu chạy với vận tốc không đổi v1 và trên nửa quãng đường sau chạy với vận tốc không đổi v2(v2< v1). Còn Bình thì trong nửa thời gian đầu chạy với vận tốc v1 và trong nửa thời gian sau chạy với vận tốc v2 .
 Tính vận tốc trung bình của mỗi bạn ?
Giải: 
Xét chuyển động của Hoà A 	v1 M	v2	 B
 Thời gian đi v1là t1 = = 
 Thời gian đi v2 là t2 = = . Thời gian t = t1+t2 = s( +)
 vận tốc trung bình vH = = (1)
Xét chuyển động của Bình A	 v1 M	 v2	 B
 s1 = v1t1 ; s2 = v2t2 mà t1= t2 = và s = s1 + s2 => s= ( v1+v2) => t= 
 vận tốc trung bình vB = = 
Bài toán 2: 
Một người đi trên quãng đường S chia thành n chặng không đều nhau, chiều dài các chặng đó lần lượt là S1, S2, S3,......Sn. 
Thời gian người đó đi trên các chặng đường tương ứng là t1, t2 t3....tn . Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quảng đường S. Chứng minh rằng:vận trung bình đó lớn hơn vận tốc bé nhất và nhỏ hơn vận tốc lớn nhất.
Giải: Vận tốc trung bình của người đó trên quãng đường S là: Vtb= 
Gọi V1, V2 , V3 ....Vn là vận tốc trên các chặng đường tương ứng ta có:
 .......
giả sử Vklớn nhất và Vi là bé nhất ( n ³ k >i ³ 1)ta phải chứng minh Vk > Vtb > Vi.Thật vậy:
 Vtb= = vi .Do ; ... >1 nên 
t1+ t2.+.. tn> t1 +t2+....tn ® Vi< Vtb (1)
 Tương tự ta có Vtb= = vk. .Do ; ... <1 
 nên t1+ t2.+.. tn Vtb (2) ĐPCM
Bài toán 3: 
Tính vận tốc trung bình của ôtô trên cả quảng đường trong hai trường hợp :
a, Nửa quãng đường đầu ôtô đi với vận tốc v1 , Nửa quãng đường còn lại ôtô đi với vận tốc v2 
b, Nửa thời gian đầu ôtô đi với vận tốc v1 , Nửa thời gian sau ôtô đi với vận tốc v2 . 
Giải: a, Gọi quảng đường ôtô đã đi là s . 
Thời gian để ôtô đi hết nữa quảng đường đầu là : 
Thời gian để ôtô đi hết nữa quảng đường còn lại là : 
Vận tốc trung bình của ôtô trên cả quảng đường: 
b,Gọi thời gian đi hết cả quảng đường là t
Nữa thời gian đầu ôtô đi được quảng đường là : 
Nữa thời gian sau ôtô đi được quảng đường là : 
Vận tốc trung bình của ôtô trên cả quảng đường là : 
C/ Các bài toán về chuyển động tròn đều.
Phương pháp: 
 + Ứng dụng tính tương đối của chuyển động. 
 + Số lần gặp nhau giữa các vật được tính theo số vòng chuyển động của vật được coi là vật chuyển động.
Bài toán 1: Một người đi bộ và một vận động viên đi xe đạp cùng khởi hành ở một địa điểm, và đi cùng chièu trên một đường tròn chu vi C = 1800m. vận tốc của người đi xe đạp là v1= 22,5 km/h, của người đi bộ là v2 = 4,5 km/h. Hỏi khi người đi bộ đi được một vòng thì gặp người đi xe đạp mấy lần. Tính thời gian và địa điểm gặp nhau?
Giải: Thời gian để người đi bộ đi hết một vòng là: t = 1,8/4,5 = 0,4 h
Coi người đi bộ là đứng yên so với người đi xe đạp. Vận tốc của người đi xe đạp so với người đi bộ là: 
 V = v1 – v2 = 22,5 – 4,5 = 18 km/h.
Quãng đường của người đi xe đạp so với người đi bộ là: S = Vt = 0,4. 18 = 7,2 km. 
 Số vòng người đi xe đạp đi được so với người đi bộ là: n = = 7,2/1,8 = 4 (vòng)
Vậy người đi xe đạp gặp người đi bộ 4 lần. 
Khi đi hết 1 vòng so với người đi bộ thì người đi xe đạp gặp người đi bộ 1 lần ở cuối đoạn đường. 
 Thời gian người đi xe đạp đi hết một vòng so với người đi bộ là: t’ = = 1,8/18 = 0,1 h
Vậy:
Lần gặp thứ nhất sau khi xuất phát một thời gian là 0,1h cách vị trí đầu tiên là 0,1.4,5 = 0,45 km
Lần gặp thứ hai sau khi xuất phát một thời gian là 0,2h cách vị trí đầu tiên là 0,2.4,5 =0, 9 km
Lần gặp thứ ba sau khi xuất phát một thời gian là 0,3h cách vị trí đầu tiên là 0,3.4,5 = 1,35 km
Lần gặp thứ tư sau khi xuất phát một thời gian là 0,4h cách vị trí đầu tiên là 0,4.4,5 = 1,8 km
Các khoảng cách trên được tính theo hướng chuyển động của hai người.
Bài toán 2: Một người ra đi vào buổi sáng, khi kim giờ và kim phút chồng lên nhau và ở trong khoảng giữa số 7 và 8. khi người ấy quay về nhà thì trời đã ngã về chiều và nhìn thấy kim giờ, kim phút ngược chiều nhau. Nhìn kĩ hơn người đó thấy kim giờ nằm giữa số 1 và 2. Tính xem người ấy đã vắng mặt mấy giờ.
Giải: Vận tốc của kim phút là 1 vòng/ giờ. Vận tốc của kim giờ là 1 vòng/ 12 giờ. 
 Coi kim giờ là đứng yên so với kim phút. Vận tốc của kim phút so với kim giờ là (1 – ) = vòng/giờ.
 Thời gian để kim giờ và kim phút gặp nhau giữa hai lần liên tiếp là: = (giờ)
 Khi đó kim giờ đi được 1 đoạn so với vị trí gặp trước là: . = vòng.
 Khi đó kim phút đã đi được 1 vòng tính từ số 12. nên thời gian tương ứng là (1 + ) giờ.
 Khi gặp nhau ở giữa số 7 và số 8 thì kim phút đã đi được 7 vòng, nên thời điểm đó là 7 + giờ.
 Tương tự. giữa 2 lần hai kim đối nhau liên tiếp cũng có thời gian là giờ.
Chọn tại thời điểm 6h. kim phút và kim giờ đối nhau. Thì khi tới vị trí kim giờ nằm giữa số 1 và 
 số 2. thì thời gian là 7 + giờ.
Chọn mốc thời gian là 12h. thì khi hai kim đối nhau mà kim giờ nằm giữa số 1 và số 2 thì thời điểm đó là (6 + 7 + ) giờ.
 Vậy thời gian người đó vắng nhà là (13 + ) – (7+ ) = 6 giờ. 
Bài toán 3: Chiều dài của một đường đua hình tròn là 300m. hai xe đạp chạy trên đường này hướng tới gặp nhau với vận tốc V1 = 9m/s và V2 = 15m/s. Hãy xác định khoảng thời gian nhỏ nhất tính từ thời điểm họ gặp nhau tại một nơi nào đó trên đường đua đến thời điểm họ lại gặp nhau tại chính nơi đó
Giải: Thời gian để mỗi xe chạy được 1 vòng là: t1= = (s) , t2 = = 20(s)
Giả sử điểm gặp nhau là M. Để gặp tại M lần tiếp theo thì xe 1 đã chạy được x vòng và xe 2 chạy được y vòng. Vì chúng gặp nhau tại M nên: xt1 = yt2 nên: = 
X, y nguyên dương. Nên ta chọn x, y nhỏ nhất là x = 3, y = 5
Khoảng thời gian nhỏ nhất kể từ lúc hai xe gặp nhau tại một điểm đến thời điểm gặp nhau cũng tại điểm đó là t = xt1 = 3. 100 (s)
D/ Các bài toán về công thức cộng vận tốc:
Vì giới hạn của chương trình lớp 9. nên chỉ xét các vận tốc có phương tạo với nhau những góc có giá trị đặc biệt, hoặc các vận tốc có phương vuông góc với nhau.
Cần viết biểu thức véc tơ biểu thị phép cộng các vận tốc. căn cứ vào biểu thức véc tơ để chuyển thành các biểu thức đại số.
Để chuyển công thức dạng véc tơ thành biểu thức đại số. ta sử dụng định lý Pitago. Hoặc sử dụng định lý hàm số cosin và các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
Bài toán 1: Một chiếc ô tô chạy trên đường theo phương ngang với vận tốc v = 80 km/h trong trời mưa. Người ngồi trong xe thấy rằng các hạt mưa ngoài xe rơi theo phương xiên góc 300 so với phương thẳng đứng. biết rằng nếu xe không chuyển động thì hạt mưa rơi theo phương thẳng đứng. xác định vận tốc hạt mưa?.
Giải: + Lập hệ véc tơ với vận tốc của hạt mưa vuông góc với mặt đất. vận tốc của xe theo phương ngang. Hợp của các vận tốc: Vận tốc hạt mưa so với xe và vận tốc của xe so với mặt đất chính là vận tốc của hạt mưa so với mặt đất..
Từ đó tính được độ lớn vận tốc hạt mưa: V = v.tan300 = 46,2 km/h 
Bài toán 2: Một đoàn tàu đứng yên, các giọt mưa tạo trên cửa sổ toa tàu những vệt nghiêng góc a=300 so với phương thẳng đứng. Khi tàu chuyển động với vận tốc 18km/h thì các giọt mưa rơi thẳng đứng. Dùng phép cộng các véc tơ dịch chuyển xác định vận tốc của giọt mưa khi rơi gần mặt đất.
Giải: Lập hệ véc tơ với phương của vận tốc hạt mưa so với mặt đất tạo với phương thẳng đứng góc 300. Phương vận tốc của tàu so với mặt đất là phương ngang sao cho tổng các véc tơ vận tốc: véc tơ vận tốc của hạt mưa so với tàu và véc tơ vận tốc của tàu so với mặt đất chính là véc tơ vận tốc của hạt mưa so với đất.
Khi đó vận tốc hạt mưa V = v.cot300 = 31 km/h
E/ Các bài toán về đồ thị chuyển động:
Phương pháp: Cần đọc đồ thị và liên hệ giữa các đại lượng được biểu thị trên đồ thị. Tìm ra được bản chất của mối liên hệ và ý nghĩa các đoạn, các điểm được biểu diễn trên đồ thị.
Có 3 dạng cơ bản là dựng đồ thị, giải đồ thị bằng đường biểu diễn và giải đồ thị bằng diện tích các hình biểu diễn trên đồ thị:
Bài toán 1
: Trên đoạn đường thẳng dài, 
các ô tô đều chuyển động với vận
tốc không đổi v1(m/s) trên cầu chúng phải
chạy với vận tốc không đổi v2 (m/s)
Đồ thị bên biểu diễn sự phụ thuộc khoảng
Cách L giữa hai ô tô chạy kế tiếp nhau trong
Thời gian t. tìm các vận tốc V1; V2 và chiều 
Dài của cầu.
Giải:
 Từ đồ thị ta thấy: trên đường, hai xe cách nhau 400m
Trên cầu chúng cách nhau 200 m
Thời gian xe thứ nhất chạy trên cầu là T1 = 50 (s)
Bắt đầu từ giây thứ 10, xe thứ nhất lên cầu và đến giây thứ 30 thì xe thứ 2 lên cầu.
Vậy hai xe xuất phát cách nhau 20 (s)
Vậy: V1T2 = 400 Þ V1 = 20 (m/s)
V2T2 = 200 Þ V2 = 10 (m/s)
Chiều dài của cầu là l = V2T1 = 500 (m)
 Bài toán 2: Trên đường thẳng x/Ox. một xe chuyển động
qua các giai đoạn có đồ thị biểu diễn toạ độ theo thời gian như
 hình vẽ, biết đường cong MNP là một phần của parabol 
đỉnh M có phương trình dạng: x = at2 + c.Tìm vận tốc trung 
bình của xe trong khoảng thời gian từ 0 đến 6,4h và vận tốc ứng 
với giai đoạn PQ?
Giải: Dựa vào đồ thị ta thấy:
Quãng đường xe đi được: S = 40 + 90 + 90 = 220 km
Vậy: km/h
b/ Xét phương trình parabol: x = at2 + c.
Khi t = 0; x = - 40. Thay vào ta được: c = - 40
Khi t = 2; x = 0. Thay vào ta được: a = 10
Vậy x = 10t2 – 40.
Xét tại điểm P. Khi đó t = 3 h. thay vào ta tìm được x = 50 km.
Vậy độ dài quãng đường PQ là S’ = 90 – 50 = 40 km.
Thời gian xe chuyển động trên quãng đường này là: t’ = 4,5 – 3 = 1,5 (h)
Vận tốc trung bình của xe trên quãng đường này là: km/h
Bài toán 3: Một nhà du hành vũ trụ chuyển động
dọc theo một đường thẳng từ A đến B. Đồ
thị chuyển động được biểu thị như hình vẽ. 
(V là vận tốc nhà du hành, x là khoảng cách
từ vị trí nhà du hành tới vật mốc A ) tính thời 
gian người đó chuyển động từ A đến B
(Ghi chú: v -1 = )
Giải:
Thời gian chuyển động được xác định bằng công thức: t = = xv -1
Từ đồ thị ta thấy tích này chính là diện tích hình được giới hạn bởi đồ thị, hai trục toạ độ và đoạn thẳng MN.Diện tích này là 27,5 đơn vị diện tích.
Mỗi đơn vị diện tích này ứng với thời gian là 1 giây. Nên thời gian chuyển động của nhà du hành là 27,5 giây.
PHẦN 2
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VẬT RẮN VÀ MÁY CƠ ĐƠN GIẢN
Phần này gồm có:
 + Các bài toán về điều kiện cân bằng của vật rắn và mô men lực
 + các bài toán về máy cơ đơn giản và sự kết hợp giữa các máy cơ
 + các bài toán về sự kết hợp giữa máy cơ đơn giản và cơ thủy tĩnh
A. Lý thuyết
I. Mômen lực
	Mô men lực ( nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay):
	 (N.m)
	Trong đó: l là khoảng cách từ trục quay đến giá của lực ( còn gọi là tay đòn của lực).
II. Điều kiện cân bằng của một vật có trục quay cố định:
O
F1
F2
l1
l2
Muốn cho một vật có trục quay cố định đứng cân bằng ( hoặc quay đều) thì tổng mômen các lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ bằng tổng các mô men các lực làm cho vật quay ngược chiều kim đồng hồ..
Ví dụ: Với vật bất kỳ có thể quay quanh trục cố định O ( theo hình vẽ) để đứng yên cân bằng quanh O ( hoặc quay đều quanh O) thì mômen của lực F1 phải bằng mômen của lực F2.
Tức là:	 	M1 = M2
	F1. l1 = F2. l2
Trong đó l1, l2 lần lượt là tay đòn của các lực F1, F2( Tay đòn của lực là khoảng cách từ trục qua đến phương của lực)
OP
III. Quy tắc hợp lực.
1. Quy tắc tổng hợp hai lực đồng quy ( quy tắc hình bình hành).
Hợp lực của hai lực đồng quy ( cùng điểm đặt) có phương trùng 
với đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai lực đó, 
độ lớn của hợp lực là độ dài đường chéo.
l1
l1
l1
l1
l2
h
2. Tổng hai lực song song cùng chiều:
Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực cùng
 phương, độ lớn bằng tổng hai lực thành phần, có giá chia 
trong khoảng cách giữa hai giá của hai lực thành phần
 thành những đoạn thẳng tỉ lệ nghịch với hai lực ấy.
l1
l1
l1
l1
l2
3. Tổng hợp hai lực song song ngược chiều:
Hợp lực của hai lực song song ngược chiều là một lực có phương cùng phương với lực lớn hơn, độ lớn bằng hiệu hai lực thành phần, có giá chia ngời khoảng cách giữa hai giá của hai lực thành phần thành những đoạn thẳng tỉ lệ nghịch với hai lực ấy.
IV. Các máy cơ đơn giản
1. Ròng rọc cố định.
Dùng ròng rọc cố định không được lợi gì về lực, đường đi do đó không được lợi gì về công.
2. Ròng rọc động.
+ Với 1 ròng rọc động: Dùng ròng rọc động được lợi hai lần về lực nhưng lại thiệt hai lần về đường đi do đó không được lợi gì về công.
+ Với hai ròng rọc động: Dùng 2 ròng rọc động được lợi 4 lần về lực nhưng lại thiệt 4 lần về đường đi do đó không được lợi gì về công. 
+ Tổng quát: Với hệ thống có n ròng rọc động thì ta có:
3. Đòn bẩy.
Dùng đòn bẩy đượclợi bao nhiêu lần về lực thì thiệt bấy nhiêu lần về đường đi do đó không được lợi gì về công.
( áp dụng điều kiện cân bằng của một vật có trục quay cố định)
O
l2
l1
A
B
Trong đó F1; F2 là các lực tác dụng lên đòn bẩy, l1; l2 là các tay đòn của lực hay khoảng cách từ giá của các lực đến trục quay.
O
l2
l1
A
B
I/ Các bài toán về điều kiện cân bằng của vật rắn và mô men lực:
Phương pháp: Cần xác định trục quay, xác định các vét tơ lực tác dụng lên vật. Xác định chính xác cánh tay đòn của lực. Xác định các mô men lực làm vật quay theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ. sử dụng điều kiện cân bằng của vật rắn để lập phương trình.
Bài toán 1:m1 A
m2 B
O
 Một thanh thẳng AB đồng chất, tiết diện đều có rãnh dọc, khối lượng thanh m = 200g, dài l = 90cm.Tại A, B có đặt 2 hòn bi trên rãnh mà khối lượng lần lượt là m1 = 200g và m2 . Đặt thước (cùng 2 hòn bi ở A, B) trên mặt bàn nằm ngang
vuông góc với mép bàn sao cho phần OA nằm trên mặt bàn
có chiều dài l1 = 30cm, phần OB ở mép ngoài bàn.Khi đó
người ta thấy thước cân bằng nằm ngang (thanh chỉ tựa lên
điểm O ở mép bàn)
Tính khối lượng m2.
Cùng 1 lúc , đẩy nhẹ hòn bi m1 cho chuyển động đều trên rãnh với vận tốc v1 = 10cm/s về phía O và đẩy nhẹ hòn bi m2 cho chuyển động đều với vận tốc v2 dọc trên rãnh về phía O.Tìm v2 để cho thước vẫn cân bằng nằm ngang như trên.
Giải:
a/ Trọng tâm của thanh là I ở chính giữa thanh. Nên cách điểm O là 0,15 m
Mô men do trọng lượng của bi m1: m1.OA
Mô men do trọng lượng thanh gây ra: m.OI
Mô men do bi m2 gây ra là: m2OB 
Để thanh đứng cân bằng: m1OA = m.OI + m2.OB
Thay các giá trị ta tìm được m2 = 50 g.
b/ Xét thời điểm t kể từ lúc hai viên bi bắt đầu chuyển động.
Cánh tay đòn của bi 1: (OA – V1t) nên mô men tương ứng là: m1(OA – v1t)
Cánh tay đòn của viên bi 2: (OB – v2t) nên mô men là: m2(OB – V2t)
Thước không thay đổi vị trí nên mô men do trọng lượng của nó gây ra là OI.m
Để thước cân bằng: m1(OA – v1t) = m2(OB – V2t) + OI.m
Thay các giá trị đã cho vào ta tìm được v2 = 4v1 = 40cm/s
Bài toán 2: Một thanh dài l = 1m có trọng lượng P = 15N, một đầu được gắn vào trần nhà nhờ một bản lề.Thanh được giữ nằm nghiêng nhờ một sợi dây thẳng đứng buộc ở dầu tự do của thanh. Hãy tìm lực căng F của dây nếu trọng tâm của thanh cách bản lề một đoạn bằng d = 0,4m.
A
O
I
G
B
Giải: Mô men gây ra do trọng lượng của thanh tại trọng tâm của nó: P.OI
Mô men do lực căng sợi dây gây ra: F.OA
Vì thanh cân bằng nên: P.OI = F.OA
Hay: F/P = OI/OA = OG/OB = 0,4 hay F = 0,4 P = 0,4.15 = 6N
Bài toán 3:
Một thanh mảnh, đồng chất, phân bố đều khối lượng có thể quay quanh trục O ở phía trên. Phần dưới của thanh nhúng trong nước, khi cân bằng thanh nằm nghiêng như hình vẽ, một nửa chiều dài nằm trong nước. Hãy xác định khối lượng riêng của chất làm thanh đó.
O
Giải: 
Khi thanh cân bằng, các lực tác dụng lên thanh gồm: Trọng lực P tập trung ở điểm giữa của thanh (trọng tâm của thanh) và lực đẩy Acsimet FA tập trung ở trọng tâm phần thanh nằm trong nước (hình bên).
Gọi l là chiều dài của thanh.
Mô men do lực ác si mét gây ra:FAd1
Mô men do trọng lượng của thanh gây ra: Pd2
 Ta có phương trình cân bằng lực:
 (1)
Gọi Dn và D là khối lượng riêng của nước và chất làm thanh. M là khối lượng của thanh, S là tiết diện ngang của thanh
Lực đẩy Acsimet: FA = S..Dn.10 	(2)
Trọng lượng của thanh: 
P = 10.m = 10.l.S.D (3)
 FA d1
 P d2
Thay (2), (3) vào (1) suy ra: S.l.Dn.10 = 2.10.l.S.D
Þ Khối lượng riêng của chất làm thanh: 
 D = Dn
Bài toán 4: Một hình trụ khối lượng M đặt trên đường ray, 
đường này nghiêng một góc α so với mặt phẳng nằm ngang.
 Một trọng vật m buộc vào đầu một sợi dây quấn quanh hình 
trụ phải có khối lượng nhỏ nhất là bao nhiêu để hình trụ lăn 
lên trên? Vật chỉ lăn không trượt, bỏ qua mọi ma sát. 
Giải: Giải: Gọi R là bán kính khối trụ. PM là trọng lượng khối trụ
T là sức căng sợi dây. Ta có:
PM = 10M. Và T = 10m
Khối trụ quay quanh điểm I là điểm tiếp xúc giữa 
khối trụ và đường ray. Từ hình vẽ HI là cánh tay 
đòn của lực PM và IK là cánh tay đòn của lực T . Ta có:
 HI = Rsinα và IK = R - IH = R(1 - sinα)
Điều kiện để khối trụ lăn lên trên là T.IK ≥PM.IH 
 Hay 10m.IK ≥ 10M. IH hay m ≥ M 
 Thay các biểu thức của IH và IK vào ta được: 
 m ≥ M Khối lượng nhỏ nhất của vật m để khối trụ lăn đều lên trên là:
 m = M 
Bài toán 5: l2 l1
 Một thanh đồng chất tiết diện đều, đặt trên 
thành của bình đựng nước, ở đầu thanh có buộc một quả cầu 
đồng chất bán kính R, sao cho quả cầu ngập hoàn toàn trong nước. 
Hệ thống này cân bằng như hình vẽ.
Biết trọng lượng riêng của quả cầu và nước lần lượt là d và do,
Tỉ số l1:l2 = a:b. Tính trọng lượng của thanh đồng chất nói trên. 
 Có thể sảy ra trường hợp l1>l2 được không? Giải thích? 
Giải: Gọi chiều dài của thanh là L và trọng tâm của thanh là O. Thanh quay tại điểm tiếp xúc N của nó với thành cốc. Vì thành đồng chất, tiết diện đều nên trọng tâm của thanh là trung điểm của thanh.
 Vì l1:l2 = a:b nên l2 = b và l1 = a 
Gọi trọng lượng của thanh đồng chất là P0 thì cánh tay đòn của P0 là l2 - = L 
Mô Men của nó là M1 = L .P0
Trọng lượng quả cầu là P = dV , Lực ác si mét tác dụng lên quả cầu là FA = d0V
Lực tác dụng lên đầu bên phải của thanh là F = P - FA = (d - d0)V
lực này có cánh tay đòn là l1 và mô men của nó là M2 = a (d - d0)V
Vì thanh cân bằng nên: M1 = M2 Þ L .P0 = a (d - d0)V
 Từ đó tìm được P0 = Thay V = pR3 ta được trọng lượng của thanh đồng chất
Trong trường hợp l1>l2 thì trọng tâm của thanh ở về phía l1. trọng lượng của thanh tạo ra mô men quay theo chiều kim đồng hồ. Để thanh cân bằng thì hợp lực của quả cầu và lực đẩy ác si mét phải tạo mô men quay ngược chiều kim đồng hồ. khi đó FA> P
Vậy trường hợp này có thể sảy ra khi độ lớn của lực đẩy ác si mét lên quả cầu lớn hơn trọng lượng của nó. 
II/ Các bài toán về máy cơ đơn giản:
Phương pháp: + Xác định các lực tác dụng lên các phần của vật.
Sử dụng điều kiện cân bằng của một vật để lập các phương trình
Chú ý: 
 + Nếu vật là vật rắn thì trọng lực tác dụng lên vật có điểm đặt tại khối tâm của vật.
O
I
B
R/
F
R
P
 + Vật ở dạng thanh có tiết diện đều và khối lượng được phân bố đều trên vật, thì trọng tâm của vật là trung điểm của thanh. Nếu vật có hình dạng tam giác có khối lượng được phân bố đều trên vật thì khối tâm chính là trọng tâm hình học của vật
 + Khi vật cân bằng thì trục quay sẽ đi qua khối tâm của vật
Bài toán 1: Tấm ván OB có khối lượng không đáng kể, đầu O đặt trên 1 dao cứng tại O, đầu B được treo bằng 1 sợi dây vắt qua ròng rọc cố định R (ván quay được quanh O).Một người có khối lượng 60kg đứng trên tấm ván
Lúc đầu, người đó đứng tại điểm A sao cho OA = 2/3 OB (Hình 1)
Tiếp theo thay ròng rọc cố định R bằng 1 palăng gồm 1 ròng rọc cố định R và 1 ròng rọc
động R/ đồng thời di chuyển vị trí đứng của người đó về điểm I sao cho OI = 1/2 OB (Hình 2)
Sau cùng palăng ở câu b được mắc theo cách khác nhưng vẫn có OI = 1/2 OB (Hình 3)
Hỏi trong mỗi trường hợp a), b), c) người đó phải tác dụng vào dây 1 lực F bằng bao nhiêu để tấm ván nằm ngang thăng bằng?Tính lực F/ do ván tác dụng vào điểm tựa O trong mỗi trường hợp (bỏ qua ma sát ở các ròng rọc và trọng lượng của dây, của ròng rọc)
F
F
R
R/
B
I
O
P
R
F
B
A
O
P
 Hình 1 Hình 2 Hình 3
Giải: 
Ta có : (P - F).OA = F.OB suy ra : F = 240N
 Lực kéo do tấm ván tác dụng vào O: F/ = P - F - F = 120N
Ta có FB = 2F và (P - F).OI = FB.OB suy ra : F = 120N
 Lực kéo do tấm ván tác dụng vào O: F/ = P - F - 2F = 240N
Ta có FB = 3F và (P + F).OI = FB.OB suy ra : F = 120N
 Lực kéo do tấm ván tác dụng vào O: F/ = P + F - 3F = 360N
Bài toán 2: Một người có trọng lượng P1 đứng trên tấm 
ván có trọng lượng P2 để kéo đầu một sợi dây vắt qua hệ 
ròng rọc ( như hình vẽ). Độ dài tấm ván giữa hai điểm 
treo dây là l. bỏ qua trọng lượng của ròng rọc, sợi dây
 và mọi ma sát.
Người đó phải kéo dây với một lực là bao 
nhiêu và người đó đứng trên vị trí nào của tấm ván 
để duy trì tấm ván ở trạng thái nằm ngang?
Tính trọng lượng lớn nhất của tấm ván để người
 đó còn đè lên tấm ván.
Giải:
 a/ Gọi T1 là lực căng dây qua ròng rọc cố định.
 T2 là lực căng dây qua ròng rọc động, Q là áp lực của 
người lên tấm ván. Ta có: Q = P1 - T2 và T1 = 2T2 (1)
Để hệ cân bằng thì trọng lượng của người và ván cân 
bằng với lực căng sợi dây. Vậy: T1 + 2T2 = P1 + P2 
 Từ (1) ta có: 2T2 + 2T2 = P1 + P2 hay T2 = 
Vậy để duy trì trạng thái cân bằng thì người phải tác dụng một lực lên dây có độ lớn là
 F = T2 = 
Gọi B là vị trí của người khi hệ cân bằng, khoảng cách từ B đến đầu A của tấm ván là l0. Chọn A làm điểm tựa. để tấm ván cân bằng theo phương ngang thì 
 T2l0 + T2l = P1l0 + Þ (T2 - 0,5P2)l = (P1 - T2)l0 
 Vậy: l0 = Thay giá trị T2 ở trên và tính toán được: l0 = 
Vậy vị trí của người để duy trì ván ở trạng thái nằm ngang là cách đầu A một khoảng
 l0 = 
 b/ Để người đó còn đè lên tấm ván thì Q ³ 0 Þ P1 - T2 ³ 0 Þ P1 - ³ 0
 hay: 3P1 ³ P2
Vậy trọng lượng lớn nhất của ván để người đó còn đè lên tấm ván là: P2max = 3P1
O
B
C
A
H
G
P
P0
I
O
H
B
D
C
A
I
G
K
Bài toán 3: Một miếng gỗ mỏng, đồng chất hình tam giác 
vuông có chiều dài 2 cạnh góc vuông : AB = 27cm, AC = 36cm
và khối lượng m0 = 0,81kg; đỉnh A của miếng gỗ được treo bằng
một dây mảnh, nhẹ vào điểm cố định 0.
Hỏi phải treo một vật khối lượng m nhỏ nhất bằng bao nhiêu
tại điểm nào trên cạnh huyển BC để khi cân bằng cạnh huyền BC
nằm ngang?
Bây giờ lấy vật ra khỏi điểm treo(ở câu a)Tính góc hợp bởi
cạnh huyền BC với phương ngang khi miếng gỗ cân bằng
Giải: 
Để hệ cân bằng ta có :P.HB = P0.HK hay m.HB = m0.HK 
+Mà HB = AB2/BC = 272/45 = 16,2cm
+HK = 2/3.HI = 2/3.(BI - BH) = 2/3(45/2 - 16,2) = 4,2cm
+m = 4,2/16,2 . 0,81 = 0,21kg
Vậy để cạnh huyền BC nằm ngang thì vật m phải đặt tại B
và có độ lớn là 0,21kg
Khi bỏ vật, miếng gỗ cân bằng thì trung tuyến AI có 
phương thẳng đứng
+Ta có : Sin BIA/2 = = 27/45 = 0,6 Suy ra BIA = 73,740
+Do BD//AI Suy ra DBC = BIA = 73,740
+Góc nghiêng của cạnh huyền BC so với phương ngang
a = 900 - DBC = 900 - 73,740 = 16,260
III/ Các bài toán về sự kết hợp giữa máy cơ đơn giản và lực đẩ