Củng cố và ôn luyện Đại số Lớp 8 - Tập 2

 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
 CHUYÊN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ
 CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm phương trình một ẩn
- Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng:
 A(x) = B(x)
trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x.
- Ví dụ:
 1
+ Phương trình 3x2 2 5x là phương trình ẩn x.
 x
 5
+ Phương trình 3 t2 t t là phương trình ẩn t.
 t
2. Các khái niệm khác liên quan
- Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu đẳng thức 
 A x0 B x0 đúng.
- Giải phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Hai phương trình cùng vô nghiệm tương đương nhau.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xét xem một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay không?
Phương pháp giải: Để xem số thực x0 có là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) hay 
không, ta thay x0 vào phương trình để kiểm tra:
- Nếu A x0 B x0 đúng, ta nói x0 là nghiệm của phương trình đã cho.
- Nếu A x0 B x0 không đúng, ta nói x0 không là nghiệm của phương trình đã cho.
1A. Hãy xét xem số 1 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không?
 2
a) 2x2 3x 1 3x3 ; b) 5t2 8t 1 2 t3 3t 6. 
 x 
1B. Trong các giá trị y = 0 và y = 1, đâu là nghiệm của phương trình 
 5
2 y2 3y 5 2 3y 1 ?
 2y 1
 3
2A. Cho phương trình 2 x m 2. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 
 x
nghiệm x = 4.
 3
2B. Tìm a để phương trình 2 3t2 4 a 2t2 1 nhận t = 2 là nghiệm với a là 
 2t 1
tham số.
Dạng 2. Giải một số phương trình cơ bản đã biết
Phương pháp giải: Ta thường sử dụng một số biến đổi quen thuộc sau đây:
Loại 1: Phương trình dạng A B 
 B 0
Cách giải 1: Ta có A B 
 A B
Cách giải 2: Xét hai trường hợp:
 GV: Tr­êng THCS 1 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
Trường hợp 1: Với A 0, ta có A B .
Trường hợp 2: Với A 0 , ta có A B .
Loại 2: Phương trình dạng A B 
 A B
Cách giải: Ta có A B 
 A B
Loại 3: Phương trình dạng AB 0 
 A 0
Cách giải: Ta có AB 0 
 B 0
3A. Giải các phương trình:
a) x 2 3; b) 3 x 2 ;
 1 3
c) 5 x 2x 3; d) x x .
 2 2
3B. Giải các phương trình:
a) 3 x 2 0; b) x 2 1 0 ;
 3
c) 1 2x 3x 1; d) x 1 x .
 2
4A. Giải các phương trình:
 1 2
a) x x 2 0; b) x 1 2x 5 0 ; 
 3 
c) x2 2x 3 9 2x 3 0; d) 2x2 3x 1 0.
4B. Giải các phương trình:
 3
a) 3x 2 4x 0 ; b) x2 4 x 7 12 x 7 0 ;
 4 
c) 4 4 x x x2 16 0; d) x2 6x 7 0.
Dạng 3. Xét sự tương đương của hai phương trình
Phương pháp giải: Thông thường ta thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1: Tìm các tập nghiệm S1,S2 lần lượt của hai phương trình đã cho.
Bước 2: Nếu S1 S2 , ta kết luận hai phương trình tương đương; nếu S1 S2 , ta kết luận 
hai phương trình không tương đương.
5A. Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?
a) x 2 3x 1 0 và 9x2 x 2 x 2 0; 
b) 3x2 2 0 và 2x 1 1.
5B. Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?
a) x2 6x 9 0 và x2 1 2x 6 0 
b) x2 1 2x 1 0 và 2x4 1 0 
6A. Cho hai phương trình: 2x2 5x 3 0 (1)
 GV: Tr­êng THCS 2 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
 2 
 và 3 x 1 x 2 2x (2)
 3 
 3
a) Chứng minh x là nghiệm chung của (1) và (2).
 2
b) Chứng minh x 5 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
6B. Cho hai phương trình: 2x2 3x 5 0 (1)
 2 
 và x 1 x 1 5 2x (2)
 5 
 5
a) Chứng minh x là nghiệm chung của (1) và (2).
 2
b) Chứng minh x 1 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
7A. Cho các phương trình ẩn x, tham số m:
 mx2 m 1 x 1 0 và x 1 2x 1 0 .
Tìm m để hai phương trình tương đương.
7B. Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x2 16 và 2m2 x 3 m 6 
tương đương.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
8. Trong các số 1 và 1, số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của phương trình 
 x 5 x 9 5x 3
 2 x2 1 1? 
 6 4 8
 6 y
9. Cho phương trình 2 y2 3y 7 m 2y2 . Tìm giá trị của tham số m để 
 3
phương trình nhận y 3 là nghiệm.
10. Giải các phương trình sau:
 1 
a) x 1 3x 5 ; b) x 1 x 3 0 ;
 2 
c) 3x2 4x 7 0; d) 7 x 1 2x 1 2x 1 x2 1 0 .
11. Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?
a) x 2 4 x x 2 và x2 5x 6 0 ;
 2 2
b) x 3 và x – 3 = 0.
 x 3 x 3
12. Cho hai phương trình: 5x2 3x 8 0 (1)
 và x2 8x 7 0 (2)
a) Chứng minh x 1 là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).
 8
b) Chứng minh x là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
 5
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
13*. Cho các phương trình:
 GV: Tr­êng THCS 3 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
 m 4 x2 2 2m 9 x 4 0 và x 3 2x 1 0.
Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương.
14*. Cho phương trình m2 m 6 x2 m 2 m 3 trong đó m là tham số.
a) Chứng minh:
 i) Khi m = 2 phương trình có tập nghiệm là ¡ ; 
 ii) Khi m 3 phương trình có tập nghiệm là  .
b) Giải phương trình đã cho khi m = 5.
 HƯỚNG DẪN
1A. a) Thay x = -1 vào VT và VP của PT ta được VT = -2 và VP = 1. Vì VT ≠ VP nên x = 
-1 không là nghiệm của PT đã cho.
b) Tương tự, vì VT = VP = -2 nên t = -1 là nghiệm của PT đã cho.
1B. Tương tự 1A.
y = 0 không là nghiệm và y = 1 là nghiệm của PT đã cho.
 3
2A. Thay x = 4 vào phương trình ta có: 2 4 m 2 
 4
 21
Từ đó tìm được m 
 4
2B. Tương tự 2A. Tìm được a = 14
 x 2 3
3A.a) Ta có x 2 3 . Từ đó tìm được x -1; 5.
 x 2 3
b) Vì  3 + x = -2 và -2 < 0 nên PT vô nghiệm.
 3
c) Cách 1. Điều kiện 2x - 3 0 hay x 
 2
Khi đó e x 2x 3 5 x (2x 3) 
 8
Giải ra ta được x (TMĐK) hoặc x = -2 (không TMĐK)
 3
Cách 2. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu 5 - x 0 hay x ≤ 5 khi đó 5 - x = 2x - 3.
 8
Giải ra x thỏa mãn x ≤ 5.
 3
Trường hợp 2. Nếu 5 - x ≤ 0 hay x 5.
 1 3 1 3 1 3
d) Ta có x x x x hoặc x x 
 2 2 2 2 2 2
 1
Giải ra tìm được x 
 2
3B. Tương tưj 3A
 GV: Tr­êng THCS 4 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
 1
 a) x 5;1 b) x  c) x 0 . d) x 
 4
 1 1
4A. a) Ta có x x 2 0 x 0 hoặc x - 2 = 0.
 3 3
 1 
Giải ra tìm được x ;2 
 3 
 5
b) Ta có x2 1 2x 5 0 2x 5 0 x 
 2
c) Ta có x2 2x 3 9 2x 3 0 x2 9 2x 3 0 
 3 
Giải ra tìm được x 3; ;3 
 2 
d) Biến đổi về dạng (x - 1) (2x - 1) = 0
 1 
Giải ra tìm được x ;1
 2 
4B. Tương tự 4A.
 1 1 
 a) x ;  b) x 7; 4;4 
 2 4
 c) x 2;4 d) x 7;1
 1 
5A. PT x 2 3x 1 0 có tập nghiệm là S1 ;2 
 3 
 2 1 
 PT 9x x 2 x 2 0 có tập nghiệm là S2 ;2 
 3 
Vì S1 S2 nên hai PT trên không tương đương 
 2
b) PT 3x 2 0 và PT 2x 1 1 có cùng tập nghiệm là S1  
Suy ra hai PT tương đương với nhau
5B. tương tự 5A
 a) Tương đương b) Không tương đương
 3 3
6A. a) Thay x vào (1) và (2) thấy thỏa mãn nên x là nghiệm chung của cả hai PT 
 2 2
đã cho.
b) Thay x = -5 vào (2) thấy thỏa mãn nên x = -5 là nghiệm của (2). Thay x = -5 vào (1) 
thấy không thỏa mãn nên x = -5 không là nghiệm của (1).
 3 3
c) Cách 1. Tìm được tập nghiệm của (1) và (2) lần lượt là S1 1;  và S2 5; 
 2 2
Vì S1 S2 Hai phương trình không tương đương nhau.
 GV: Tr­êng THCS 5 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
Cách 2. Theo ý b, x = -5 là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1) nên hai PT 
không có cùng tập nghiệm.
6B. Tương tự 6A.
 a) b) HS tự làm.
 c) Hai phương trình đã cho không tương đương.
 1 
7A. PT (x - 1) (2x - 1) = 0 có tập nghiệm là S ;1 
 2 
 1
* Điều kiện cần: Để hai PT tương đương thì x = 1 và x cũng là nghiệm của 
 2
PT mx2 (m 1)x 1 0 
Từ đó tìm được m = 2
* Điều kiện đủ: Thử lại thấy m = 2 thì hai PT đã cho tương đương.
7B. Tương tự 7A. Tìm được m  
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
8. Tương tự 1A.x = 1 không là nghiệm của phương trình.
9. Tương tự 2A. Tìm được m = 25
10. Tương tự 3A. Tìm được
 3  7  1 
a) x ;2 b) x 3 c) x 1;  d) x 8; ;1
 2  3 2 
11. Tương tự 5A.
 a) Tương đương b) Không tương đương.
12. Tương tự 6A.
 Hai phương trình không tương đương.
13. Tương tự 7A. m 
14. a) i) Khi m = 2, PT có dạng õ2 = 0. Từ đó S ¡ 
ii) Khi m = -3, PT có dạng có: 0x2 = 30. Từ đó S  
 1 1 
b) Thay m = 5 vào PT tìm được S ;  
 2 2
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
 GV: Tr­êng THCS 6 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
 CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm 
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:
 ax b 0
trong đó a, b là hai số đã cho và a 0 .
2. Các quy tắc cơ bản
a) Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển vế một hạng tử từ một vế của phương trình sang vế còn lại, ta phải đổi dấu 
hạng tử đó:
 A(x) B(x) C(x) A(x) C(x) B(x) .
b) Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số khác 0:
Khi nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với một số khác 0 ta được phương trình mới 
tương đương với phương trình đã cho:
 A(x) B(x) C(x) mA(x) mB(x) mC(x)
 A(x) B(x) C(x)
 A(x) B(x) C(x) m 0 
 m m m
3. Cách giải phương trình bậc nhất
Ta có:
ax b 0 ax b (sử dụng quy tắc chuyển vế)
 b
 x (sử dụng quy tắc chia cho a 0 )
 a
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn
Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn.
1A. Hãy xét xem các phương trình sau có là phương trình bậc nhất một ẩn hay không? Nếu 
có hãy chỉ ra hệ số a và b.
a) 3x 4 0 b) 0x 3 0 
 1 x2
c) x 0 d) 7 0 
 2 3
1B. Trong các phương trình sau đâu là phương trình bậc nhất một ẩn? Vì sao?
 2x 1
a) 9 x 1 0 b) 0 
 3 5
 1 2
c) 7 0 d) 3x 0 
 5x 3
2A. Tìm m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất ẩn x:
a) m2 4 x 2 m 0 b) m 1 x2 6x 8 0 
 m 3 x 5
c) x 2m m 3 m 0 d) 0 
 m 1
2B. Tìm k để các phương trình sau là phương trình bậc nhất ẩn x:
a) 2k 3 x 6 0 b) k2 3 x 7 0 
 5k 3 k 3kx 5
c) x 0 d) 0 
 2 2 k 2
 GV: Tr­êng THCS 7 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
3A. Chứng minh các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của 
tham số m:
a) m2 1 x 3 0 ; b) m2 2m 3 x m 1 0.
3B. Chứng minh các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của 
tham số m:
 m2 1 m
a) x 0 b) 2m 1 2 x m 1 0.
 3 5
Dạng 2. Giải phương trình
Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế hoặc nhân (chia) với một số khác 0 để giải 
các phương trình đã cho.
4A. Giải các phương trình sau: 
a) 7 x 2x 3; b) 2 3x 1 x 1;
 2 1 1
c) x 2; d) x 8x 16 0. 
 5 10 2
 4B. Giải các phương trình sau: 
 1 1 1
a) x 5 x 3; b) 2x 3 x ;
 2 3 12
 10x 1 2x 1 1 5 
c) 11 0 ; d) x 0.
 2 5 3 4 
5A. Giải các phương trình sau: 
 m2 7
a) 1 3 x 0 khi m 5 ;
 4 2
b) m2 5m 6 x 1 2m khi m 2 . 
5B. Giải các phương trình sau: 
 3m 1
a) khi ;
 3 x 2 0 m 
 m 1 2
 2
b) m2 10m 25 x m khi m 3 . 
 5
 2 3 
6A. Cho biểu thức A t m 5 t m 5 t t m với m là tham số.
 2 
a) Rút gọn A. b) Khi m 1, tìm t để A = 0.
6B. Cho biểu thức B my3 my2 y 4 m 4y 1 y m với m là tham số.
a) Rút gọn B. b) Khi m 3, tìm y để B = 0.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Trong các phương trình sau đâu là phương trình bậc nhất? Chỉ rõ a và b.
 x2 3x
a) 0 ; b) x 3 x 5 x2 0 ;
 x
 3
 x 
c) 2x 3 0 ; d) 2 0 .
 2
 GV: Tr­êng THCS 8 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
8. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất:
 3
a) 4m2 4m 1 x 5 0; b) m x 7 0 ; 
 2
 m2 m 1 mx 1
c) x 2m 1 0 ; d) 0 .
 4 4 16 2m 2
9. Giải các phương trình sau:
a) x x 3 2 x 3 0 ; b) x 2x 1 x2 x 2 x3 x 3 0 
10. Giải các phương trình sau:
 2 1 2 5x 7 2 3x 2x 9
a) x ; b) 4; 
 5 4 5 4 7 2
 11x 2 x x 2 3 x 9
c) 1; d) x x 1 5. 
 3 2 3 4 6
 1 2 1 1
11. Cho biểu thức P y 6m 3 1 2m y y y m với m là tham số.
 3 2 2
 1
a) Rút gọn P. b) Tìm y để P = 0 khi m . 
 2
12. Giải các phương trình sau:
a) 16 8m m2 x 2 m2 11 0 khi m = 5.
b) x m2 2m2 1 m 2m x 1 khi m = 1.
13*. Cho phương trình m2 1 x 2m 0 (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình là bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để nghiệm của phương trình:
 i) Đạt giá trị lớn nhất;
 ii) Đạt giá trị nhỏ nhất.
14*. Cho phương trình m2 m 1 x m2 m 1 0
a) Chứng minh phương trình là bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m.
b) Tìm m để nghiệm của phương trình:
 i) Đạt giá trị lớn nhất;
 ii) Đạt giá trị nhỏ nhất.
 HƯỚNG DẪN
1A. a), c) là PT bậc nhất một ẩn
1B. Tương tự 1A
b), d) là PT bậc nhất một ẩn
2A. a) ĐK m2 4 0 . Tìm được m 2 
b) ĐK m 1 0 . Tìm được m 1 
c) ĐK 2m m 3 0. Tìm được m 3.
 m 3 5
d) Biến đổi được x 0 
 m 1 m 1
 m 3 0 m 3
ĐK . Tìm được 
 m 1 0 m 1
 GV: Tr­êng THCS 9 Tµi liÖu cñng cè vµ «n luyÖn ®¹i 8- tËp 2
2B. Tương tự 2A
 3
a) Tìm được k b) Tìm được k ¡ 
 2
 3 k 0
c) Tìm được k b) Tìm được 
 5 k 2
3A. a) ta có a m2 1 0m ¡ ĐPCM.
 2
b) Biến đổi được a m 1 2 0 m ¡ ĐPCM.
3B. Tương tự 3A
 m2 1
a) Ta có a 0 m ¡ ĐPCM.
 3
b) Ta có a 2m 1 2 0 m ¡ ĐPCM.
4A. a) Biến đổi về x + 4 = 0. Tìm được x = -4
 1
b) Biến đổi về 5x + 1 = 0. Tìm được x 
 5
 2 21 21
c) Biến đổi về x 0 . Tìm được x 
 5 10 4
 A 0 1 
d) Nhận xét A.B 0 . Tìm được x 2;  
 B 0 2
4B. Tương tự 4A
 17
 a) Tìm được x = -1. b) Tìm được x 
 16
 21 1 15 
 c) Tìm được x d) Tìm được x ; 
 10 2 4 
 3 7 7
5A. a) Với m 5 , PT trở thành x 0 x 
 2 2 3
 5
b) Với m 2 , PT trở thành 12x 5 x 
 12
5B. Tương tự 5A
 17
 a) Tìm được x 1 b) Tìm được x 
 20
6A. a) Rút gọn ta được B 4m2 m y m2 
 3
b) Với m 3 thì B 33y 9 . Tìm được y 
 11
7. Tương tự 1A.
a), c) Không là PT bậc nhất một ẩn
b) Biến đổi được 2x 15 0 
là PT bậc nhất một ẩn vứi a 2 và b 15 
 GV: Tr­êng THCS 10