Đề cương ôn tập học kì I Toán Lớp 8

 Toán lớp 8 
 1 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I TOÁN 8 
PHẦN 1: LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG 
Đại số: 
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ, qui tắc nhân đơn thức, đa thức, các phương 
pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 
- Vận dụng làm được các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử, tìm x,... 
- Vận dụng các qui tắc chia đa thức cho đa thức để làm các bài toán chia hết. 
- Các phép tính cộng, trừ, nhân chia các phân thức đại số để vận dụng giải các 
bài tập rút gọn biểu thức và các bài tập chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu 
thức 
Hình học: 
- Các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các hình thang, hình bình hành, 
hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông để vận dụng làm các bài tập chứng minh, 
tìm điều kiện 
- Vận dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác, hình vuông 
để tính được diện tích các hình tứ giác đã học. 
PHẦN 2: BÀI TẬP 
I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Khoanh tròn vào đáp án trước câu trả lời đúng từ câu 1 đến câu 20: 
Câu 1. Đa thức 212 36x x bằng: 
A) 2( 6)x B) 2( 6)x C) 2( 6)x D) 2( 6)x 
Câu 2. Kết quả phép cộng 
3 1 2
3 3 3 3
x
x x
 là: 
A) 
3 1
3 3
x
x
 B) 
1
3
x
x
 C) 1 D) 
3 5
3(3 3)
x
x
Câu 3. Kết quả rút gọn biểu thức sau là: 
2 2 2 2( 2 )( 2 4 ) ( 2 )( 2 4 )x y x xy y x y x xy y 
A) 316y B) 34y C) 316y D) 312y 
Câu 4. Số dư khi chia đa thức 4 3 23 2 2 2x x x x cho đa thức 2 x là: 
A) 50 B) 34 C) 32 D) 30 
 Toán lớp 8 
 2 
Câu 5. Tập các giá trị của x để 22 3x x là: 
A) 0 B) 3
2
 
 
 
 C)
2
3
 
 
 
 D) 
3
0;
2
 
 
 
Câu 6. Kết quả rút gọn phân thức 
2
2
4 4
3 12
x x
x
 là: 
A) 
2
3
x 
 B) 
2
3( 2)
x
x
 C)
2
3
x 
 D) 
2
3
x 
Câu 7. Giá trị của biểu thức: 3 23 3 1x x x tại 101x bằng: 
A) 10000 B)1001 C) 1000000 D) 300 
Câu 8. Giá trị của phân thức 
 2
2
1x x
x x
 bằng 0 khi: 
A) 0, 1x x B) 0x C) 1x D) 1x 
Câu 9. Cho 5a b và 2ab thì giá trị của biểu thức 2 2a b là: 
A) -21 B) 25 C)29 D)Kết quả khác. 
Câu 10. Hình vuông có độ dài đường chéo là 6cm. Độ dài cạnh hình vuông đó 
là: 
A) 18cm B) 18cm C) 3cm D) 4cm 
Câu 11. Một hình chữ nhật có diện tích 215m . Nếu tăng chiều dài lên hai lần, 
chiều rộng lên ba lần thì diện tích của hình chữ nhật mới là: 
A) 230m B) 245m C) 290m D) 275m 
Câu 12. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có  135oA thì góc C bằng: 
A) 35o B) 45o C) 55o D) Đáp án khác. 
Câu 13. Tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của một tứ giác có hai 
đường chéo bằng nhau là: 
A) Hình thang cân B) Hình chữ nhật C) Hình thoi D) Hình vuông 
Câu 14. Trục đối xứng của hình thang cân là: 
A) Đường chéo của hình thang cân 
B) Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh bên của hình thang cân. 
C) Đường thẳng vuông góc với hai đáy của hình thang cân 
D) Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân. 
Câu 15. Một tứ giác là hình thoi nếu: 
 A) Hai cạnh kề bằng nhau B) Hai đường chéo bằng nhau 
 Toán lớp 8 
 3 
 C) Hai đường chéo vuông góc với nhau D) Kết quả khác 
Câu 16. Tứ giác nào có hai đường chéo là các đường phân giác của các góc. 
A) Hình vuông B) Hình thoi 
C) Cả A và B đều đúng D) Cả A, B và C đều sai. 
Câu 17. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông và cạnh huyền lần lượt là 3cm, 
5cm thì đường cao ứng với cạnh huyền là: 
A) 2cm B) 2,4cm 
C) 2,5cm D)Kết quả khác. 
Câu 18. Một hình thoi là hình vuông nếu có thêm dấu hiệu: 
A) Có một góc vuông B) Các góc đối bằng nhau 
 C) Hai đường chéo vuông góc D) Kết quả khác 
Câu 19. Một hình bình hành là hình chữ nhật nếu có thêm dấu hiệu 
A) Hai cạnh bên song song B) Hai đường chéo bằng nhau 
 C) Hai góc ở đáy bằng nhau D) Kết quả khác 
Câu 20. Một hình chữ nhật là hình vuông nếu có thêm dấu hiệu 
A) Có một góc vuông B) Các góc đối bằng nhau 
 C) Hai đường chéo vuông góc D) Kết quả khác 
Câu 21. Các câu sau đúng hay sai: 
a) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông 
b) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O khi điểm O cách đều hai 
đầu đoạn thẳng nối hai điểm đó. 
c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi 
d) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành 
e) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật 
f) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 
g) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. 
II BÀI TẬP TỰ LUẬN 
A.ĐẠI SỐ 
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 22 (x 3) (x 3)x 
b) 20 ( 2 ) 50 (2 )xy x y x y x 
c) 3 2 3 3x x x 
d) 27 7 4 4x xy x y 
e) 3 2 23 3 6 6x x y xy x 
f) 3 3 3 2 2 2 1x y z x y z xyz 
 Toán lớp 8 
 4 
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 24 4 1x x 
b) 3 3
1
27
64
x y 
c) 2 26 9 9x x y 
d) 212 9 4x x 
e) 2 31 9 27 27x x x 
f) 
2
22 4 25
4
x
xy y 
Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 3 2 2 2x x x 
b) 2 2 2 2x y x y 
c) 22 2ax x a a 
d) 2 3 6xy z y xz 
e) 2 2 3 2x y yz y zx 
f) 2 2 26 25 9x xy z y 
Bài4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 
3 22x x x 
b) 2( 2) 16(2 )x x x 
c) 2 6 8x x 
d) 4 4x 
e) 2 2 25 10 5 20x xy y z 
f) 212 7 12x x 
Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 2 2 2( 4 ) 8( 4 ) 15x x x x 
b) 2 2 2( 2 ) 9 18 20x x x x 
c) ( 1)( 2)( 3)( 4) 24x x x x 
d) 2( 5) 2( 5) 1x y x y 
Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 2 2 1x y x y 
b) 2 2 2( ) 4(x ) 12x x x 
c) 2(6 5) (3 2)( 1) 6x x x 
Dạng 2: Tìm x 
Bài 7. Tìm x, biết: 
a) 23 0x x 
b) 2 ( 1) 2(x 1) 0x x 
c) 2( 1) 9(1 ) 0x x x 
d) 23 ( 1) 7 ( 1) 0x x x x 
e) 5 (3 1) (3 1) 2(3 1) 0x x x x x 
Bài 8. Tìm x, biết: 
a) 2( 3) ( 2) 13x x x 
b) 2 7 12 0x x 
c) 2( 4) 36 0x 
d) 2 2018 2019 0x x 
 Toán lớp 8 
 5 
Bài 9. Tìm x, biết: 
a) 2 2(2 1) ( 5)x x 
b) 2
1
4
x x 
c) 4 24 101 25 0x x 
d) 3 23 9 91 0x x x 
Bài 10. Tìm x, biết: 
a) 2( 2) ( 3) 5 20x x x x 
b) 3 25 10 5 0x x x 
c) 2 3 4 2 2( 1) ( 1)( 1) 0x x x x 
d) 3 3 2( 1) ( 1) 6( 1) 19x x x 
Bài 11. Tìm x, y, z sao cho : 
 a) 2 2 23 2 2 12 4 15 0x y z x y z 
 b) 2 2 22 4 4 6 2 9 0x y z x y z xz 
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a) A = x2 – 6x + 11 
b) B = x2 – 20x + 101 
c) C = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 
Bài13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
a) A =5x – x2 
b) B = x – x2 
c) C = 4x – x2 + 3 
Bài 14 Chứng minh rằng : 
 a) 2 22 1 0x xy y với mọi x 
 b) 2 2 1x y xy x y 
 c) 2 1 0x x với mọi số thực x 
Dạng 4: Rút gọn biểu thức: 
Bài 15. Thực hiện các phép tính: 
a) 
2
6 3
2 84 xx x
b) 
2
3 3
4 5 6 5
10 10
xy y
x y x y
c) 
2 1 2 1 4
:
2 1 2 1 10 5
x x x
x x x
d) 
3
2 2 2
1 1 1
.
1 1 2 1 1
x x
x x x x x
Bài 16. Rút gọn biểu thức : 
a) 2 2(2 1) (2 3) 2(2 1)(2 3)x x x x 
 Toán lớp 8 
 6 
b) 2(2 3)(2 3) ( 5) ( 1)( 2)x x x x x 
c) 2 2 2 2( 2 )( 2 4 ) ( )( )x y x xy y x y x xy y 
d) 3 2( 4 4) : ( 4)x x x x 
e) 2 2( ) ( ) 2( )( )x y x y x y x y 
f) 3 3 3( ) ( ) 2a b a b b 
Bài 17. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) 2 2 3 3
1 1
( 4 16 ) 4 4 1
4 16
A x y x xy y y x
b) 2 2 22 ( 4) ( 5)( 2)( 2) 2( 5) ( 1)B x x x x x x x 
c) 
380 125
3( 3) ( 3)(8 4 )
x x
C
x x x
d) 
2 2 2 2
(a b)(c d)
( )( )
D
b a d c
e) 
2 2
3 2 2 33 3
y x
H
x x y xy y
Bài 18. Làm tính chia: 
a) 3 2( 3 3):(x 3)x x x 
b) 3 2( 2 5 10):( 2)x x x x 
c) 4 2 3 2(2 5 3 3 ):( 3)x x x x x 
d) 5 2 4 3 3 2 3 2(15 25 30 ):5xx y x y x y y 
e) 3 2 2(2 5 2 3):(2 1)x x x x x 
Bài 19. 
a) Tìm n để đa thức 4 3 26x x x x n chia hết cho đa thức 2 5x x 
b) Tìm n để đa thức 3 23 10 5x x n chia hết cho đa thức 3 1x 
Bài 20. 
a) Tìm số a để đa thức 3 23 5x x x a chia hết cho đa thức x+3 
b) Tìm a, b sao cho: 3x ax b chia cho x+1 dư 6; chia cho x-3 dư 1 
Bài 21. Cho 4 3 2( ) 3P x x x x ax b và 2( ) 2 3Q x x x 
 Toán lớp 8 
 7 
Xác định a và b sao cho đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). 
Bài 22. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 
a) 2( 2) ( 1)( 1) 4( 2)x x x x 
b) 
2 2
2
:
x y x y xy
x y x y x y x y
c) 
2
2 2 2
( ) 5 3
.
( )
x y x x x y
x y xx y x y
Bài 23. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) 
2 2 2 2 2 2
:
x xy y x xy y y x
x y
x y x y x y x y
b) 
2 22 4(y 1) ( 1) ( 2) 1
:
1 2 1 2
x x y y x
x y y y y x
Bài 24. Cho biểu thức 
2 2 2
23 2 2. ( )
y yz z x yz xy xz
A x y z
x y z y z x y z
Trong đó x, y, z Z, x 0; y+z 0 và x +y +z 0 
Chứng minh rằng 3A 
Dạng 5: Bài toán tổng hợp về phân thức 
Bài 25. Cho biểu thức: 
2
2 5 1
3 26
x
A
x xx x
 (x 2; x -3) 
a) Rút gọn A 
b) Tìm x để 
3
4
A 
c) Tìm giá trị biểu thức A khi 2 9 0x 
Bài 26. Cho biểu thức: 
2
1 2
: 1
2 2 24
x x
C
x x xx
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức C có nghĩa. Rút gọn C 
b) Tính giá trị của C khi x=-4 
 Toán lớp 8 
 8 
Bài 27. Cho biểu thức: 
2
2
2 2 4 3
:
2 2 24
x x x x
D
x x xx
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức D có nghĩa. 
b) Rút gọn D 
c) Tìm x để D = 0 
d) Tính giá trị của D biết 2 1 5x 
Bài 28. Cho biểu thức: 
3 2
3 2
8 2 4 1
. :
2 28 4
x x x x
E
x xx x
 (x ±2) 
a) Rút gọn E 
b) Tìm x để E > 0 
c) Tìm giá trị nguyên của x để E nhận giá trị nguyên 
Bài 29. Cho biểu thức:
2
2
9 5 3
.
3 3 29
x x x
H
x x xx
(với x 3; x -3; x -2) 
a) Rút gọn H 
b) Tính giá trị của H khi x = -6 
c) Tìm các giá trị nguyên của x để H nhận giá trị nguyên 
d) Tìm x để H nhận giá trị âm. 
Bài 30. Cho biểu thức 
2 2 2
2 3 2
( 1) 2 4 1 1 4
:
1( 1) 3 1 3 6
x x x x
A
xx x x x x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A 
b) Tìm x nguyên sao cho A cũng nhận giá trị nguyên. 
Bài 31. Cho biểu thức: 
2
2
3 3 3 3
:
2 2 24
x x
A
x x xx
a) Rút gọn A 
b) Tính giá trị biểu thức A khi 2 4x 
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị là một số nguyên. 
Bài 32. Cho 
4 2
2 2
2 2 2 1
.
21 2 1
x x x x
A
x x x
 với x 1. 
 Toán lớp 8 
 9 
a) Rút gọn A 
b) Tính giá trị của A khi 2 3 2 0x x 
c) Tìm GTLN của A 
Bài 33. Cho biểu thức: 
5
4
x
M
x
 và 
2
2
5 6 2 2 50
2 5 2 10
x x x x
N
x x x x
 ( ĐK: 0; 5; 4x x x ) 
a) Tính giá trị của M khi 2 3 0x x 
b) Rút gọn N 
c) Tìm giá trị nguyên của x để P =M: N có giá trị nguyên. 
Bài 34. Cho biểu thức: 
2 3 3
2 2 5 4 4 5
:
x y x y
N
x yx y x x y xy y
a) Rút gọn N 
b) Tính giá trị của N biết
1
80
xy ; 
1
40
x y 
Bài 35. Cho biểu thức 
2 3 6 5
2 3 2 1 (2 3)(2 1)
m
P
m m m m
a) Tìm điều kiện xác định của P 
b) Rút gọn biểu thức P 
c) Tìm giá trị của m để P= -1 
Bài 36. Cho biểu thức 
2 2 5 50 5
2 10 2 (a 5)
a a a a
H
a a a
a) Tìm điều kiện xác định của H. 
b) Rút gọn biểu thức H . 
c) Tìm giá trị của a để H= 0; H = 


d) Tìm giá trị của a để H> 0; H< 0. 
Bài 37. Cho biểu thức 
1 2 2 10
5 5 (x 5)(x 5)
x
P
x x
. Với x 5, x -5 
a) Rút gọn biểu thức P 
b) Cho P= -3. Tính giá trị của biểu thức 29 42 49Q x x . 
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO. 
 Toán lớp 8 
 10 
Bài 38: Cho x >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 3
1
x
S
x
Bài 39: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2
2018
6 10
P
x x
Bài 40. Cho x+ y+ z = 0. Chứng minh rằng 3 3 3 3x y z xyz 
Bài 41: Cho x, y, z khác 0 và 0x y z , rút gọn biểu thức: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
A
y z x z x y x y z
Bài 42. Cho a+b =1, tính giá trị của biểu thức sau: 
3 3 2 2 2 23 ( ) 6 ( )M a b ab a b a b a b 
Bài 43. Tìm giá trị nguyên của x để 3 23 10 5n n x chia hết cho 3n +1 
Bài 44. Cho abc= 4036, chứng minh rằng : 
4036
1
4036 4036 4036 1
a b c
ab a bc b ac c
Bài 45. Cho các số x, y>0 thỏa mãn 2x +3y =13. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2Q x y 
Bài 46. Cho x; y là hai số thực khác 0 thỏa mãn: 
2
2
2
1
2 4
4
y
x
x
Tìm giá trị lớn nhất của A= 2018 +xy. 
Bài 47. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x +y = 1. Tìm GTNN và GTLN 
của biểu thức: 2 2(4 3 )(4 3 ) 25C x y y x xy 
Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 22 2 2 10 2035A x xy y x y 
Bài 49. Chứng minh rằng nếu x by cz ; y ax cz ; z ax by và 
0x y z thì 
1 1 1
2
1 1 1a b c
Bài 50. Cho đa thức 3 2( ) 2 3f x x x ax b . Tìm các hệ số a, b biết khi chia 
f(x) cho đa thức x-1 ta được đa thức dư là 15 và khi chia cho đa thức x+2 thì 
được đa thức dư -18. 
 Toán lớp 8 
 11 
Bài 51. Tính giá trị biểu thức: 
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 3 4 2018
A
Bài 52. Cho 3 3 3 3a b c abc và 0a b c . Tính giá trị biểu thức: 
2 2 2
2( )
a b c
N
a b c
C. HÌNH HỌC 
Bài53. Tứ giác ABCD có góc 
0120A ; 
0100B ; 
3C D . Tính số đo góc C, D? 
Bài 54. Cho hình thang ABCD (AB  CD), có E là trung điểm của AD, từ E kẻ 
đường thẳng song song với AB cắt BC tại F. 
a) Biết AB = 8 cm, EF = 10cm. Tính CD? 
b) Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I. Tính IE? 
Bài 55. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu 
của H trên AB, AC. 
 a) Chứng minh: AH = DE. 
 b) Chứng minh: ADE BHD 
 c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: DE  AM. 
Bài56. Cho hình thang ABCD (AB CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD 
và BC. Gọi Q là giao điểm của AC và MN, P là giao điểm của BD và MN. 
a) Chứng minh AQ = QC 
b) Chứng minh 
2
DC AB
PQ
c) Biết AB = 4cm, CD= 10cm. Tính độ dài MQ, QN, MN. 
Bài 57. Cho ΔABC (AB<AC) có đường cao AH. Gọi M, N, K lần lượt là trung 
điểm của AB, AC,BC. 
a) CMR tứ giác BCMN là hình thang 
b) Chứng minh tứ giác AMKN là hình bình hành 
c) Gọi D là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh ADBH là hình chữ 
nhật. 
d) Tìm điều kiện của ΔABC để tứ giác AMKN là hình vuông. 
Bài 58. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, các điểm I, K, E theo thứ tự 
là trung điểm của AC, AB, AM. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I. 
a) Chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi. 
 Toán lớp 8 
 12 
b) Tứ giác AMCN, MKIC là hình gì? Vì sao? 
c) Chứng minh E là trung điểm BN 
d) Tìm điều kiện của ΔABC để tứ giác AMCN là hình vuông. 
Bài 59. Cho ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm BC và M là trung điểm của AB. 
 a) Chứng minh: MH // AC 
 b) Gọi N là trung điểm của AC . Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ? 
 c) Gọi D là điểm đối xứng của M qua H . Gọi I là trung điểm MC. 
 Chứng minh: 3 điểm A ,I ,D thẳng hàng. 
Bài 60. Cho ∆ ABC vuông tại A (AB< AC) có AM là trung tuyến. Từ M kẻ 
 MH  AB, MK  AC ( H AB, K AC) 
a) Cho AB = 5cm, BC = 13cm. Tính AC, AM. 
b) Chứng minh tứ giác AHMK là hình chữ nhật. 
c) Gọi E là đối xứng của M qua K. Chứng minh tứ giác AMCE là hình thoi. 
Bài 61. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua D. 
a) Chứng minh tam giác ACE vuông cân 
b) Từ A hạ AH vuông góc với BE, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của 
AH và HE. Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành 
c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ANB 
d) Chứng minh góc ANC vuông 
Bài 62. Cho tam giác nhọn ABC có BC = 2AB. Gọi D là trung điểm của đoạn 
thẳng BC. Từ D kẻ tia Dx // AB và từ A kẻ tia Ay // BC sao cho tia Dx cắt tia Ay 
tại E. 
a) Chứng minh rằng: tứ giác ABDE là hình thoi. 
b) Chứng minh rằng: tứ giác AECD là hình bình hành và BE  CE. 
c) Gọi O là giao điểm của BE và AD, K là giao điểm của của DE và OC, J là 
giao điểm của BK và EC. Chứng minh rằng: JE = JC. 
d) Gọi I là giao điểm của BK và OD. Chứng minh rằng: 4.IO = AD 
Bài 63. Cho hình thoi ABCD. Đường chéo AC BD . M là một điểm tùy ý trên 
AC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD tại E, cắt BC tại G. Đường 
thẳng qua M song song với AD cắt AB tại F, cắt CD tại H. 
a) Chứng minh rằng tứ giác MEAF là hình thoi. Từ đó suy ra tứ giác EFGH là 
hình thang cân. 
 Toán lớp 8 
 13 
b) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác EFGH là hình chữ nhật. 
c) Hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện gì để hình chữ nhật EFGH ở câu b là 
hình vuông? 
Bài 64. Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai 
tia CM và DA. 
a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình 
thang vuông. 
b) Chứng minh 2 3
BCDP APBC
S S 
c) Gọi N là trung điểm BC, Q là giao điểm của DN và CM. Chứng minh rằng: 
AQ=AB. 
Bài 65. Cho hình bình hành ABCD có AB=8 cm, AD = 4cm. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm của AB và CD. 
a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình 
gì? 
b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác 
MINK là hình gì? 
c) Chứng minh IK// CD. 
d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình 
vuông? Khi đó 
MINK
S =? 
Bài 66. Cho ABC vuông tại A (AB < AC), có trung tuyến AO. Điểm D là điểm 
đối xứng với A qua O. 
 a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 
 b) Vẽ đường cao AH của ABC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm K 
 sao cho HK = HA. Chứng mình BKDC là hình thang cân. 
a) M là trung điểm của AC. Lấy E đối xứng với O qua M. Hỏi AECO là hình 
 gì? Vì sao? 
b) Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ BF ⏊BC và BF = AH. 
Chứng minh: SBKD + SAFBH + SAOCE = SABDC. 
Bài 67. Cho ΔABC vuông ở A (AB<AC). Kẻ đường cao AH. Gọi E, N, M theo thứ 
tự là trung điểm của AB, AC và BC. 
a) Chứng minh tứ giác EHMN là hình thang cân. 
b) Chứng minh HE⏊HN 
 Toán lớp 8 
 14 
c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia ME, MN theo thứ tự ở K và 
F. Chứng minh tứ giác AMBK là hình thoi. 
d) Chứng minh AM, EN, BF, KC đồng quy. 
Bài 68. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M, N, P lần lượt thuộc AC, AB, BC sao cho 
1
3
CM BP AN
AC BC AB
 . Gọi I là giao điểm của BM và CN. Gọi E là giao điểm của 
CN và AP. Gọi F là giao điểm của BM và AP. Chứng minh: 
EIF IMC FBP NEA
S S S S 
Bài 69. Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC 
lần lượt lấy hai điểm E và F. Chứng minh rằng 
1
2DEF ABC
S S . Với vị trí nào của 
hai điểm E và F thì 
DEF
S đạt giá trị lớn nhất? 
Bài 70. Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với bốn đỉnh ta được 
8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1. 
Chứng minh rằng: Tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện 
tích không vượt quá 
1
10
.