Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Lục Nam (Có đáp án)

 PHÒNG GD - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 LỤC NAM NĂM HỌC 2016-2017
 MÔN TOÁN 8
 Thời gian: 150 phút làm bài
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 6xy 5y2 5y x
2) Cho a3 3ab2 5 và b3 3a 2b 10. Tính S 2016a 2 2016b2
Câu 2. (5,0 điểm)
 2
1) Cho biểu thức: 4x 8x x 1 2 
 A 2 : 2 
 2 x 4 x x 2x x 
 Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A < 0
 2
2) Chứng minh rằng n2 3n 1 1 chia hết cho 24 với n là số tự nhiên.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 3x x2y 2y 5 
2) Một đa thức P(x) chia cho x2 x 1 thì dư 1 – x và chia cho x2 x 1 thì dư 3x + 5. Tìm số dư 
của phép chia P(x) cho x4 x2 1
Câu 4. (6,0 điểm)
Gọi M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, 
BMEF.
 1) Chứng minh AE vuông góc với BC
 2) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
 3) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng 
AB cố định.
Câu 5. (1,0 điểm)
 1 1 1
 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: 1
 xy yz xz
 x y z
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 
 yz 1 x2 zx 1 y2 xy 1 z2 
 ................Hết.............. ĐÁP ÁN
Câu 1. (4,0 điểm)
1) x2 6xy 5y2 5y x
 x2 5xy xy 5y2 x 5y 
 x x 5y y x 5y x 5y 
 x 5y x y 1 
2) a3 3ab2 5 ; b3 3a 2b 10
 2 2
 a3 3ab2 b3 3a 2b 52 102
 a6 6a 4b2 9a 2b4 b6 6a 2b4 9a 4b2 25 100
 a6 3a 4b2 3a 2b4 b6 125
 3
 a 2 b2 53
 a 2 b2 5
S 2016a 2 2016b2 2016 a 2 b2 2016.5 10080
Câu 2. 
 2
1) 4x 8x x 1 2 
 A 2 : 2 
 2 x 4 x x 2x x 
 4x 8x2 x 1 2 
 : 
 2 x 2 x 2 x x x 2 x 
 2 x .4x 8x2 x 1 x 2 .2
 :
 2 x 2 x x x 2 
 8x 4x2 8x2 x x 2 
 
 2 x 2 x x 3
 4x 2 x x 2 x 
 
 2 x 2 x x 3
 4x2
 x 3 4x2
 Để A < 0 thì 0 (đk: x 2;x 0;x 3 )
 x 3
Ta có: 4x2 ≥ 0 với mọi x; để A < 0 x – 3 < 0 x < 3
Đối chiếu với điều kiện ta có A < 0 khi x < 3; x 2;x 0
 2
2) B = n2 3n 1 1 n2 3n 1 1 n2 3n 1 1 
 n n 3 n2 3n 2 
 n n 3 n 1 n 2 
 n n 1 n 2 n 3 
Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4 
Mà 2, 3, 4 đôi một nguyên tố cùng nhau B 2.3.4 B24
Câu 3. (4,0 điểm)
 x3 3x 5 x 5
1) x3 3x x2y 2y 5 y x 
 x2 2 x2 2
 x 5 2
 y nguyên nguyên x 5  x 2 
 x2 2
 x 5 x 5  x2 2 
 x2 25  x2 2 
 x2 2 27  x2 2 
 27 x2 2 x2 2 3;9;27 (do x2 2 2 )
 x2 2 3 9 27
 x ± 1 ± 7 (loại) ± 5
 1
 Với x 1 y (loại)
 3
 Với x = -1 y = -3
 Với x = 5 y = 5
 145
 Với x 5 y (loại)
 27
Vậy x ; y 1; 3 ; 5; 5  2) Giả sử P(x) x4 x2 1 Q(x) R(x) ( Q(x): thương; R(x): dư)
 P(x) x2 x 1 x2 x 1 Q(x) R(x)
 P(x) R(x) x2 x 1 x2 x 1 
 P(x) và R(x) có cùng số dư khi chia cho x2 x 1 và x2 x 1
 R(x) x2 x 1 mx n 1 x
 x2 x 1 px q 3x 5
 m p
 m n q p
 n m 1 p q 3
 n 1 q 5
 m = p = -2 ; n = 4 ; q = 0. Vậy R(x) 2x3 2x2 x 5
Câu 4. (6,0 điểm)
 D C
 I
 H
 F
 O E
 A K M B
a) BE // MD (do D· MA E· BM 450 )
 Mà AC  DM (tính chất đường chéo hình vuông)
 BE  AC
+ Xét CAB có CM  AB ; BE  AC AE  BC (tính chất ba đường cao)
b) Gọi AC  DM = O
 AC DM
 Vì A· HC 900 OH OH 
 2 2
 DM 0
 DMH có OH DMH vuông tại H M· HD 90
 2
Chứng minh tương tự có M· HF 900 Vậy 3 điểm D, H, F thẳng hàng
c) Gọi I = DF  AC
 DMF có DO = OM ; OI // MF ID = IF
 Kẻ IK  AB K là trung điểm của AB (tính chất đường trung bình hình thang)
 AB
 IK 
 2
AB cố định I cố định
Vậy DF luôn đi qua I cố định khi M di chuyển trên AB.
Câu 5. (1,0 điểm)
 1 1 1
 1 
 xy yz xz
 1 1 1 
  xyz xyz
 xy yz xz 
 z x y xyz
Xét yz 1 x2 yz x2yz
 yz x.xyz
 yz x. x y z 
 x y z x 
Tương tự zx 1 y2 y z x y 
 xy 1 z2 z x y z 
 x y z
 Q 
 x y z x y z x y z x y z 
 x x y y z z
 Q   
 x y z x y z x y z x y z
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cosi
 x x 1 x x 
  
 x y z x 2 x y z x 
 y y 1 y y 
  
 y z x y 2 y z x y z z 1 z z 
  
 z x y z 2 z x y z 
 1 x x y y z z 
 Q 
 2 x y z x y z x y z x y z 
 1 x z x y y z 
 Q 
 2 z x z x x y x y y z y z 
 1
 Q  1 1 1 
 2
 1
 Q 3
 2
 3
 Q 
 2
 3
 Max Q khi x y z 3
 2
(x + y + z = xyz 3x x3 x 3 )