Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014
MÔN TOÁN 8
(Thời gian: 150 phút)
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . 
Chứng minh rằng: A = 
b) Cho và . 
Chứng minh rằng : .
Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (3,0đ).
	Cho vuông tại A (AC>AB), đường cao AH . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
	1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB
	2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM.
	3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: 
Bài 5 (1,0đ).
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 6 (1,0đ)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi .
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 8
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
b) 
Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 
 ĐKXĐ : 	
Phương trình trở thành : 
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2;	 
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . 
Chứng minh rằng: A = 
Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
Từ đó suy ra a= ;	 
Thay vào ta được A= 
Từ đó suy ra A hay A
b) Cho và . Chứng minh rằng : .
Từ : 
ayz + bxz + cxy = 0
 Ta có : 
Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số (x khác -15)
Theo bài ra ta có phương trình =
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số 
Bài 4 (3,0đ).
1. Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
2. Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: , mà 
Do đó: 
Bài 5 (1,0đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	= 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.	
Bài 6 (1,0đ)
 Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
 (x, y, z là các số nguyên dương )
 Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2	 
	z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10)