Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Phong Điền

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 PHONG ĐIỀN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
	Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn P
	b) Tìm x để P < 5
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Tìm GTNN và GTLN: 
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh: a2 + b2 + c2 < 
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: (x-2)(x+2)(x2-10) =72
b) Tìm giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
 x2 – xy = 6x – 5y – 8 
Câu 4: (4,0 điểm) 
Cho hình thang ABCD (AB//CD), gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
 	 a) Chứng minh OM=ON.
 	 b) Chứng minh .
 	 c) Biết Tính ?
 	 d) Nếu . Chứng minh BD > AC.
------------Hết-----------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHONG ĐIỀN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM 
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2,0 điểm)
Phân thức P xác định khi: 
	0,25
0,25
0,25
0,25
b) Theo đề ra P < 5 Û <5 
 Û < 10
 Û 
 Û 
Kết hợp với điều kiện : ta có và thì P < 5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
 a) Tìm GTNN và GTLN: 
Ta có : 4x +3 = x2 +4x+4 - x2 -1 = (x+ 2)2 - ( x2 +1)
Vậy GTNN của A là -1 khi x= -2
Mặt khác : Ta có 4x +3 =4x2 +4 - 4x2 +4x -1 = 4( x2 +1)- (2x -1)2 
Vậy GTLN của A là 4 khi x = 1/2
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Vì a, b,c là đọ dài 3 cạnh của tam giác nên 
Do đó : 
Vậy: (1)
Ta có: a+b+c =1
(2)
Từ (1) ,(2) suy ra : 
Vậy : : a2 + b2 + c2 < (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(2,0 điểm)
a) Giải phương trình: (x-2)(x+2)(x2-10) =72
Đặt x2 - 7 = y, phương trình trở thành (y - 3 )(y + 3)=72 
 Û y2 - 9 = 72
 Û y2 = 81
 Û y = 9 hoặc y = -9
Với y = 9 Û x2 - 7 = 9 Û x = 4 hoặc x = -4
Với y = -9 Û x2 - 7 = -9 Û x2 = -2, vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm x =4, x= - 4.
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Ta có x2 – xy = 6x – 5y - 8 x2 – 6x + 8 = y (x – 5) (1)
 y = (vì x =5 không là nghiệm của phương trình (1))
 y = x – 1 +. Vì x, y là nguyên nên x – 5 là ước của 3 
 x – 5 { - 1, 1, -3 , 3}
 x{ 4, 6 , 2 , 8}
Khi x = 2 thì y = 0 ; Khi x =4 thì y = 0 
Khi x = 6 thì y = 8 ; Khi x= 8 thì y =8 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x, y) là (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(4,0 điểm)
Hình vẽ 
a) Chứng minh OM = ON:
Ta có MN//DC (Theo hệ quả của định lí Talet)
(1)
Do MO//DC(2) (Theo hệ quả của định lí Talet)
Do ON//DC(3) (Theo hệ quả của định lí Talet)
Từ (1), (2), (3) suy ra OM=ON.
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Chứng minh . 
Do MO//CD 
Và MO//CD . 
Do đó: (a)
Tương tự: (b)
Từ (a) và (b) 
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Biết Tính ?
 Kẻ OH vuông góc với BD (H thuộc BD), ta có:
Tương tự ta có 
Mặt khác 
 nên .
Chứng minh tương tự, ta có. 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
d) Nếu . Chứng minh BD > AC.
Từ A kẻ AE//BC (E thuộc DC). 
Kẻ AI, BK vuông góc với CD tại I và K, ta có AI = BK
Do nên I, K nằm trong đoạn CD
Ta có (đồng vị), (giả thiết)
AD > AE (góc và cạnh đối diện trong một tam giác) 
DI > EI (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).(c)
Ta có: BC = AE (Vì BCEA là hình bình hành ) và
nên AIE = BKC (Cạnh huyền – góc nhọn)
 IE = KC (d)
Từ (c) và (d) DI > KC DI +IK > KC + IK
Hay DK > CI.
Áp dụng định lý pitago cho hai tam giác vuông BKD và ACI, ta có : 
(Do 
0,25
0,25
0,25
0,25