Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Diễn Châu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 8
Môn: Toán 8– ( Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1: ( 4 điểm)
 Cho biểu thức :
 P = 
 a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
 b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 2: (4,5 điểm)
a) Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp .Chứng minh:
M = ab – a –b +1 chia hết cho 96.
b) Giải phương trình: 
 (2x-2019)3 + (x+2018) 3 = (3x-1)3
c) Tìm (x;y) để P= đạt giá trị lớn nhất.
 Bài 3: (4,5 điểm)
 a) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: xyz =1 và 
Tính giá trị biểu thức Q= 
 b) Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn:
 a2 +b2 = c2 và ab =2(a+b+c)
 c) Cho P(x)= ( x + 5)( x + 10)( x + 15)( x + 20) + 2019.
 Tìm số dư trong phép chia P(x) cho Q(x) = .
Bài 4: (5,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng BEC đồng dạng với ADC.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tinh số đo của góc AHM
 c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 5:( 1,5 điểm) 
Cho các số dương thỏa mãn .Chứng minh:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
HƯỚNG DÂN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM 
MÔN TOÁN 8
(Hướng dẫn này gồm có 03 trang)
Bài
Nội dung
Điểm
I.a
(2đ)
1.b
(1đ)
I
C
(1đ)
ĐKXĐ: 
0.25
P=
0.5
= 
0.5
= 
0.5
P nguyên khi 
Kết hợp với ĐKXĐ ta có:
0.5
0,25
0,25
0.25
0,25
=> 
0.25
Q lớn nhất = dầu bằng xẩy ra 
0.25
II.a
1,5đ
Đặt a = (2n+1)2 ; b = (2n +3)2 (n N)
0.25
Ta có : M = (a-1)(b-1)
= [(2n+1)2 -1][ (2n +3)2 -1]
=2n(2n+2)(2n+2)(2n+4)
=16n(n+1)(n+1)(n+2)
0.25
0,25
0,25
Vì n ; n+1 ; n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp
=> n(n+1)(n+2) 6
Vậy M 96
0.25
0,25
II.b
1,5đ
Đặt a = 2x -2019 ;b = x +2018 => a +b = 3x -1 
0.5
Pt đã cho trở thành: a3 +b3 = (a+b)3, 3ab(a+b)=0
0.25
0.5
Vậy S = 
0.25
IIc
1,5đ
P=
=
0.5
=
=
0,25
0,25
Vậy Min P= 2002
0.5
III.a
1,5đ
 ( do xyz=1)
0.25
0,25
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-( xy+yz+zx)+x+y+z-1=0
0.25
0.5
Khi đó tính được P=0
0.25
III.b
1,5đ
 a2 +b2 = c2 (a+b)2 – 2ab = c2 
0,25
 (a+b)2- 4(a+b)+4= c2+4c+4 (a+b-2)2 = (c+2)2
 a+b-2 = c+2 c = a+b - 4
0.25
Thay vào ab =2(a+b+c) ta có : ab =2(2a+2b - 4)
0.25
 (a-4)(b-4) = 8
0.25
Từ đó tìm được : a =5;b=12; c = 13 và a =12 ; b =5 ;c =13
0.25
a =6 ;b =8 ;c =10 và a =8 ;b =6 ; c =10
0.25
III.c
1,5đ
P(x) 
 P(x) 
0.25
 P(x) 
0.25
 P(x) 
0.25
 P(x) 
0.5
Vậy dư trong phép chia P(x) cho Q(x) là 1416
0.25
IV
0.5
IV.a
+ CDE vµ CAB ®ång d¹ng (g.g)
0.5
+ ADC vµ BEC cã: 
 Gãc C chung. 
 Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). 
0.5
0,5
IV.b
Ta cã: (do )
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), 
suy ra: 
0,25
0,5
0,5
0,5
IV.c
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: ,
 mµ 
0,5
0,5
0,25
0,5
V
 Ta có a2+2b2+3= (a2+b2)+(b2+1)+2
Áp dụng BĐT: x2+y2 2xy ta có:
 (a2+b2)+(b2+1)+2 2ab+2b+2 =2(ab+b+1)
a2+2b2+3 2(ab+b+1)
Tương tự ta có: b2+2c2+3 2(bc+c+1)
 c2 +2a2+32(ca+a+1)
=>
 ( Thay abc =1)
Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=1
0,25
0,5
0,5
0,25
Ghi chú: - HS giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 - HS không vẽ hình không chấm điểm bài hình.