Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Huyện Sơn Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
HUYỆN SƠN DƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1.(4 điểm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
b) Rút gọn biểu thức: A = 
Câu 2.(4 điểm)
a) Cho	 Tính 
b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
b) Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Câu 4. (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
Câu 5. (2 điểm) 
Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
 Tính giá trị của biểu thức: P=
----------------------------------------------------------------------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN SƠN DƯƠNG
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi : Toán 
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
a
2đ
=
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
 Ta có : 
 => B = =1- 
1
1
Câu 2
( 4 điểm )
a
2đ
Ta cã th×
 (v× nªn )
Theo gi¶ thiÕt 
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0
 (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + (y2 – 3y + 3) = 0
 (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0
Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1)
1
0,5
0.5
Câu 3
(4 điểm)
a
2đ
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z 
 x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
 Dễ thấy là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu 
 chia hết cho 3
Mà là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. 
Do vậy A chia hết cho 3.
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 4
(6 điểm )
0,5
a
2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) Þ ÐEAM = ÐBCM
Mà ÐBCM + ÐMBC = 900 Þ ÐEAM + ÐMBC = 900
Þ ÐAHB = 900
Vậy AE ^ BC
1
0,5
0,5
b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 
Þ ∆DHM vuông tại H
Þ ÐDHM = 900
Chứng minh tương tự ta có: ÐMHF = 900
Suy ra: ÐDHM + ÐMHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5
0,5
0,5
0,5
c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: ÐDMF = 900 Þ MF ^ DM mà IO ^ DM Þ IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 
Kẻ IK ^ AB (KÎAB) 
Þ IK là đường trung bình của hình thang ABFD 
 (không đổi)
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5
0,5
0,5
Câu 5
( 2 điểm )
(a+b+c)2=
Tương tự: 
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.