Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Thuận Thành (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Thuận Thành (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
UBND HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẤP THCS - NĂM HỌC 2018-2019 Môn: Toán – Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 20/02/2019 Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức: x2 3x 3 1 6x P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 1. Rút gọn biểu thức 2. Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? 3. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 2: (6 điểm) x y z 1. Cho 1 y z z x x y x2 y2 z2 Tính giá trị của biểu thức M 2019 y z z x x y 2. Giải phương trình sau: x 13 x 22 x 31 a) 3 2006 1997 1988 2 b) x2 x 4 x2 x 12 Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, K là một điểm di động trên cạnh BC, gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của K trên AB và AC. 1. Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh cách đều một điểm, tìm điểm đó? Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQ là hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí điểm K trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất. 2. Vẽ các đường cao AA’; BB’; CC’ của tam giác ABC, trực tâm H AH BH CH a) Tính tổng: AA' BB' CC ' b) Gọi AI là tia phân giác của tam giác ABC, IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB ( M AC; N AB) . Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM Bài 4: (2 điểm) Chứng minh: B n4 14n3 71n2 154n 120 chia hết cho 24 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS UBND HUYỆN THUẬN THÀNH Năm học: 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức: x2 3x 3 1 6x P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 1. Rút gọn biểu thức 2. Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? 3. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Lời giải x2 3x 3 1 6x 1. P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 x x 3 3 1 6x : 2 x2 9 x 3 2 x 3 x 9 x 3 x 9 x 3 x2 9 6x : x2 9 x 3 x2 9 2 x 3 x 3 x 9 x2 9 x 3 2 x 3 x 3 x 3 2. P Px 3P x 3 x 3 x(P 1) 3P 3 3 P 1 x P 1 P 1 3 P 1 Với x 0 và x 3 ta có 0 P 1 P 10 P 10 P1 P 10 P 1 P 10 Vậy khi x 0 và x 3 thì P không nhận giá trị từ -1 đến 1 x 3 x 3 6 6 3. P 1 x 3 x 3 x 3 Để P nhận giá trị nguyên thì x 3 Ư(6) 1; 2; 3; 6 x- -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 3 x -3 0 1 2 4 5 6 9 K Lo T T T T T T T L ại M M M M M M M Vậy x 0;1;2;4;5;6;9 Bài 2: (6 điểm) x y z 1. Cho 1 y z z x x y x2 y2 z2 Tính giá trị của biểu thức M 2019 y z z x x y 2. Giải phương trình sau: x 13 x 22 x 31 a) 3 2006 1997 1988 2 b) x2 x 4 x2 x 12 Lời giải 1. Nếu x y z 0thì x y z , y x z , z x y x y z Do đó: 1 1 3 1 (trái giả thiết) y z x z y x x y z 0 x y z Từ 1 y z z x y x x y z x y z x y z y z z x y x x2 y2 z2 x y z x y z y z z x y x x2 y2 z2 0 y z z x y x M 2019 2. x 13 x 22 x 31 a) 3 2006 1997 1988 x 13 x 22 x 31 1 1 1 0 2006 1997 1988 1 1 1 x 2019 0 2006 1997 1988 1 1 1 x 2019 0 vì 0 2006 1997 1988 Vậy x 2019 2 b) x2 x 4 x2 x 12 Đặt t x2 x Ta có pt: t 2 4t 12 t 2 4t 12 0 t 2 t 6 0 t 2 t 6 2 2 x 1 t 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 2 2 2 1 23 t 6 x x 6 x x 6 0 x 0 (pt vô nghiệm) 2 4 Vậy x 1; x 2 Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, K là một điểm di động trên cạnh BC, gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của K trên AB và AC. 1. Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh cách đều một điểm, tìm điểm đó? Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQ là hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí điểm K trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất. 2. Vẽ các đường cao AA’; BB’; CC’ của tam giác ABC, trực tâm H AH BH CH a) Tính tổng: AA' BB' CC ' b) Gọi AI là tia phân giác của tam giác ABC, IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB ( M AC; N AB) . Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM Lời giải A B' C' H P O Q C B A' K 1. Gọi O là trung điểm của đoạn AK PO và QO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Ak của tam giác vuông APK và AQK 1 PO QO OA OK AK 2 Bốn đỉnh của tứ giác APKQ cách đều điểm O Tứ giác APKQ là hình chữ nhật khi và chỉ khi P· AQ 900 Tam giác ABC vuông tại A Khi đó hai đường chéo AK = PQ Vậy PQ đạt giá trị nhỏ nhất khi AK đạt giá trị nhỏ nhất Ta có AK AA' không đổi Vậy PQ nhỏ nhất khi AK AA' K A' 2. a) Ta có: 1 1 1 1 AH AH.BC AH BA' A'C AH.BA' AH.A'C S S 2 2 2 2 AHB AHC AA' 1 1 1 S AA'.BC AA'.BC AA'.BC ABC 2 2 2 BH S S Tương tự: AHB BHC BB' SABC CH S S AHC BHC CC' SABC AH BH CH 2. S S S 2.S AHB AHC BHC ABC AA' BB' CC' SABC SABC b) A N M B I C Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC có: IB AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB IB MA AI IB AN CM AB AI CI AB CI AB CA IC NB MA AC IB IA AC BI AC BA BI.AN.CM IC.NB.MA Bài 4: (2 điểm) Chứng minh: B n4 14n3 71n2 154n 120 chia hết cho 24 Lời giải B n 4 14n3 71n2 154n 120 n 4 n2 2n3 2n 8n3 8n 24n3 72n2 144n 120 n2 n2 1 2n n2 1 8n n2 1 24n3 72n2 144n 120 n2 1 n2 2n 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120 n 1 n 1 n n 2 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120 Ta có: n 1 n 1 n n 2 là tích bốn số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và có tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 Mà 3,8 1và 3.8 24 n 1 n 1 n n 2 24 n 1 n 1 n3 8 n 1 n 1 n24 24n3 72n2 144n 12024 B24
Tài liệu đính kèm:
de_thi_hoc_sinh_gioi_cap_huyen_mon_toan_lop_8_nam_hoc_2018_2.docx