Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Thuận Thành (Có đáp án)

 UBND HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẤP THCS - NĂM HỌC 
 2018-2019
 Môn: Toán – Lớp 8
 Thời gian làm bài: 120 phút
 Ngày thi: 20/02/2019
Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:
 x2 3x 3 1 6x 
P 3 2 2 : 3 2 
 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 
1. Rút gọn biểu thức
2. Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào?
3. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (6 điểm)
 x y z
1. Cho 1
 y z z x x y
 x2 y2 z2
Tính giá trị của biểu thức M 2019 
 y z z x x y
2. Giải phương trình sau:
 x 13 x 22 x 31
a) 3 
 2006 1997 1988
 2
 b) x2 x 4 x2 x 12
Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, K là một điểm di động trên cạnh BC, gọi P và Q lần 
lượt là hình chiếu của K trên AB và AC.
1. Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh cách đều một điểm, tìm điểm đó? Tam giác ABC 
có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQ là hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí điểm K trên 
BC để PQ có độ dài nhỏ nhất.
2. Vẽ các đường cao AA’; BB’; CC’ của tam giác ABC, trực tâm H
 AH BH CH
a) Tính tổng: 
 AA' BB' CC '
b) Gọi AI là tia phân giác của tam giác ABC, IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; 
AIB ( M AC; N AB) . Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM
Bài 4: (2 điểm) Chứng minh: B n4 14n3 71n2 154n 120 chia hết cho 24 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS 
 UBND HUYỆN THUẬN THÀNH
 Năm học: 2018 – 2019
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:
 x2 3x 3 1 6x 
 P 3 2 2 : 3 2 
 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 
1. Rút gọn biểu thức
2. Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào?
3. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
 x2 3x 3 1 6x 
1. P 3 2 2 : 3 2 
 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 
 x x 3 3 1 6x 
 : 
 2 x2 9 x 3 2
 x 3 x 9 x 3 x 9 
 x 3 x2 9 6x
 :
 x2 9 x 3 x2 9
 2
 x 3 x 3 x 9 
 
 x2 9 x 3 2
 x 3
 x 3
 x 3
2. P Px 3P x 3
 x 3
 x(P 1) 3P 3
 3 P 1 
 x P 1 
 P 1
 3 P 1 
Với x 0 và x 3 ta có 0
 P 1
 P 10
 P 10 P1
 P 10 P 1
 P 10 Vậy khi x 0 và x 3 thì P không nhận giá trị từ -1 đến 1
 x 3 x 3 6 6
3. P 1 
 x 3 x 3 x 3
Để P nhận giá trị nguyên thì x 3 Ư(6) 1; 2; 3; 6
 x- -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
 3
 x -3 0 1 2 4 5 6 9
 K Lo T T T T T T T
 L ại M M M M M M M
Vậy x 0;1;2;4;5;6;9
Bài 2: (6 điểm)
 x y z
1. Cho 1
 y z z x x y
 x2 y2 z2
Tính giá trị của biểu thức M 2019 
 y z z x x y
2. Giải phương trình sau:
 x 13 x 22 x 31
a) 3 
 2006 1997 1988
 2
 b) x2 x 4 x2 x 12
 Lời giải
1. Nếu x y z 0thì x y z , y x z , z x y 
 x y z
Do đó: 1 1 3 1 (trái giả thiết)
 y z x z y x
 x y z 0
 x y z
Từ 1
 y z z x y x x y z 
 x y z x y z
 y z z x y x 
 x2 y2 z2
 x y z x y z
 y z z x y x
 x2 y2 z2
 0
 y z z x y x
 M 2019
2. 
 x 13 x 22 x 31
a) 3
 2006 1997 1988
 x 13 x 22 x 31 
 1 1 1 0
 2006 1997 1988 
 1 1 1 
 x 2019 0
 2006 1997 1988 
 1 1 1
 x 2019 0 vì 0
 2006 1997 1988
Vậy x 2019
 2
b) x2 x 4 x2 x 12 Đặt t x2 x
Ta có pt: t 2 4t 12
 t 2 4t 12 0
 t 2 t 6 0
 t 2
 t 6
 2 2 x 1
 t 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 
 x 2
 2
 2 2 1 23
 t 6 x x 6 x x 6 0 x 0 (pt vô nghiệm)
 2 4
Vậy x 1; x 2
Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, K là một điểm di động trên cạnh BC, gọi P và Q lần 
lượt là hình chiếu của K trên AB và AC.
1. Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh cách đều một điểm, tìm điểm đó? Tam giác ABC 
có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQ là hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí điểm K trên 
BC để PQ có độ dài nhỏ nhất. 2. Vẽ các đường cao AA’; BB’; CC’ của tam giác ABC, trực tâm H
 AH BH CH
a) Tính tổng: 
 AA' BB' CC '
b) Gọi AI là tia phân giác của tam giác ABC, IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC; 
AIB ( M AC; N AB) . Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM
 Lời giải
 A B'
 C'
 H
 P O Q
 C
 B A' K
1. Gọi O là trung điểm của đoạn AK
 PO và QO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Ak của tam giác vuông APK và AQK
 1
 PO QO OA OK AK
 2
 Bốn đỉnh của tứ giác APKQ cách đều điểm O
Tứ giác APKQ là hình chữ nhật khi và chỉ khi P· AQ 900
 Tam giác ABC vuông tại A
Khi đó hai đường chéo AK = PQ
Vậy PQ đạt giá trị nhỏ nhất khi AK đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có AK AA' không đổi
Vậy PQ nhỏ nhất khi AK AA' K  A'
2. a) Ta có: 
 1 1 1 1
 AH AH.BC AH BA' A'C AH.BA' AH.A'C S S
 2 2 2 2 AHB AHC
 AA' 1 1 1 S
 AA'.BC AA'.BC AA'.BC ABC
 2 2 2
 BH S S
Tương tự: AHB BHC
 BB' SABC
 CH S S
 AHC BHC
 CC' SABC AH BH CH 2. S S S 2.S
 AHB AHC BHC ABC
 AA' BB' CC' SABC SABC
b) 
 A
 N
 M
 B I C
Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC có:
 IB AB AN AI CM IC
 ; ; 
 IC AC NB IB MA AI
 IB AN CM AB AI CI AB CI AB CA
      
 IC NB MA AC IB IA AC BI AC BA
 BI.AN.CM IC.NB.MA
Bài 4: (2 điểm) Chứng minh: B n4 14n3 71n2 154n 120 chia hết cho 24
 Lời giải
 B n 4 14n3 71n2 154n 120
 n 4 n2 2n3 2n 8n3 8n 24n3 72n2 144n 120
 n2 n2 1 2n n2 1 8n n2 1 24n3 72n2 144n 120
 n2 1 n2 2n 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120
 n 1 n 1 n n 2 8n n 1 n 1 24n3 72n2 144n 120
Ta có: n 1 n 1 n n 2 là tích bốn số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 và có tích 2 
số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
Mà 3,8 1và 3.8 24 n 1 n 1 n n 2 24
 n 1 n 1 n3 8 n 1 n 1 n24
 24n3 72n2 144n 12024
 B24